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序論：在您撰寫數學模型時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
【關鍵詞】金融數學 模型
一、金融數學概念
金融理論的核心問題,就是研究在不確定的環境下，經濟人在空間和時間上分配或配置金融資產的活動。這種金融行為涉及到金融資產的時間因素、不確定性因素即金融資產的價值和風險問題。處理這種復雜性常常需要引入復雜的數學工具。金融數學是指運用數學理論和方法,研究金融運行規律的一門學科。其核心問題是在不確定多期條件下的證券組合選擇和資產定價理論。套利、最優和均衡是其中三個主要概念。證券組合理論、資本資產定價模型、套利定價理論、期權定價理論和資產結構理論在現代金融數學理論中占據重要地位。
二、金融數學中的模型
1有效市場理論
市場的有效性這一概念起源于本世紀法國人Bachelier的研究。他首次運用布朗運動模型來導出期權公式是在1900年,市場有效性的起源也正是在那個時候。然而市場有效性與信息相聯系,是近幾十年來的工作。Fama指出價格完全反映了可以使用的信息時,這個市場才能被稱為是有效的，但是市場是有套還是無套利,是高效還是低效,不是非此即彼的問題,而是程度問題。
有效市場假設一直是激烈爭論的問題，學者們進行了無數次理論研究和實證考察,對有效的市場理論的邏輯基礎提出疑義：一方面市場的有效性是投機和套利的產物,而投機和套利都是有成本的活動；另一方面,因為市場是有效的,所以投機和套利是得不到回報的,這些活動就會停止，但是一旦停止了投機和套利的活動,市場又怎么能繼續有效呢？無疑,投機和套利活動使得價格更為有效。正是這一矛盾統一體的不斷變化,才使市場呈現出統計上的周期性變化。
2證券組合理論
金融學從定性分析到定量分析始于馬科維茨的證券組合選擇理論。馬科維茨首先將概率理論與數學規劃成功地結合在了一起，把組合投資中的股票價格作為隨機變量，用其均值表示受益，方差表示風險。當收益不變、使風險最小的投資組合問題可歸結為二次規劃的最優解。通過數量分析得出的這種結論,迎合了投資者規避風險的需要。隨著量化研究的不斷深入,組合理論及其實際運用方法越來越完善,成為現資學中的交流工具。但馬科維茨組合理論中的許多假設條件無法滿足,使其在現實中失效。為了克服這一困難,后來發展了基于神經網絡的證券優化算法。
3資本資產定價模型（CAPM）
資本資產定價模型主要描述了當市場處于均衡狀態下，如何決定資產的相關風險以及收益和風險的相互關系。在均衡的市場中，理性的投資者都會持有市場證券組合的比例。市場證券組合是包含對所有證券投資的證券組合，其中每一種證券的投資比例等于它的相對市場價值，一種證券的相對市場價值等于這種證券總的市場價值除以所有證券總和的市場價值。該模型首先給出了風險資產收益率與市場風險之間的線性關系。同時也給出了單個證券的收益與市場資產組合收益之間的數量關系。資本資產定價模型的理論精華是一種證券的預期收益,可以用這種資產風險測度β來測量，既建立了期望收益率與β之間的線性關系。這一關系給出了很好的的兩個命題。第一,為潛在的投資提供了一種估計其收益率的方法。第二,也為我們不在市場上交易的資產同樣作出合理的定價。比如估計一級市場股票發行價。
4 APT模型
資本資產定價模型刻畫了在資本市場達到均衡時資本收益的決定機制，他基于眾多的假設，而且其中一些假設并不符合現實，在檢驗CAPM時，一些經驗結果與其不符，為此在1970年羅斯提出了一種新的資本資產均衡模型即套利定價模型。該模型認為風險是由多個因素產生的，不僅僅是一個市場因素，尤其是他對風險態度的假設比CAPM更為寬松，也更為接近現實。APT的核心是假設不存在套利機會，證券的預期收益與風險因素存在近似的線性關系。APT理論的貢獻主要在于其對均衡狀態的描述。但由于APT理論只是闡明了資產定價的結構，而沒有說明是哪些具體的經濟的或其它的因素影響預期收益，所以這一理論的檢驗和實際應用都受到了一定的限制。
5期權定價模型
布萊克和斯科爾斯的期權定價模型的推導建立在沒有交易成本、稅收限制等6個假設基礎上。該模型表明:期權的價格是期權商品市場價格、商品市場價格的波動、期權執行價格距到期日時間的長短以及安全利息率的函數。自從布萊克和斯科爾斯的以后,由默頓、考克斯、魯賓斯坦等一些學者相繼對這一理論進行了重要的推廣并得到廣泛的應用。期權定價模型可用來制定各種金融衍生產品的價格,是各種衍生產品估價的有效工具。期權定價模型為西方國家金融創新提供了有利的指導,是現代金融理論的主要內容之一。
6資產結構理論
在現代金融理論中,公司的資產結構理論(也稱為MM定理)與有效市場理論和資產組合理論幾乎是在同一時期發展起來的具有同等重要地位的成果。MM定理的條件是非常苛刻的，正是因為這些假設抽象掉了大量的現實東西，從而揭示了企業金融決策中最本質的東西即企業經營者和投資者行為及其相互作用。該定理公開發表以后,一些經濟學家又對這一定理采用不同的方法從不同的角度作了進一步證明。其中最著名的有Hamda用資本定價模型進行了再證明,還有Stiglize用一般均衡理論作了再證明,結論都與MM定理是相一致的。
三、結語
數學模型已經大量的應用在金融學中，極大的促進了金融理論的發展。金融數學模型都是在很多假設的條件下才能成立，這些假設有些與客觀現實有一定差距甚至抵觸,因而解決這類問題就不理想，范圍也十分狹窄,需要在數學上改進和發展。世界各國金融背景和管理模式各異，需要大量建立符合自己國情的金融模型和分析方法。
參考文獻：
關鍵詞：數學建模；解模；釋模；數學模型
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2016）06-0054-04
2015年，上海市教委教研室頒布的新版《上海市中等職業學校數學課程標準》中，把數學建模、解模、釋模的能力提到了一個新的高度。如在第6頁的“能力架構”一節中提到：中職數學課程應更多體現數學的工具性，培養學生解決各類問題的能力，在問題解決的各種形態轉化過程中，需要數學知識和認知情感方面的保障，需要“建模、解模、釋?！比齻€環節中相應的數學能力。
同時，上海中職校從2015年起就要開始實施學業水平考試，這些新要求、新情況給廣大的中職校數學教師及學生帶來了新的挑戰。
作為一名一線的數學教師，本人已在平時的教學過程中不斷加入了對于數學建模的思考，下文就是本人在一年級新生中開設的一堂關于如何進行數學建模的理念課的教學過程。
筆者所在學校使用的是上海教育出版社2015年8月出版的《中等職業學校教材試用本――數學》，該教材第一冊中，在第2.1小節《不等式的基本性質》后面，有一節拓展閱讀內容，名為“烹飪中的數學模型”。本堂課就是依據這一教材內容來設計的。
一、導入過程
本過程選取了兩個已經學過的知識點，配置相關場景，讓學生了解：數學建模不是一個新鮮的東西，而是我們之前已經碰到過的東西。
老師：同學們，我們每個班級里面的同學，都有著不同的體育愛好，參加過不同的比賽，比如有的同學參加過籃球比賽，有的參加過足球比賽，還有的參加過乒乓球比賽，等等。如果這個班級總共有40人，其中參加過籃球比賽的同學有25人，參加過足球比賽的同學有22人，請問，同時參加過籃球和足球比賽的學生有多少？
學生：同時參加過籃球和足球比賽的學生有7人。
老師：回答正確。但是，這個問題可以和我們前面學習的什么知識聯系起來呢？
馬航失聯至今為止都是一個未解開的謎團，而飛機失事也越發受到人們的關注。飛機失事后的救援工作更是重中之重，全世界都會關注救援的進度。如何準確快速的進行搜救也就成為了一個重要的問題。
本文將整個救援問題分為三個步驟：落點確定，搜索范圍確定，搜索路徑確定。通過對每一個步驟的確定，可以匯總出一個完整的搜救方案。首先，飛機墜落時，考慮到飛機種類不同，我們綜合了飛機重量，機翼面積，升阻比等參數，研究了飛機飛行高度與落點位置之間的關系，可以確定不同種類的飛機在不同高度墜落時落點的位置，對搜救工作進行第一步的定位。第二步，飛機墜毀解體后，會有不同種類的物體掉入海中，物體在海中受到洋流，風，海浪等等因素的影響做漂移運動。我們考慮了風和洋流對不同物體的作用不同，結合物體自身性質，研究了物體的漂移軌跡，通過風和洋流的實時信息，可以模擬推算出物體所在區域。不同種類的物體分布在不同的區域。根據第一步的落點和這一步的物體漂移范圍可以確定搜索的區域，不同的區域運用不同的搜救設備會使搜救效率提升，比如搜索沉沒海中的物體可以用攜帶探測水下設備的飛機進行搜救。第三步，對前面確定的區域進行搜索，因為區域內概率分布不均勻，所以根據區域內的概率制定搜救路徑，使搜救效率最高，增加救援成功率。通過這種方法，我們可以較為精準的確定搜救方案，方案的適用范圍較廣，模型靈敏度較高，模型可以自由調節精度。
失事飛機海上搜救問題需要抓住兩個重要因素：準確性和迅速性。準確性就是保證確定的搜救區域的準確性，因此需要考慮飛機落點的準確性和漂移軌跡的準確性。因此必須盡可能多的考慮影響因素，并搜集實時的準確數據以保證模型的準確性。迅速性就是搜索方案要保證最優，以最短的時間搜索盡可能大的范圍，搜救工作就是與時間賽跑，方案越迅速，搜救成功率越高。
飛機下降過程受到重力及斜向上的氣流阻力，氣流阻力與空氣密度有關，由機下墜落差很大，空氣密度變化很大，故而需要考慮空氣密度帶來的影響。將氣流阻力及重力分解在運動軌跡切線方向及其法線方向上，產生切線加速度及向心加速度，建立平面直角坐標系上的微分動力學方程，用MATLAB數值解法求解微分方程曲線，即為運動軌跡。
本文的研究可以對海上失事飛機的搜救工作起到一定參考作用。還有許多改進的地方，我們會繼續努力完善，希望可以對失事飛機的搜救工作做出更大的貢獻。
關鍵詞：泡沫驅；總量平衡模型；阻力因子；數學模型；數值模擬
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.06.217
1 引言
泡沫驅是一種新型化學驅油技術，應用前景廣闊[1]。根據室內試驗研究，泡沫驅油機理主要機理為選擇性封堵高滲帶，擴大波及。目前泡沫驅數學模型主要采用等效模型，且考慮的影響參數較少[2-5]，需要進一步改進完善，提高應用適應性。
2 基于總量平衡方程的泡沫驅數學模型
2.1 泡沫總量平衡方程
流體系統包含油、氣、水三相，可考慮的組分包括：油、氣、水組分，表面活性劑（起泡劑），聚合物，陰陽離子，泡沫；表面活性劑、聚合物、陰陽離子存在于水相中，泡沫組分存在于氣相中；考慮起泡劑和聚合物在油藏中的對流、擴散和吸附損耗?；谫|量守恒，各組分的平衡方程為：
其中為相數，為油藏介質孔隙度，%，為組分的密度，g/cm3，是第組分的總濃度，%，為組分在相中的濃度，%，為包含分子擴散的Fick彌散張量，為相速度，m/day。
對于泡沫組分，其右端項為，其中，，分別為泡沫生成、聚并以及破滅速度，該項包含了動態的物理化學反應平衡，因此，稱為總量平衡方程。泡沫生成和聚并速度表達式：
式中，、分別為水和氣體的流速，m/s。k1為泡沫生成 速度常數，與起泡劑濃度和含油飽和度有關。k2是聚并系數，無量綱，與毛管力有關。
室內研究表明，隨著含油飽和度的增大，氣相中泡沫的濃度顯著降低，泡沫穩定性下降，泡沫遇油破滅的速度表達式為：
式中為臨界含油飽和度，%，為聚合物濃度，%，為實驗參數，無量綱。
2.2 泡沫阻力因子模型
通過滲透率下降因子描述泡沫的選擇性封堵、氣相剪切等機理，根據實驗結果與認識，引入臨界含油飽和度，臨界表面活性劑濃度，臨界毛管力來描述遇油消泡，遇水生泡特征。
（1）臨界含油飽和度、表活劑濃度與毛管力。當含油飽和度低于或表面活性劑濃度大于臨界濃度時，形成泡沫，反之不形成泡沫。毛管力高于臨界毛管力的一個鄰域，不形成泡沫，低于該鄰域，所形成的泡沫的強度會很高。
（2）滲透率下降因子。泡沫有選擇性封堵作用，滲透率越高，泡沫的流動阻力越大，反之流動阻力越小。記為氣相滲透率下降因子，則，其中為泡沫引起的滲透率下降因子，為修正因子，用于描述氣相剪切和選擇性封堵。
綜合泡沫的生成機理和臨界毛管力模型，建立如下氣相相對滲透率下降因子模型：
其中為低毛管力時的泡沫最佳強度對應的滲透率下降因子，無量綱，，分別是氣相的實際流速和參考流速， m/s，是油層滲透率對有效厚度的加權平均，md，為常數，根據實驗得到。
3 模型測試與應用
本節通過概念模型測試改進后的數學模型對機理的描述是否合理。建立如下模型：網格規模31×31×6，網格大小為10×10×2 m3，采用正五點布井，注入井為定量井，生產井為定壓井，初始水、氣飽和度均為20%，水平方向滲透率為2000md，Z方向滲透率為20md，油藏頂深1200m。模擬時間3650天（10年），日注水量為20m?，日注氣量為20m?，設計1000天-2700天分別注入泡沫驅段塞、表活劑段塞、純水驅段塞三種方案。不同方案含水及采收率曲線如下：
通過圖1可以看出，相比水驅，泡沫驅能夠有效降低油氣流度比，從而降低含水，提高油藏采收率，而低張力表活劑驅盡管能夠降低殘余飽和度，由于不能改變流度比，因此增油效果并不好。下圖中對比了不同的氣液比與泡沫劑濃度對提高采收率的影響：
由圖2可以看出，增加氣液比并沒有顯著提高采收率，這是因為在注入流體中提高氣體的比例過高，容易發生氣竄。采收率隨起泡劑濃度提高而提高，當注入濃度達到一定值后，再提高注入濃度效果有限。
4 結論
本文改進了泡沫驅的數學模型，考慮了泡沫的生成、聚并與破滅，阻力因子模型考慮了飽和度、滲透率、表活劑濃度、流速等多因素的影響，數值模擬算例驗證了數學模型的合理性。在泡沫的動態生成與破滅的進一步準確描述，以及多參數阻力因子的表達式方面，還有待進一步研究。
參考文獻：
[1]周國華，宋新旺，王其偉等.泡沫復合驅在勝利油田的用[J]. 石油勘探與開發，2006，33（03）：369-373.
[2]陳國，趙剛，廖廣志.泡沫復合驅油三維多相多組份數學模型[J]. 清華大學學報（自然科學版），2002，42（12）：1621-1623.
[3]趙剛，王本，陳國等.泡沫復合驅三維多相多組分數學模型的應用[J].大慶石油學院學報，2004，28（04）：35.
[4]李和全，郎兆新，胡靖邦等.泡沫復合驅數學模型[J].大慶石油學院學報，1997，21（03）：20-24.
[5]朱維耀，程杰成，吳軍政.多元泡沫化學劑復合驅油數值模擬研究[J].石油學報，2006，27（03）：65-69.
一、經濟數學模型的基本內涵
數學模型是數學思想精華的具體體現，是對客觀實際對象的數學表述，它是在一定的合理假設前提下，對實際問題進行抽象和簡化，基于數學理論和方法，用數學符號、數學命題、圖形、圖表等來刻畫客觀事物的本質屬性及其內在聯系。當數學模型與經濟問題有機地結合在一起時，經濟數學模型也就產生了。所謂經濟數學模型，就是把實際經濟現象內部各因素之間的關系以及人們的實踐經驗，歸結成一套反映數量關系的數學公式和一系列的具體算法，用來描述經濟對象的運行規律。所以，經濟數學模型是對客觀經濟數量關系的簡化反映，是經濟現象和經濟過程中客觀存在的量的依從關系的數學描述，是經濟分析中科學抽象和高度綜合的一種重要形式。
經濟數學模型是研究分析經濟數量關系的重要工具，它是經濟理論和經濟現實的中間環節。它在經濟理論的指導下對經濟現實進行簡化，但在主要的本質方面又近似地反映了經濟現實，所以是經濟現實的抽象。經濟數學模型能起明確思路、加工信息、驗證理論、計算求解、分析和解決經濟問題的作用，特別是對量大面廣、相互聯系、錯綜復雜的數量關系進行分析研究，更離不開經濟數學模型的幫助。運用經濟數學建模來分析經濟問題，預測經濟走向，提出經濟對策已是大勢所趨。
在經濟數學模型中，用到的數學非常廣泛，有些還相當精深。其中包括線性規劃、幾何規劃、非線性規劃、不動點定理、變分發、控制理論、動態規劃、凸集理論、概率論、數理統計、隨機過程、矩陣論、微分方程、對策論、多值函數、機智測度等等，它們應用于經濟學的許多部門，特別是數理經濟學和計量經濟學。
二、建立經濟數學模型的基本步驟
1.模型準備。首先要深入了解實際經濟問題以及與問題有關的背景知識，對現實經濟現象及原始背景進行細致觀察和周密調查，以獲取大量的數據資料，并對數據進行加工分析、分組整理。
2.模型假設。通過假設把實際經濟問題簡化，明確模型中諸多的影響因素，并從中抽象最本質的東西。即抓住主要因素，忽略次要因素，從而得到原始問題的一個簡化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假設的基礎上，根據已經掌握的經濟信息，利用適當的數學工具來刻畫變量之間的數學關系，把理想化的自然模型表述成為一個數學研究的題材——經濟數學模型。
4.模型求解。使用已知的數學知識和觀測數據，利用相關數學原理和方法，求出所建模型中各參數的估計值。
5.模型分析。求出模型的解后，對解的意義進行分析、討論，即這個解說明了什么問題？是否達到了建模的目的？根據實際經濟問題的原始背景，用理想化的自然模型的術語對所得到的解進行解釋和說明。
6.模型檢驗。把模型的分析結果與經濟問題的實際情況進行比較，以考察模型是否符合問題實際，以此來驗證模型的準確性、合理性和實用性。如果模型與問題實際偏差較大，則須調整修改。
三、建立經濟數學模型應遵從的主要原則
1.假設原則。假設是某一理論所適用的條件，任何理論都是有條件的、相對的。經濟問題向來錯綜復雜，假設正是從復雜多變因素中尋求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近實際情況的假設，從假設中推出初步結論，然后再逐步放寬假設條件，逐步加進復雜因素，使高度簡化的模型更接近經濟運行實際。作假設時，可以從以下幾方面來考慮：關于是否包含某些因素的假設；關于條件相對強弱及各因素影響相對大小的假設；關于變量間關系的假設；關于模型適用范圍的假設等等。
2.最優原則。最優原則可以從兩方面來考慮：其一是各經濟變量和體系上達到一種相對平衡，使之運行的效率最佳；其次是無約束條件極值存在而達到效率的最優、資源配置的最佳、消費效用或利潤的最大化。由于經濟運行機制是為了實現上述目標的最優可能性，我們在建立經濟數學模型時必須緊緊圍繞這一目標函數進行。
3.均衡原則。即經濟體系中變動的各種力量處于相對穩定，基本上趨于某一種平衡狀態。在數學中所表述的觀點是幾個函數關系共同確定的變量值，它不單純是一個函數的變動去向，而是整個模型所共有的特殊結合點，在該點上整個體系變動是一致的，即達到一種經濟聯系的平衡。如需求函數和供給函數形成的均衡價格和數量，使市場處于一種相對平衡狀態，從而達到市場配置的最優。
4.數、形、式結合原則。數表示量的大小，形表示量的集合，式反映了經濟變量的聯系及規律，三者之間形成了邏輯的統一。數學中圖形是點的軌跡，點是函數的特殊值，因而也是函數和曲線的統一。可以認為經濟問題是復雜經濟現象中的一個點，函數則是經濟變量之間的相互依存、相互作用關系，圖形就是經濟運行的規律和機制。所以，數、形、式是建模的主要工具和手段，是解決客觀經濟問題的三個要素。
5.抽象與概括的原則。抽象是思維的延伸，概括是思維的總結，抽象原則揭示了善于從紛繁復雜的經濟現象延伸到經濟本質，挖掘其本質的反映，概括是經濟問題的縱橫比較與分析，以便把握其本質屬性，揭示其規律。
四、構建和運用經濟數學模型應注意的問題
經濟數學模型是對客觀經濟現象的把握，是相對的、有條件的。經濟研究中應用數學方法時，必須以客觀經濟活動的實際為基礎，以最初的基本假設為條件，一旦突破了最初的基本假設，就需要研究探索使用新的數學方法；一旦脫離客觀經濟實際，數學的應用就失去了意義。因此，在構建和運用經濟數學模型時須注意到：
1.首先對所研究的經濟問題要有明確的了解，細致周密的調查。分析經濟問題運行的規律，獲取相關的信息和數據，明確各經濟變量之間的數量關系。如果條件不太明確，則要通過假設來逐漸明確，從而簡化問題。
2.明確建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能會有很大的差異。建模目的可能是為了描述或解釋某一經濟現象；可能是預報某一經濟事件是否發生，或者發展趨勢如何；還可能是為了優化管理、決策或控制等?？傊?，建立經濟數學模型是為了解決實際經濟問題，所以建模過程中不僅要建立經濟變量之間的數學關系表達式，還必須清楚這些表達式在整個模型中的地位和作用。
3.在經濟實際中只能對可量化的經濟問題進行數學分析和構建數學模型，對不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能進行數量分析的。盡管經濟模型是反映事物的數量關系的，但必須從定性開始，離開具體理論所界定的概念，就無從對事物的數量進行分析和討論。
4.不同數學模型的求解一般涉及不同的數學分支的專門知識，所以建模時應盡可能利用自己熟悉的數學分支知識。同時，也應征對問題學習了解一些新的知識，特別是計算機科學的發展為建模提供了強有力的輔助工具，熟練掌握一些數學或經濟軟件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
【關鍵詞】數學模型；小應用；案例
案例：椅子問題
把椅子置于地面時，如果只有三只腳著地，椅子經常放不穩，通常需要調整幾次方可將椅子放穩，試用數學語言對此問題給以表述，并用數學工具說明椅子能否在地面上放穩？若能，請給予證明并給出做法，否則說明理由。
【問題分析】
為了構造距離函數和設定相關參數，讓我們實際操作一下，從中搜集信息，弄清其特征。要想四只腳同時著地，通常有四種方法：其一是將椅子搬離原地，換個位置試驗；另一個做法是原地旋轉試驗，由于前一種方法需要研究的范圍可能要很大，這里我們采取第二種做法。通過實地操作，易得出結論：只要地面相對平坦，沒有地面大起大落的情況，那么隨著旋轉角度的不同，三只腳同時落地后，第四只腳與地面距離也不同（不僅如此，旋轉中總各有兩個腳同時著地，另兩個腳不穩定）。也就是說，這個距離函數與旋轉角度有關，是旋轉角度的函數，于是一個確定的函數關系便找到了，不僅如此，我們的問題也順其自然地轉化為是否存在一角度，使得四個距離函數同時為零？
綜上分析，問題可以歸結為證明函數零點的存在性，遂決定試用函數模型予以處理。
【模型假設】
根據前面的分析，我們可作如下假設：
1）椅子的四只腳同長。
2）將椅子的腳與地面接觸處看成是一個幾何點，四角連線為正方形。
3）地面相對平坦，即在旋轉所在地面范圍內，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。
4）地面高度連續變化，可視地面為數學上的連續曲面。
【建立模型】
首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動。
依據假設條件，四只腳連線呈正方形，因而以其中心為對稱點，令正方形繞中心旋轉便可表示椅子位置的改變，于是可以用旋轉角度的變化表達椅子的不同位置。為此，我們以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，并假設旋轉開始時（角度θ=0）四個椅腳點A，B，C，D中的A點和C點位于x軸上，B點和D點位于y軸上。旋轉角度θ后，點A，B，C，D變到點A′，B′，C′，D′（圖1）。顯然，隨著θ的改變，椅子的位置也隨著改變，從而椅腳與地面距離也隨之改變。盡管椅子有四只腳，有四個距離，但對于每個角度，總有點A、C同時著地而點B、D不同時著地或點B、D同時著地，而點A、C不同時著地，故只要設兩個距離函數即可。因此設A、C兩腳與地面距離之和為fθ，B、D兩腳與地面距離之和為gθ，且作為距離函數的fθ、gθ均為非負函數。由假設（3）可知，對任意角度θ，恒有fθ=0，gθ0或gθ=0。故fθgθ=0對任意θ成立。
要證明存在角度θ0，使fθ0=0，gθ0=0同時成立，還需要條件支持。注意到在初始位置（θ=0）處，有f0=0，g0>0或f0>0，g0=0，而旋轉90°后，兩組條件恰好交換。因此，椅子通過旋轉改變位置能放穩的證明，便歸結為證明如下的數學命題，即
已知fθ、gθ是θ的連續函數，對任意θ，fθgθ=0且f0=0時g0>0，fπ2>0時gπ2=0。
求證：存在θ0∈0，π2，使fθ0=gθ0=0。
這就是椅子問題的數學模型。由此可見只需引進一個變量θ及其一元函數fθ、gθ，便把模型條件和結論用簡單又精確的數學語言表述出來，從而形成所需要的數學模型。
【模型求解】
容易看出本模型屬于一元連續函數的零點存在性問題，使用介值定理便可輕松證明它。
一、數學模型的概念
數學模型是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言，概括或近似地表述出來的一種數學結構。這種數學結構是借助于數學概念和符號刻畫出來的某種系統的純關系結構，所以在數學模型的形成過程中，已經用了抽象分析法，可以說抽象分析法是構造數學模型的基本手段。從廣義上講，數學中的各種基本概念如實數、向量、集合等可叫做數學模型，因為它們是以各自相應的實體為背景加以抽象出來的最基本的數學概念，這種可稱為原始模型。如例1：自然數1、2、3、4…n是用來描述離散型數量的模型；例2：每一個代數方程或數學公式也是一個數學模型，如ax +bx+c=0。但狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫數學模型。一般的，在應用數學中，數學模型都作狹義講，構建數學模型的目的就是為了解決實際問題。
二、數學模型的類別
1.按照建立模型的數學方法進行分類，如初等數學模型、幾何模型、規劃模型等。
2.按模型的表現特性，可分為確定性模型與隨機模型、靜態模型與動態模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續模型。
3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、預報模型、優化模型、決策模型、控制模型等。
三、數學模型的缺點
1.模型的非預制性。實際問題各種各樣，變化萬千，這使得建模本身常常是事先沒有答案的問題，在建立新的模型的過程中，甚至會伴隨著新的數學方法或數學概念的產生。
2.模型的局限性。首先模型是現實對象簡化、理想化的產物，所以一旦將模型的結論用于實際問題，那些被忽視的因素必須考慮，因此結論的通用性和精確性只是相對的。另外，由于人們認識能力和數學本身發展水平的限制，有不少實際問題很難得到有實用價值的數學模型。
四、建模的步驟
建模過程有哪些步驟與實際問題的性質、建模的目的等有關，下面我們先看兩個例子：
例一：家用電器一件，現價2000元，實行分期付款，每期付款數相同，每期為一個月，購買后一個月付款一次，再過一個月又付款一次，共12次，即購買一年后付清，若按月利率8‰，每月復利計算一次，那么每期應付款多少？
這是一道關于分期付款的實際應用題，我們要求解就必須構建數學模型。通過分析，問題體現出的等量關系為分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計，應等于所購物品的現價及這個現價到最后一次付款時所生的利息之和。因此，設每期應付款為x元，那么，到最后一次付款時，
第一期付款及所生利息之和為x×1.008 ，
第二期付款及所生利息之和為x×1.008 ，
第三期付款及所生利息之和為x×1.008 ，
……
……
第十一期付款及所生利息之和為x×1.008，
第十二期付款及所生利息之和為x，
而所購電器的現價及其利息之和為2000×1.008 ，
由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，
由等比數例求和公式得：
x≈175.46（元）
也就是每期應付款175.46元。
例二：關于物體冷卻過程一個問題：設某物體置于氣溫為24℃的空氣中，在時刻t=0時，物體溫度為u =150℃，經過10分鐘后物體溫度變為u =100℃，試確定該物體溫度u與時間t之間的關系并計算t=20分鐘時物體的溫度。
為了解決此問題就要構造一個數學模型，首先由于該問題涉及必然性現象，故要選取一個確定性數學模型。又為了反映物體冷卻過程這樣一個物理現象，還必須應用牛頓冷卻定律：在一定溫度范圍內，一個物體的溫度變化率恒與該物體和所在介質之溫差成正比。在該問題里，物體溫度u應是時間變量的連續函數，記為u=u（t）。對初始溫度u 而言，溫差為u -u （u 為空氣介質溫度）。我們又知道，應變量（函數）的變化率可用導數概念來表述，于是物體冷卻過程（現實原型）的數學模型就是如下形式的微分方程：
=-k（u-u ），k為比例常數，在具體問題里可確定下來。
具體問題要求出函數關系u=u（t）的顯式表示。易得
log （u-u ）=-kt+c
u-u =A•e ，其中A為常數，代入t=0時，u=u ，則u -u =Ae°=A，
u=（u -u ）e +u 這就是方程解。
有了一般模型，只要把實際問題里的具體數據一一代入即可。
100=（150-24）e +24
k=0.051
因此對具體問題有特殊模型為u=24+126e ，將t=20代入則得u（20）=24+40=64答案即為64℃。
所以我們建立數學模型的步驟可以歸納如下：
模型準備：首先要了解問題的實際情境，情況明白才能方法正確?？傊龊媒５臏蕚涔ぷ?。
提出問題：通過恰當假設，將問題進行簡化。
模型構成：根據分析對象的內在規律和適當工具，構造各個量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關系或其它數學結構。建模時應遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數學工具，這樣才有利于更多的人了解和使用。
模型求解：可以采用解方程、邏輯運算、數值計算等各種傳統方法，也可使用近代的數學方法如計算機技術等。
模型檢驗：把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。若合乎則得出結果：若不合乎實際則應重新建模，直到檢驗結果合乎實際為止。
四、有關數學建模能力培養的建議
在分析了數學建模的物點、過程之后，我們知道用數學模型解決實際問題首先是用數學語言表述問題，即構造模型，這就需要有廣博的知識、足夠的經驗、豐富的想象力和敏銳的洞察力。
1.教師應努力成為數學建模的先驅者，根據教學內容和學生的實際情況提出一些問題供學生選擇，如關于哥尼斯堡七橋問題；或者提供一些實際情境，引導學生提出問題，如銀行的分期付款問題、公平的席位分配、傳染病的隨機感染、線性規劃等問題。特別要鼓勵學生從自己生活的世界中發現問題，提出問題。
2.數學建?？刹扇≌n題組的學習模式，教師應引導學生學會獨自思考，分工合作，交流討論，互相幫助。
3.數學建?；顒又袘膭顚W生使用計算機、計算器。
4.教師應指導學生完成數學建模報告，并及時給出評價，評價內容應堅持創新性、現實性、真實性、合理性、有效性，這幾個方面不必追求全面，只要有一項做得好就應該予以肯定。
總之，數學建?？梢钥闯梢婚T藝術，藝術在某種意義下是無法歸納出幾條準則或方法的，一名出色的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指導，更需要自身實踐，愿我們的教師增強建模意識，激發學生對數學建模的興趣，為使其今后具備較高的建模能力而努力。
