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關鍵詞 例題 心理品質 思維品質 “引導性”問題
數學例題是數學學習的重要內容，數學知識的掌握、數學能力的提高、數學思想方法的養成、學生綜合素質的培養都需要數學例題的教學去實現，“通過例題教學，要達到掌握雙基、傳授方法、揭示規律、啟發思想、培養能力的目的”。[1]因此，數學例題教學是決定數學教學效果的關鍵之一。
一、數學例題教學存在的問題
1.對數學例題教學功能沒有全面的認識
《談新課標下高一數學差生的原因及培養策略》一文，作者對某地高一年級學生做了調查，分析發現：“70%的學生數學成績差，不理想，學習困難吃力；20%學生成績屬于中等水平；10%的學生數學成績較好?！盵2]我們不妨把這70%的數學成績差的學生稱為“學差生”，“學差生”的比例很高，這不禁讓人深思，新課標下的數學教育存在哪些問題？數學“學差生”的產生，有智力的與非智力的因素。通過對有關研究數學“學差生”文獻資料的分析，我們可以發現，為解決學生數學學習困難，老師們想了很多方法和措施，這些方法和措施的實施，共同的作用就是加大了學生的學習強度。比如有研究者認為：“數學課教師要在新課程理念指導下科學設置例題，精講多練，逐步培養學生的知識遷移能力”。[3]而從改進例題教學的角度去解決數學“學差生”問題的研究不多。
實際上，數學例題教學的過程，既是“掌握雙基、傳授方法、揭示規律、啟發思想、培養能力”的過程，又是學生“思維品質、心理品質”的培養過程。解決數學問題的過程中，不僅需要良好的“思維能力”，也需要“不怕困難、勇于探索”的精神，需要“沉著冷靜、細致周密”的處事風格等“心理品質”。也就是說，例題教學除了具有“掌握雙基、傳授方法、揭示規律、啟發思想、培養能力”的功能之外，還應該具有培養學生“心理品質”的功能。這可以說是過去我們對數學教育研究的一個空白，需要教師去探索、去發掘。
2.數學例題教學方法認識偏差
在實際教學工作中，對于數學例題的教學，很多教師教學目的單純，就是以解決例題所涉及的問題為目的。因而也就不會花時間和精力去分析例題、研究例題對于學生的其他教育功能?！安簧俳處熣毡拘?，其枯燥乏味讓學生大倒胃口，失去學習的興趣和熱情?！盵4]我們常?？吹?，在例題教學中，有很多老師要求學生記住一類問題的解法，數學題目解法類型化。大多數學生則只是模仿老師的解題思路與方法，例題教學對于他們來說就是一種“模仿”學習，提高學習效果、實現學習目的的方法就是做大量的練習，學習方法簡單地成為了“題海戰術”，因而造成“一聽就懂，一做就錯”[5]的學習怪圈。學生的學習，都要依賴于多講、多練、多輔導，節假日、雙休日要補課就不足為奇了。
波利亞認為，中學數學教育的根本目的是讓學生學會思考，數學例題教學也是這樣。實際上，問題是千變萬化的，只有培養學生有良好的心理品質，有較強的思維能力，才能使學生具備靈活解決問題的能力?！叭说恼_思想是從哪里來的？是從天上掉下來的嗎？不是。是自己頭腦里固有的嗎？不是。人的正確思想，只能從社會實踐中來，只能從生產斗爭、階級斗爭和科學實驗這三項實踐中來”。任何數學例題的解決都有其知識經驗的、思想方法的根源。因此，在數學例題教學方法上，不是老師教學生解題，應該是老師組織、指導學生分析問題，師生一道探究問題的解決策略，尋找例題的解決方法。
3.數學例題教學要求認識偏差
“懂了嗎？”我們常常聽到老師上課時會向學生發出這樣的提問，尤其低年級更是如此。對于數學例題的教學，很多老師和學生也是把“聽懂了”作為例題教學任務是否完成、教學目的是否實現的標志?！皩}學習的重要性，學生必須明確一點，學習數學沒有‘差不多’已經懂了的概念，而只有懂與不懂兩個層次?！盵5]尤其是“學差生”，他們往往把“聽懂了”作為學習數學的最高境界，“聽懂了”他就滿足了。什么叫“聽懂了？”“懂”即“了解”、“明白”之意。對于數學學習來說，“懂了”不是數學例題教學的終極目的，“懂了”不應該是我們最終要達到的數學例題教學效果。從思維水平上分析，“了解”、“明白”只是學生對教師例題解法的認同與接受。而不是在教學互動中掌握了解題的思想方法，形成了自己的分析問題的思維結構。對于例題教學的目的要求，應該達到的教學效果，目前沒有確定的標準，但數學家波利亞的“怎樣解題”表為我們指明了方向。根據波利亞的“怎樣解題”表，學生的數學例題學習就不止于“懂與不懂”兩個層次了。
二、數學例題教學中心理品質的養成
許多學生數學學習失敗的主要原因在于其心理品質，許多學生數學學習良好也可歸功于其良好的心理品質。學生的心理品質對能否有效解題影響很大。“數學差生的行為受到來自自我（self）的影響。他們對自我的認識是消極的、偏執的、頑固的，對未來的自我是不懷希望的”[6]。
以“意志”為例，很多數學“學差生”不是因為智力低下，而是意志品質薄弱，自制力差，缺乏毅力和恒心，缺乏戰勝困難的勇氣和鍥而不舍的精神，不能長期堅持勤奮刻苦的學習狀態，一遇到困難就裹足不前、垂頭喪氣，甚至自暴自棄。由于各種因素，我國當代青少年特別是獨生子女，意志品質薄弱者占有很大的比例。愛因斯坦告誡人們：“優秀的性格和鋼鐵般的意志，比智慧和博學更為重要”?！皩τ谇嗌倌攴e極心理品質發展而言，……如果我們能在學校心理健康課堂或學科教育課堂以及其他活動中對于適合其年齡階段的積極心理品質進行全方位培養，學生積極心理品質的發展就能獲得最有效的促進?！盵7]
對于不同的學生，他的心理品質在他的解題過程中都能體現出來。有的沉著冷靜、有的浮燥冒進、有的粗心大意、有的細致周密、有的自信勇敢、有的消沉懦弱等。因此，在例題教學中，教師可以通過學生的解題嘗試，發現其心理品質方面存在的問題，要向學生指正，說明這些心理品質欠缺對其學習、成長的危害，并給予正確的導向。從而幫助學生改善其不良心理品質，發展、培養良好的心理品質。應該讓學生認識到，數學學習不僅是獲得數學知識、發展數學能力的過程，而且是檢驗人的心理品質，促進心理發展的過程，作為學生，要在數學學習中，有意識、有目的地健全自己的心理品質。
三、數學例題教學中思維品質的養成
關于數學思維的積極性活動，人們共同的看法是它決定于思維品質?！皵祵W思維品質”[9]實質就是人的數學思維的個性特征，它體現了每個個體思維水平、智力與能力的差異，是衡量數學思維優劣、判斷數學能力高低的主要指標。它包括思維的目的性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的批判性、思維的獨創性、思維的條理性、思維的嚴謹性和思維的廣闊性等。學生思維能力的高低主要就體現在思維品質的差異上。
多年來，國內外許多先進的教學方法與經驗表明，培養學生的數學思維品質是發展其數學能力的突破點和有效的途徑。所以，在數學能力的培養上，往往要抓住數學思維品質這個突破口，而數學例題教學則是學生數學思維品質養成的主要平臺。在例題教學時，重視對分析問題、解決問題過程中的思維品質的培養，讓學生在體驗思維品質的過程中養成良好的思維品質，既是當前數學教學的短板，更是提高數學教學效果的突破口。
四、數學例題教學分析舉例
一般情況下，這個例題的教學就結束了。但如果是這樣，作業布置下去，就會發現，會有絕大多數學生采用第一種解法。而這個例題是在學習“三角函數的基本關系”時為鞏固新知識、運用新知識的一道例題。學生為什么會選擇解法一，原因很簡單，就是解法一相對容易，解法二相對較難。因此，教師接下來還應該與學生一起比較兩種解法，既肯定他們沒有忘記舊知識，得出解法一，又強調學習上為獲得新知識、培養新能力，要不怕困難，要有迎難而上的進取精神。一開始老師的三個提問，用到的都是第一人稱“我們”，老師把自己與學生擺在同樣的角色位置，學生和老師都是探索的主體，這樣有助于學生主動性的發揮。三個問題都是引導性問題，引導學生思考的方向、目標，引導學生怎樣思考與分析研究，問題（1）是常見的，多數學生也能這樣思考；問題（2）的提出，啟發了學生的思維，使其思維指向廣闊的知識經驗；問題（3）則使學生思維有明確的目的。三個問題聯結起來，形成解決問題的系統思路，對于培養學生思維的條理性和系統性，是必不可少的。
例2 求函數y=的最大值和最小值。
如果沒有相關的經驗，或沒有得到思維品質的培養，學生一開始看到此題，真的一頭霧水，不知所措。因此，教師應該指導學生觀察分析：首先這是求函數最值的問題，不同類型函數的最值問題有不同的解決方法，師生共同回顧有關函數的最值問題，這就使得學生的思維得到廣闊的展開。其次，可以從本題函數的內容、結構、變形上設計“引導性”問題，引導學生進行分析：從內容上，有正弦、余弦，要討論函數的性質，應該考慮弦化切；從函數式的結構形式上，可以類比兩點連線的斜率公式；從函數變形上，可以考慮對函數式作適當變形，從而轉化成asinx+bcosx的形式，這就是大家熟悉的了。老師在教學過程中，設計的“引導性”問題，要點到為止，啟而不發，引導學生從不同角度去觀察、分析問題，培養學生思維的靈活性等思維品質。
參考文獻
[1] 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2006.
[2] 王付光.談新課標下高一數學差生的原因及培養策略[J].才智，2011（1）.
[3] 周博.簡析創設數學典型例題的策略和意義[J].中小學教學研究，2011（9）.
[4] 盧忠揚.對高中數學例題教學的思考[J].語數外學習：高中數學教學，2014（9）.
[5] 屠豐慶.例題教學有效性的現狀，分析和思考[J].復印報刊資料：中學數學教與學，2009（11）.
[6] 彭熹.基于社會心理學的數學差生問題研究[D].長沙：湖南師范大學，2007.
關鍵詞：
例題是數學教學過程中不可缺少的內容，是向學生展示應用基礎知識解決問題的窗口，是向學生滲透數學思想方法，傳播解題技巧、技能的途徑。學生對例題的理解掌握程度的優劣，直接影響教學效果和學生的解題能力 。因此，研究和改進數學例題的教學，是今天數學教改的重要課題。
那么如何設計例題教學，使它們真正發揮例題應有的教學價值昵？ 現結合我在教學實踐過程中總結的一些點點滴滴，談一點看法。
一、精選例題，示范講解，充分發揮例題的作用
1．以書為本挖掘潛力
對于課本上的例題、習題要認真研究、挖掘和改造，從“簡單”中求方法，從“老題""中求新意，才能給學生很多啟發。特別是選題和處理題時，要注意研究和選擇恰當的啟發點，抓住問題的關鍵、言簡意賅、一語中的、力求啟而得發。
第一，要一題多解，用多種知識和方法處理同一題。使例題涉及的知識和方法延伸到數學的各個分支，力求溝通它們之間的聯系。
第二，改變例題的條件和結論，一步步地向縱深遞進，從而得到更深更多的方法和結論。
教材中的例題、習題甚至一個問題情境往往是中考高考試題的“母題”。
如：(2007年資陽)21．(本小題滿分8分)
(1)探究an是否為8的倍數，并用文字語言表述你所獲得的結論；
(2)若一個數的算術平方根是一個自然數，則稱這個數是“完全平方數”．試找出al，a2，…，an，…這一列數中從小到大排列的前4個完全平方數，并指出當n滿足什么條件時，an為完全平方數(不必說明理由)．
這道題就是以華師版八年級上一道復習題，說明兩個連續奇數的平方差是8的倍數，為母本加以編制而成。
2．以學生身邊生活與實際選材
初中數學新課標明確要求學生能“初步運用數學思想理解和處理現實生活中的簡單問題”，而且將“發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷""作為數學課程的一個重要目標。我們要注重聯系學生身邊生活與實際，有效地培養學生運用所學的知識解決實際生活、生產中的問題的能力，讓學生感到所學的知識并非莫不可測，在現實生活中處處有它的身影。
3．適度選擇題型新穎的綜合題
引入一批題型新穎的綜合題是必要的，其目的是注重培養學生對知識的遷移能力，為學生后繼學習打下堅實的基礎，特別是與高中知識密切銜接的有關題型，如不等式、對數、數列等有關命題深受中考命題者的青睞。
二．數學例題教學要注重以學生為主體，注重例題教學的開放性
課程標準明確指出：數學教學要重視教學開放性，應采取“開放性”的教學策略，為學生提供更多的機會和時間，讓學生提問和質疑、嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結等，促使學生的思維空間充分開放。近年來，初中畢業生統一學業考試中，開放性問題也很多，于是，開放題就成了中學數學教師普遍關注的一個問題。要適應教育改革的需要，我們的課堂例題教學就要進行開放式的教學，真正做到“題目開放，思維開放，過程開放”。
例如：“三角形中位線”教學，首先讓學生獨立自學課本，接著讓學生思考下面的問題，①什么是三角形的中位線?②怎樣畫出三角形的中位線?③三角形的中位線與中線有什么區別?④請學生動手測量有關角的大小和中位線及第三邊的長度，三角形的中位線與第三邊有什么關系?⑤試用簡潔的文字歸納你的猜想。最后要求學生證明自己的猜想，并能應用到簡單的和證明中。然后再設計以下幾個例題，加以拓展。
例l：已知如圖E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點，
求證；四邊形EFGH是平行四邊形。
變式、(1)順次連結矩形各邊中點，形成的四邊形是 。
(2)順次連結菱形各邊中點，形成的四邊形是
。
(3)順次連結正方形各邊中點，形成的四邊形是 。
(4)順次連結等腰梯形各邊中點，形成的四邊形是 。
教師通過引導學生置身于問題情境中，揭示知識背景，從數學家的廢紙簍里尋找探究痕跡，讓學生體驗數學家們對一個新問題是如何去研究創造的，對數學規律作出充分觀察、思考、猜想、交流，使規律的出現適合學生自己的數學需求。
三．數學例題教學注重知識的整合
課本例題的安排，主要是強化和應用當前所學知識，知識點方面有時顯得單調。為了訓練和培養學生運用知識解決綜合問題的能力，對課本例題的課堂中進行拓展變式訓練是十分必要和有效的，在拓展變式訓練中，學生可以放開手腳自己去想象、琢磨，從而有機會從多角度，多側面，多層次，多結論等方面去認識知識，從而實現了知識的整合。同時，學生的創造性思維也會得到發展，思維活動的質量也會得到提高，實現了學生思維的拓展與延伸。
通過拓展訓練、實現知識的整合，可使學生學會掌握事物的本質特征的方法，使他們懂得怎樣從事物的千變萬化的復雜現象中去抓住本質，達到舉一反三，觸類旁通，從而培養思維的深刻性和靈活性。
關鍵詞數學 例題 教學
例題教學是初中數學課堂教學的重要環節。不但為學生提供解決數學問題的范例，揭示數學方法，規范思考過程，而且為其數學方法體系的構建提供了基石。那么，如何進行初中數學的例題教學呢？
一、初中數學例題的作用和地位
例題在教材中所占的地位是由它的功能與作用所決定的.數學教材是由數學知識、例題、習題三個有機部分所組成，例題在教材中具有替代的結構性和作用。
例題的作用，主要體現在以下兩個方面：
1、從結構上看，例題是把知識、技能、思想和方法聯系起來的一條紐帶。
知識的價值，技能的操作、思想與方法的作用都是通過例題來體現的。例題的講解與示范是教學中傳授知識，培養技能必不可少的一個環節。學習知識的最終目的是要轉化為能力，例題作為學以致用的重要環節，在教學過程中擔負著把知識轉化為能力的重要使命，這是它的首要作用。
2、從功能上看，教學例題具有知識功能、教育功能、發展功能與示范功能。
在教學過程中，主要是通過例題和習題，使學生獲得系統的數學知識，形成必要的數學技能技巧。例題的思路分析、解題方法與書寫格式幫學生掌握分析的方法，了解書寫格式與規范，熟悉適用的解題方法，使學生在思想上和行為上都受到數學熏陶，對學生的思維及解題行為起著潛移默化的作用，啟迪學生掌握解各類數學問題的鑰匙，通過數學例題，還可以向學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。
二、初中數學例題教學的策略
1、恰當選題，幫助學生減負增效
例題選擇恰當與否，直接關系著學生對知識的理解和掌握，切不可盲目選擇例題進行“滿堂灌”。例題的選擇不能過多、過雜、過難，必須要有一定的基礎性和代表性，遵循從易到難。恰當選擇例題，不能一味追求解題的難度和技巧，要選擇典型的，能體現現階段教學目標，能蘊含數學基本思想和方法的例題，必要時可以根據學生的實際情況更換課本例題或補充課外例題。另外，例題的精選能在很大程度上避免“題海戰”，使學生減負增效，提高教學的有效性。一般說，填空題重概念辨析，選擇題重方法，解答題重思維，證明題重演繹，綜合題重邏輯。教師應根據不同的教學目的而選擇不同的題型，使學生從不同的途徑和角度去加深理解并鞏固知識。
2、例題教學需懂得逐層遞進。
初中數學例題教學，首先是要讓學生能夠聽懂教師教學所講的內容，只有當學生聽懂之后，學生才能夠接受知識進行消化，也就是所謂的逐層遞進。想要做到這一點，教師需要從兩個方面入手：其一，將例題吃透，也就是抓住例題本質，懂得將前后知識點相互的結合在一起，對于難易程度也能夠了熟于心；其二，將學生吃透，掌握學生知識水平與理解能力，能夠針對學生不同的年齡段而給予不同的解題技巧教學。如果部分例題難度較大，學生很難接受，就需要教師進行鋪路搭橋，將難度降低到適合學生的高度，也就是要讓學生懂得這一題就像樹上的桃子，伸伸手不一定能夠碰得到，但是如果自己跳一下，就能夠將桃子摘下來。
3、講解到位，全面呈現發現過程
數學教學不僅僅要讓學生看到數學結果，最重要的是讓學生看到數學結果是如何獲得的。學習解題最好的途徑是學生自己發現，倘若教師沒有全面呈現解法的發現過程，學生通常只知其然，而不知其所以然，解題時只能機械地模仿?！笆谥贼~不如授之以漁”，例題講解要重視思維過程的指導，要全面呈現發現過程，暴露如何想，揭示怎樣做。例如解題的關鍵條件是什么？解法是如何想到的？思路是怎樣打通的？如果出現解題困難，是否需要重新審視條件和結論，該引發什么新的思考，思維上的差距何在，等等。某些特殊情況下，教師還應“稚化”自己的思維，有意識地退回到與學生相仿的思維態勢，或者假裝遭受挫折，一籌莫展，讓學生獨立分析原因再繼續探索等等。
4、拓展例題的知識范圍，觸類旁通，舉一反三
有的例題僅僅針對一個知識點，解決一個問題，但在實際教學時有時可能會根據實際情況，需要“借題發揮”，對例題的知識范圍進行拓展。例如在學習方程、不等式和函數知識，如何理解三者之間的關系，可以結合具體的例題，配合圖像讓學生理解函數的對應的本質，函數是整個過程中的對應，不等式是某個范圍內的對應，而方程式是某個瞬間的對應，加深學生對三者之間的關系的理解。
5、錯題辨析、改正
在教學中我們發現講解題目的正確解法有時達不到教學目的，因為學生不知道自己為什么錯，錯在哪里，無法對癥下藥。錯誤是正確的先導，正如哲學家波普爾所說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素”。課堂例題教學時，根據學生學習過程中會感到疑難或者易發生認知偏差的問題，設置錯題辨析、改正，讓學生發現錯解及產生錯解的原因，從錯題中體會到知識的關鍵點和易錯點，辨析出知識的異同，加深對知識的理解，讓學生經歷“數學化”和“再創造”的過程，找到正確的解法和結論，有效地知錯、改錯、防錯
一、在解題的方法規律處反思
“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。
例如：（原例題)函數在閉區間上的最小值記為．試寫出的函數表達式．
變式1 （1）求函數在的最大值和最小值．
（2）求函數在的最大值和最小值．
（3）求函數在的最大值和最小值．
變式2 已知函數在時有最大值2，求的值．
變式3 已知為實數，函數．求的最小值．
通過例題的層層變式，學生對二次函數的最值問題的四種類型的認識又深了一步，有利于培養學生數形結合思想，培養學生從具體到抽象地分析問題、解決問題的能力.
又如 求經過兩圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程．
此題可先求兩圓的交點再求解，也可設圓系方程求解。
從而使學生通過比較方法的優越性而有選擇性的選擇解題方法．通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生打破思維定勢；有利于培養思維的變通性和靈活性。
二，在學生易錯處反思
學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果!
例如 (1)求函數的最值.
(2)求函數的值域.
解此兩題學生基本上直接套用均值不等式.出現這些錯誤的原因有哪些? 怎樣克服這些錯誤呢? 同學們各抒己見，針對“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學是成功的，學生在計算的準確率、計算的速度兩個方面都有極大的提高。
三、在情感體驗處反思
一、要突出本質屬性――“概念型”例題
在數學教學過程中，讓學生理解基礎的數學概念是培養學生具備獨立思考問題能力并進行推理證明能力的基礎依據。教學中多是通過列舉出典型例題然后進行科學分析從而總結出抽象的概念，通過典型例子把握具體內容，理解數學概念。
例如，初一學生初次接觸正負數的概念，教學時我們可先向學生提供一些相反意義的例題（如“氣溫的零上、零下”，“倉庫的進出”，“存款、貸款”，“向東、向西”等），然后抓住這些實例的本質特征真正引出正負數的概念，這樣學生就從一個感性認識自然地過渡到理性認識，使他們既容易接受又容易理解了。因此，對于建立概念的例題，我們必須抓住例子的實質特征，突出概念的本質，講清概念的形式。
二、緊扣定理、法則――“基礎型”例題
在基礎知識的教學中，我們教師在講清基礎知識的同時，必須設計若干鞏固基礎知識的例題（如判斷題、填空題、口答題），對例題分析引導時，要緊扣定義、定理、法則、公式，并善于指出學生容易犯錯誤的地方，再通過一定量的練習、作業，使學生最終自行掌握基礎知識。
例如，在乘方的教學過程中選擇例題：請分別指出（-2）2，-22的意義并計算；在冪的運算的教學過程中選擇如下例題：請辨析下列各式：①a2+a2=a4；②a4÷a2=a4÷2=a2；③-a3?（-a）2=（-a）3+2=-a5；④（-a）0÷a3=0；⑤（a-2）3?a=a-2+3+1=a2。這樣的例題教學鞏固所學的基礎知識，教師通過引導學生學習示范例題，掌握數學定義、定理、法則以及公式，學生在計算的準確率、計算的速度兩個方面都可以有所提高。
三、“規律型”例題，要注意歸納綜合
為了使學生在解題時有較敏銳的觀察能力和較豐富的聯想能力，舉一反三，觸類旁通，提高解題能力，規律型例題是培養學生能力的一座橋梁。我們在規律型例題教學中，必須善于采用比較、分析、歸納、綜合的方法，揭示其解題規律，這就等于交給了學生解決問題的鑰匙，從而使學生能夠自己去解決新問題。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長。（我們可以將此例題進行一題多變）
變式1 已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）
變式2 已知等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）
變式3 已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維的嚴密性）
變式4 已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。
變式5 已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0
四、“綜合型”例題，要尋求知識聯系
綜合型題是培養學生運用綜合知識靈活解題的能力，也是考試中最為常見的類型，因而，綜合型例題教學環節十分必要。但由于綜合題知識往往覆蓋面廣，聯系較復雜，因此，教師需要選好題型并在分析例題的過程中將綜合題分解成幾個小部分，與學生詳細分析涉及的基本知識。
例如：某學校計劃在總費用2300元的限額內，租用汽車送234名學生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師?，F有甲、乙兩種大客車，它們的載客量是45人每輛和30人每輛，租金是400元每輛和280元每輛。
（1）共需租多少輛汽車？
（2）給出最節省費用的租車方案。
本題是經濟類討論問題，可讓學生相互討論，經過討論發現本題是利用方程、函數、不等式知識互相滲透來解決這個問題。
當然，上述情況與學生的知識水平、理解能力等都有一定的關系。其中，例題教學這一塊值得反思，例題教學是數學教學的重頭戲，一方面數學例題占了題目數量的大多數，另一方面講解數學例題占用了課堂時間的絕大多數。數學例題教學是知識由產生到應用的關鍵一步，把例題教好是把數學教好的重要環節。如果學生在學習的時候只是停留在會解題，而不思考的狀態，出現知識脫節的情況也就不奇怪了。
一、通過例題的變式進行反思
很多老師為了中考使用“題海”戰術，雖然做的題目很多，但卻難以達到提高解題能力和發展思維的目的。就像磨坊中拉磨的毛驢，雖然每天辛勤勞作，卻總在原地打轉。教師應該充分挖掘例題資源，從廣度和深度進行拓展，采用一題多變的形式，提高學生解題的能力和促進學生思考的發展。例題的變式有利于學生從特殊到一般，有條理地分析問題、解決問題。通過例題變式的教學幫助學生形成數學解題思維模式，根據具體題目打破固定思維模式有利于學生培養數學思維的一般性和靈活性。
二、抓住學生易錯知識進行反思
初中學生正處青春期，思維方式還不成熟。知識積累、思維方式、情感體驗往往和作為教師的成年人不同，因此，他們的表達方式可能與教師所理解的有所差異。數學課堂中的例題教學若能從此切入，進行解后反思，往往能找到學生出錯的“病根”，然后對癥下藥，達到藥到病除的效果。
在初中數學教學中，對于課堂出現的問題，教師應盡量現場解決，幫助學生在出現錯誤時就能及時認識并糾正錯誤，這對于學生今后杜絕此類錯誤是極其有利的。同時在課堂教學結束后，教師應根據學生的實際情況，積極進行課后小結，特別是要總結學生的典型錯誤，對于學生的課堂表現進行點評，反復進行教學思考，并且在今后的教學中注重引導學生進行復習與再次總結，以保證學生在不斷的自我總結中形成較強的數學解題思路與能力。
三、在情感培養之處反思
數學例題的解題過程并非只是一個純粹數學知識的運用、數學技能訓練的過程，而是一個伴隨著學生整個內心情感世界參與的綜合過程。在此處引導學生進行解后反思，有利于激勵學生學習的興趣，點燃學生學習的熱情，變“要我學”為“我要學”；還有利于錘煉學生持之以恒的學習毅力和面對困難時頑強的意志品格。在此過程中，學生自主探究與團隊合作的能力都有提高。
例題：A，B兩家公司都準備面向社會招聘人才，兩家公司條件基本相同，只有工資待遇有如下的差異：A公司年薪10000元，一年后每年加工齡工資400元；B公司半年薪5000元，半年后每半年加工齡工資100元，求A、B兩家公司第n年的年薪分別是多少？從經濟角度考慮，選擇哪家公司更有利？然后圍繞問題設計以下幾個問題讓學生思考并分組討論。
1.要計算兩公司第n年的工資，首先要從哪兒開始？
2.兩公司的工資又應如何分別計算？相等關系是什么？
此舉通過設計有梯度的問題，層層深入，使學生始終處于主動狀態。問題提出后，學生經過思考，展開討論，A公司的工資大部分學生都能得到正確答案，而對于B公司的工資有的學生認為“整年計算較簡單”，有的則認為“分為前半年和后半年分別計算不容易出錯”等等。根據不同學生所得出的不同答案，教師直接給予肯定或學生發表個人意見，這樣師生之間、學生之間都融于交流互動的氛圍中。而后，教師利用表格讓學生填寫并對式子進行講解，其他同學對他們的講解進行討論，此時同學們參與教學的情緒較為高漲。而對另一個問題讓學生自己考慮如何選擇，鍛煉他們將數學問題與實際相結合的能力。
孔子云：學而不思則罔?！柏琛奔疵曰蠖鴽]有所得，把其意思引申一下，我們也就不難理解例題教學為什么要進行解后反思了。事實上，解后反思是一個知識小結、方法提煉的過程；是一個吸取教訓、逐步提高的過程；是一個收獲希望的過程。從這個角度上講，例題教學的解后反思應該成為例題教學的一個重要內容。本文擬從以下三個方面作些探究。
1在解題的方法規律處反思
“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6；求周長。我們可以將此例題進行一題多變。
變式1 已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）
變式2 已等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論） 變式3已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維嚴密性）
變式4 已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。
變式5 已知等腰三角形的腰長為X，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0y2x的理解運用，是完成此問的關鍵）
通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破思維定勢；有利于培養思維的變通性和靈活性。
2在學生易錯處反思
學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！
有這樣一個曾刊載于《中小學數學》初中（教師）版2004年第5期的案例：一位初一的老師在講完負負得正的規則后，出了這樣一道題：―3×（―4）= ？，A學生的答案是“9”，老師一看：錯了！于是馬上請B同學回答，這位同學的答案是“12”，老師便請他講一講算法：……，下課后聽課的老師對給出錯誤的答案的學生進行訪談，那位學生說：站在―3這個點上，因為乘以―4，所以要沿著數軸向相反方向移動四次，每次移三格，故答案為9。他的答案的確錯了，怎么錯的？為什么會有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的例題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。
3在情感體驗處反思
