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序論：在您撰寫高等函數的概念時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
三角函數與解三角形
第九講
三角函數的概念?誘導公式與三角恒等變換
2019年
1.(2019北京9)函數的最小正周期是
________.
2.(2019全國Ⅲ理12)設函數=sin()(>0),已知在有且僅有5個零點,下述四個結論:
①在()有且僅有3個極大值點
②在()有且僅有2個極小值點
③在()單調遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結論的編號是
A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④
3.(2019天津理7)已知函數是奇函數,將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數為.若的最小正周期為,且,則
A.
B.
C.
D.
4.(2019全國Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin
2α=cos
2α+1,則sin
α=
A.
B.
C.
D.
5.(2019江蘇13)已知,則的值是_________.
6.(2019浙江18)設函數.
(1)已知函數是偶函數,求的值;
(2)求函數
的值域.
2010-2018年
一?選擇題
1.(2018全國卷Ⅲ)若,則
A.
B.
C.
D.
2.(2016年全國III)若
,則
A.
B.
C.1
D.
3.(2016年全國II)若,則(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2015新課標Ⅰ)
A.
B.
C.
D.
5.(2015重慶)若,則=
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2014新課標Ⅰ)若,則
A.
B.
C.
D.
7.(2014新課標Ⅰ)設,,且,則
A.
B.
C.
D.
8.(2014江西)在中,內角A,B,C所對應的邊分別為,若,則
的值為(
)
A.
B.
C.
D.
9.(2013新課標Ⅱ)已知,則(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2013浙江)已知,則
A.
B.
C.
D.
11.(2012山東)若,,則
A.
B.
C.
D.
12.(2012江西)若,則tan2α=
A.?
B.
C.?
D.
13.(2011新課標)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=
A.
B.
C.
D.
14.(2011浙江)若,,,,則
A.
B.
C.
D.
15.(2010新課標)若,是第三象限的角,則
A.
B.
C.2
D.-2
二?填空題
16.(2018全國卷Ⅰ)已知函數,則的最小值是_____.
17.(2018全國卷Ⅱ)已知,,則___.
18.(2017新課標Ⅱ)函數的最大值是
.
19.(2017北京)在平面直角坐標系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關于軸對稱.若,則=___________.
20.(2017江蘇)若,則=
.
21.(2015四川)
.
22.(2015江蘇)已知,,則的值為_______.
23.(2014新課標Ⅱ)函數的最大值為____.
24.(2013新課標Ⅱ)設為第二象限角,若,則=___.
25.(2013四川)設,,則的值是_____.
26.(2012江蘇)設為銳角,若,則的值為
.
三?解答題
27.(2018江蘇)已知為銳角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
28.(2018浙江)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,它的終邊過點.
(1)求的值;
(2)若角滿足,求的值.
29.(2017浙江)已知函數.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及單調遞增區間.
30.(2014江蘇)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2014江西)已知函數為奇函數,且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
32.(2013廣東)已知函數.
(1)
求的值;
(2)
若,求.
33.(2013北京)已知函數
(1)求的最小正周期及最大值;
(2)若,且,求的值.
34.(2012廣東)已知函數,(其中,)的最小正周期為10.
(1)求的值;
(2)設,,,求的值.
專題四
三角函數與解三角形
第九講
三角函數的概念?誘導公式與三角恒等變換
答案部分
2019年
1.解析:因為,
所以的最小正周期.
2.解析
當時,,
因為在有且僅有5個零點,所以,
所以,故④正確,
因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案,
下面判斷③是否正確,
當時,,
若在單調遞增,
則,即,因為,故③正確.
故選D.
3.解析
因為是奇函數,所以,.
將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數為,即,
因為的最小正周期為,所以,得,
所以,.
若,即,即,
所以,.
故選C.
4.解析:由,得.
因為,所以.
由,得.故選B.
5.解析
由,得,
所以,解得或.
當時,,,
.
當時,,,
所以.
綜上,的值是.
6.解析(1)因為是偶函數,所以,對任意實數x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(2)
.
因此,函數的值域是.
2010-2018年
1.B【解析】.故選B.
2.A【解析】由,,得,或
,,所以,
則,故選A.
3.D【解析】因為,所以,
所以,所以,故選D.
4.D【解析】原式=.
5.C
【解析】
=,選C.
6.C【解析】
知的終邊在第一象限或第三象限,此時與同號,
故,選C.
7.B【解析】由條件得,即,
得,又因為,,
所以,所以.
8.D【解析】=,,上式=.
9.A【解析】因為,
所以,選A.
10.C【解析】由可得,進一步整理可得,解得或,
于是.
11.D【解析】由可得,,
,答案應選D.
另解:由及,可得
,而當時
,結合選項即可得.
12.B【解析】分子分母同除得:,
13.B【解析】由角的終邊在直線上可得,,
.
14.C【解析】
,而,,
因此,,
則.
15.A【解析】
,且是第三象限,,
.
16.【解析】解法一
因為,
所以,
由得,即,,
由得,即
或,,
所以當()時,取得最小值,
且.
解法二
因為,
所以
,
當且僅當,即時取等號,
所以,
所以的最小值為.
17.【解析】,,
①,
②,
①②兩式相加可得
,
.
18.1【解析】化簡三角函數的解析式,則
,
由可得,當時,函數取得最大值1.
19.【解析】角與角的終邊關于軸對稱,所以,
所以,;
.
20.【解析】.
21.【解析】.
22.3【解析】.
23.1【解析】
.,所以的最大值為1.
24.【解析】,可得,,
=.
25.【解析】
,則,又,
則,.
26.【解析】
因為為銳角,cos(=,sin(=,
sin2(cos2(,
所以sin(.
27.【解析】(1)因為,,所以.
因為,所以,
因此,.
(2)因為為銳角,所以.
又因為,所以,
因此.
因為,所以,
因此,.
28.【解析】(1)由角的終邊過點得,
所以.
(2)由角的終邊過點得,
由得.
由得,
所以或.
29.【解析】(Ⅰ)由,,
得.
(Ⅱ)由與得
所以的最小正周期是
由正弦函數的性質得
,
解得,
所以的單調遞增區間是().
30.【解析】(1),
;
(2)
.
31.【解析】(1)因為是奇函數,而為偶函數,所以為奇函數,又得.
所以=由,得,即
(2)由(1)得:因為,得
又,所以
因此
32.【解析】(1)
(2)
所以,
因此=
33.【解析】:(1)
所以,最小正周期
當(),即()時,.
(2)因為,所以,
因為,所以,
所以,即.
34.【解析】(1).
(2)
三角函數與解三角形
第九講
三角函數的概念、誘導公式與三角恒等變換
2019年
1.（2019北京文8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，
是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為
（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
2.（全國Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=
A．
B．
C．
D．
3.（2019江蘇13）已知，則的值是
.
2010-2018年
一、選擇題
1．(2018全國卷Ⅰ)已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則
A．
B．
C．
D．
2．(2018全國卷Ⅲ)若，則
A．
B．
C．
D．
3．(2018北京)在平面坐標系中，，，，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是
A．
B．
C．
D．
4．（2017新課標Ⅲ）已知，則=
A．
B．
C．
D．
5．（2017山東）已知，則
A．
B．
C．
D．
6．（2016年全國III卷）若，則=
A．
B．
C．
D．
7．（2015重慶）若，，則
A．
B．
C．
D．
8．（2015福建）若，且為第四象限角，則的值等于
A．
B．
C．
D．
9．（2014新課標1）若，則
A．
B．
C．
D．
10．（2014新課標1）設，，且，則
A．
B．
C．
D．
11．（2014江西）在中，內角A，B，C所對應的邊分別為若，則的值為
A．
B．
C．
D．
12．(2013新課標2)已知，則
A．
B．
C．
D．
13．（2013浙江）已知，則
A．
B．
C．
D．
14．（2012山東）若，，則
A．
B．
C．
D．
15．(2012江西)若，則tan2α=
A．?
B．
C．?
D．
16．（2011新課標）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=
A．
B．
C．
D．
17．（2011浙江）若，，，，則
A．
B．
C．
D．
18．（2010新課標）若，是第三象限的角，則
A．
B．
C．2
D．2
二、填空題
19．（2017新課標Ⅰ）已知，，則
=__________．
20．（2017北京）在平面直角坐標系中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sin=，則sin=_________．
21．（2017江蘇）若，則=
．
22．（2016年全國Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，則
.
23．（2015四川）已知，則的值是________．
24．（2015江蘇）已知，，則的值為_______．
25．（2014新課標2）函數的最大值為_______．
26．（2013新課標2）設為第二象限角，若
，則=_____.
27．（2013四川）設，，則的值是____________．
28．（2012江蘇）設為銳角，若，則的值為
．
三、解答題
29．（2018浙江）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點．
(1)求的值；
(2)若角滿足，求的值．
30．（2018江蘇）已知為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
31．（2015廣東）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
32．(2014江蘇)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
33．（2014江西）已知函數為奇函數，且，其中．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
34．（2013廣東）已知函數．
(1)
求的值；
(2)
若，求．
35．（2013北京）已知函數
（1）求的最小正周期及最大值．
（2）若，且，求的值．
36．（2012廣東）已知函數，（其中，）的最小正周期為10．
(1)求的值；
(2)設，，，求的值．
專題四
三角函數與解三角形
第九講
三角函數的概念、誘導公式與三角恒等變換
答案部分
2019年
1.解析
由題意和題圖可知，當為優弧的中點時，陰影部分的面積取最大值，如圖所示，設圓心為，，.
此時陰影部分面積.故選B.
2.解析
由，得.
因為，所以.
由，得.故選B.
3.解析
由，得，
所以，解得或．
當時，，，
.
當時，，，
所以.
綜上，的值是．
2010-2018年
1．B【解析】由題意知，因為，所以，
，得，由題意知，所以．故選B．
2．B【解析】．故選B．
3．C【解析】設點的坐標為，利用三角函數可得，所以，．所以所在的圓弧是，故選C．
4．A【解析】由，兩邊平方得，所以，選A．
5．D【解析】由得，故選D．
6．D【解析】由，得，或，
，所以，故選D．
7．A【解析】．
8．D【解析】由，且為第四象限角，則，
則，故選D．
9．C【解析】知的終邊在第一象限或第三象限，此時與同號，
故，選C．
10．B【解析】由條件得，即，
得，又因為，，
所以，所以．
11．D【解析】=，，上式=．
12．A【解析】因為，
所以，選A.
13．C【解析】由，可得，進一步整理可得，解得或，
于是．
14．D【解析】由可得，
，，答案應選D。
另解：由及可得
，
而當時，結合選項即可得.答案應選D．
15．B【解析】分子分母同除得：，
16．B【解析】由角的終邊在直線上可得，，
．
17．C【解析】
，而，，
因此，，
則．
18．A【解析】，且是第三象限，，
．
19．【解析】由得
又，所以
因為，所以
因為．
20．【解析】與關于軸對稱，則
，
所以．
21．【解析】．
22．【解析】因為，所以
，因為為第四象限角，所以，
所以，
所以，
所以．
23．【解析】由已知可得，
＝．
24．3【解析】．
25．1【解析】
．，所以的最大值為1．
26．【解析】,可得，
，=．
27．【解析】，則，又，
則，．
28．【解析】因為為銳角，cos(=,sin(=，
sin2(
cos2(，所以sin(．
29．【解析】(1)由角的終邊過點得，
所以．
(2)由角的終邊過點得，
由得．
由得，
所以或．
30．【解析】(1)因為，，所以．
因為，所以，
因此，．
(2)因為為銳角，所以．
又因為，所以，
因此．
因為，所以，
因此，．
31．【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）
．
32．【解析】（1），
；
（2）
．
33．【解析】（1）因為是奇函數，而為偶函數，所以為奇函數，又得
所以，由，得，即
（2）由（1）得：因為，得又，所以因此
34．【解析】（1）
（2）
所以，
因此
35．【解析】：（1）
所以，最小正周期
當（），即（）時，
（2）因為，所以
因為，所以
所以，即
36．【解析】（1）．
（2）
關鍵詞 高等數學；教材；全導數
中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B 文章編號：1671-489X（2013）12-0098-02
導數概念是微積分學中最重要的概念之一?，F行高等數學教材中主要講述一元函數的導數、多元函數的偏導數、方向導數、復合函數的全導數等概念。全面、系統、準確地理解并掌握導數概念是微積分學中最基本與最重要的教學目的之一。為了在實際教學過程中能夠順利地完成與實現這一教學目的，基于對高等教學多年的教學實踐中教與學兩方面反映出的問題的總結分析，筆者認為現行高等數學教材中關于“全導數”概念的命名有值得商榷之處。
數學思維的突破點為數學發展歷程中的一個重要轉折點，也為學生的學習難點，學習者的認知過程會“重演”它的發展經過。因此，就數學教學過程而言，學生就會有一些問題：“全導數”在什么樣的情況下提出來的？如何理解“趨近于”？想要弄清楚這些問題，就要認真研究數學的發展歷程，站在哲學的視角去認識導數。通過這種方法不僅能夠幫助了解導數的概念，還能夠幫助構建準確的數學概念。
回想導數概念的發展歷程，從中得知導數的內涵要早于極限的內涵，就像積分要早于微分一樣。大多數人都知道，于古時候的窮竭法里已有積分內涵的萌芽，然而積分的內涵與方法差不多是和近代力學一起出現并發展起來的，其也經過一段時間的醞釀。
同濟大學數學教研室編的《高等數學》（第四版）中關于“全導數”概念的表述為：將一元函數微分學中復合函數的求導法則推廣到多元復合函數的情形。定理：如果函數u=j（t）及v=ψ（t）都在點t可導，函數z=?（u，v）在對應點（u，v）具有連續偏導數，則復合函數z=?[j（t），ψ（t）]在點t可導，且其導數可用下列公式計算：
公式中的導數稱為“全導數”。用同樣方法，可把定理推廣到復合函數的中間變量多于兩個的情形[1]。目前國內高校選用較多的一些新編高等數學教材中大都沿用這種表述[2]。
對于高等數學教材中導數概念的定義具有很多的爭議，很多人認為微積分是將極限理論作為理論前提的，極限運算為微積分運算的一種方法，學生只有掌握好極限，才有可能將導數知識學好；然而也有一部分人認為，極限理論的學習一直為微積分學習中的一個難點。
基于這種定義，明顯存在一些問題。
1）與多元函數的偏導數概念相比較，這種“全導數”僅僅是針對多元函數中復合函數求導數的一種特殊情形提出來的。就復合函數而言，復合過程比較復雜，有一元函數與多元函數、多元函數與多元函數，中間變量的個數為兩個以上等情形。而上述“全導數”定義中的復合函數只是一個自變量的函數，只不過同一層次的中間變量多于兩個，本質上講這種復合函數仍然是一元函數。僅此原因就引出“全導數”概念，其理由是不充足的。
2）命名中“全”字的漢語意義中，有“全面、全部、全體”等含義，用來表述一種特殊情形下的導數，邏輯上直覺表現為“定義過寬”。這種“全導數”概念與一元函數的導數、多元函數的偏導數、方向導數、全微分概念的邏輯關系難以界定[3]。
3）反映在實際教學過程中，對于學生理解有關導數、偏導數、方向導數、全微分等概念會形成障礙。
①由導數概念的實際背景，知道函數變化率就是導數?；趯档乃枷爰捌鋬群滩闹幸辉瘮档膶?、多元函數的偏導數、方向導數的定義都是建立在極限理論基礎之上，這些概念的一致性是顯然的，而所謂“全導數”概念并不具備這種一致性。學生在學習過程中總是自覺不自覺地把這些導數聯系起來，教師雖然可以對此做出解釋，卻陡增節外生枝之感。
②全微分概念是多元微積分學中又一重要概念，教材中重點討論偏導數與全微分之間的關系。由于所謂“全導數”概念的提出，教學過程中必須對其與全微分概念之間的關系加以解釋，以解學生想當然地將全導數與全微分聯系之惑，否則對于順利理解全微分概念勢必形成干擾。
通常情況下，不可以用函數?（x）于x1的極限求出?（x1）。如果?（x）在x1連續，然而導函數卻不同，即使條件不強也能夠這樣做。定理：假設函數?（x）于區間[x1，x1+k]（k>0）里連續，并且當x>x1時導數為有窮?（x）；如果?（x1+0）是存在的，那么導數?（x1+0）=導數?（x）。經過證明發展，其具有兩方面的意義。
第一方面的意義：導函數于某點的單側極限存在，那么此點的同側導函數一定會存在；如果該左右極限均相同，極限就為此點的導數。這表明導函數的極限能夠求解導數值。該種方法在點比較特殊的時候，導數很難求出來，然而采用導函數單側極限來求解就比較容易。
第二方面的意義：如果某點的導數是存在的，那么導函數于此點的左右極限均在而且相同，這也說明導函數不可能存在跳躍間斷點。也可以說，存在跳躍點的函數是不存在原函數的，也就是不可能為哪個函數的導函數。這表明含有跳躍點的函數是不可能求出不定積分的。
綜上所述，究其原因是由于“全導數”概念的命名形成的。想要解決這個問題可以采用兩種方法：第一種方法是重新命名高等數學教學中導數的概念；另一種方法就是不命名，仍叫其原來的名稱。作為教材中復合函數求導法則的內容，如果將導數命名為“復合導數”，不足以表達所有復合函數的導數，似為有些不妥。筆者認為，聯系高等數學的教學實際，為了突出并順利地理解掌握一元函數導數、偏導數、方向導數、全微分等有關概念，本著教材編寫中刪繁就簡的原則，避免小題大做，只將其作為“鏈式法則”中的一個導數公式即可，不必做“全導數”的命名。
參考文獻
[1]同濟大學數學教研室.高等數學：下冊[M].北京：高等教育出版社，1996：30.
【關鍵詞】高等數學；可積；原函數
【中圖分類號】O13
引 言
高等數學是所有數學分支的基礎，可以當作整個數學的樹干.但是，大部分學生覺得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數學中函數可積與存在原函數這兩個概念進行探討，希望給學生有益的啟示.
一、函數可積與原函數存在沒有必然的聯系
本節首先給出與函數可積及原函數存在這兩個概念相關的三個定理.
定理1 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上可積；
（Ⅱ）若有界函數y=f（x）在區間[a，b]上僅有有限個間斷點，則y=f（x）在[a，b]
上可積；
（Ⅲ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，則y=f（x）在區間[a，b]上可積.
定理2 若函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，則y=f（x）在區間[a，b]上原函數存在.
定理3 （Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上含有第一類間斷點，則y=f（x）在區間[a，b]上
不存在原函數；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[a，b]上有無窮間斷點，則y=f（x）在[a，b]
上不存在原函數.
二、通過反例揭示函數可積與存在原函數兩者互不蘊含
本節將通過反例揭示函數可積與存在原函數這兩個概念互不蘊含.
1.可積不一定存在原函數
2.存在原函數不一定可積
三、小 結
本文通過比較函數可積與存在原函數這兩個概念，給出兩個經典反例，揭示了二者互不蘊含的關系.希望通過本文的探討，給學生有益的啟示，提升學習高等數學的興趣.
【參考文獻】
[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]汪林.數學分析中的問題和反例[M].北京：高等教育出版社，2015.
【關鍵詞】高等數學；一致性；連續性；函數
一、高等數學函數一致性連續性的基本概念
高等數學中的一致連續性是從函數連續的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個微小變化的界限區間，如果函數定義域以內的任意兩點間的距離永遠不超過這個界限范圍，則這兩點相對應的函數值之差就能夠達到任意小、無限小，這就是所謂的函數一致連續性概念。一直以來，高等數學函數一致連續的概念都是教學過程中的重點，也是難點之一，在多年的高等數學教學實踐過程中，筆者深刻感受到學生在學習和掌握函數一致連續概念時的疑惑和困難。甚至有不少學生會有這樣的疑問：函數連續和一致連續的本質區別究竟體現在哪里？
帶著上述問題，我們對函數一致連續性進行研究和分析。函數的一致連續性是函數的一個重要的特征和性質，它標志著一個連續函數的變化速度有無“突變”現象，并對其連續性進行歸納總結。函數一致連續性，要求函數在區間上的每一點都保持著連續的特點，不允許出現“突變”現象，同時還進一步要求它在區間上所有點鄰近有大體上呈現均勻變化的趨勢。換句話說，函數一致連續性的定義為：對于任給定的正數ε，要求存在一個與自變量x無關的正數δ，使對自變量在定義域區間內的任意2個值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數所對應的函數值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數一致連續性的條件要比函數連續的條件強。在目前采用的高等數學的教材中，只是給出一致連續的基本定義，以及利用該定義證明函數f（x）在某區間上一致連續的數學方法，進而呈現出了函數一致連續的完美邏輯結果。這種教學理念是很好的，但是，從實踐教學效果上看，又很不利于學生對定義的理解，尤其不利于學生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學工作者將函數一致連續性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學生更快更好地充分理解一致連續的概念和意義。高等數學函數連續性的基本定義為：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，對于每一點x∈I，都存在相應δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上連續。該定義說明了函數f（x）在區間I上連續的基本特征。函數一致連續的基本概念是：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數f（x）在區間I上一致連續。要特別注意的是，連續概念中δ與一致連續概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數一致連續性概念，現將函數函數不一致連續的概念進行一下描述：存在某個ε0，無論δ 是怎么樣小的正數，在I上總有兩點x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數不一致連續的概念，理解和學習函數不一致連續的相關知識，有利于我們更好地學習和研究函數一致連續性問題。
二、高等數學引入一致性連續性的意義和價值
高等數學教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數的連續性與一直連續性，以及函數列的收斂性與一致收斂性等，都是初學者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數學學習中的一個難點問題。在工程數學中，這些概念非常重要，筆者認為，搞清楚和弄明白函數的一致連續的基本概念，以及掌握判斷函數是否具有一致連續特性的基本方法，無疑都將是理工科學生學好高等數學函數一致連續性理論知識的核心環節，也是日后成熟運用該數學方法的基礎和前提。通過學習和比較，我們能夠得出一個很明顯的結論：一致連續要比連續條件強。高等數學函數一致連續是一個很重要的概念，在微積分學以及其他工程學科中常常會用到一致連續的知識，而且函數列的一致連續性和一致收斂又有著密切的相互關系。實際上，我們在進行函數列的收斂問題研究時，常常要用到函數列與函數之間的收斂、一致連續性、一致收斂等概念及其關系。函數一致連續的概念是學生學習高等數學的一個難點問題，證明某一個函數是否具有一致連續性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學感到無從下手。為了解決這一難點，達到化抽象為簡單的教學目的，筆者建議給出一致連續性的幾種常見等價形式，能夠很好地幫助學習高等數學的同學更易于理解和掌握函數一致連續性這一知識要點。高等數學中的函數一致連續性、函數列一致有界性、函數列一致收斂性等“一致性”概念是學習上的難點，也是教學大綱中的重點。因此，牢固掌握這些概念及與之有關的理論知識，對于培養學生良好的數學素養和創新能力都有著重要的意義。
函數一致連續的幾何意義非常非常重要。數學分析抽象而且復雜難懂，這門學科本身就有著極強的邏輯思維和嚴密特征，主要體現在它能夠采用最簡明的數學語言來準確表述其他語言無法量化的復雜多變的事物發展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態發展過程。其幾何意義將在高等數學課程入門中起到一個有利引導作用，清晰明朗地向學生展示高等數學中最基本的思想方法和思維方式，幫助學生理解抽象概念，提高學生培養自身的創新思維能力。另外，探討函數一致連續和一致收斂的關系，同時在有界區間上給出一致連續和一致收斂的等價關系，有利于學生在今后研究連續、收斂問題中擁有更多的參考依據。
三、解決高等數學函數一致性連續性問題的對策
1.一元函數在有限區間上的一致連續性
由于用函數一致連續的定義判定函數 是否一致連續，往往比較困難。于是，產生了一些以G.康托定理為基礎的較簡單的判別法。
定理1 若函數 在 上連續，則 在 上一致連續。
這個定理的證明方法很多，在華東師大版數學分析上冊中，運用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區間套定理來證明。
分析：由函數一致連續的實質知，要證 在 上一致連續，即是要證對 ，可以分區間 成有限多個小區間，使得 在每一小區間上任意兩點的函數值之差都小于 。
證明：若上述事實不成立，則至少存在一個 ，使得區間 不能按上述要求分成有限多個小區間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續下去，就得到一個閉區間套 ，n=1，2，…，由閉區間套定理知，存在唯一一點c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區間，所以 ，從而 在點 連續，于是 ，當時，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點 ，都有 。因此，對于 上的任意兩點 ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個小區間，這和區間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區間不成立。阻礙由區間連續性轉變為區間一致連續性有兩種情況：（1）對于有限開區間，這時端點可能成為破壞一致連續性的點；（2）對于無限區間，這時函數在無窮遠處也可能破壞一致連續性。
定理2函數 在 內一致連續在 連續，且 與 都存在。
證明：若 在 內一致連續，則對 ，當 時，有
，（2-16）
于是當 時，有
。（2-17）
根據柯西收斂準則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續， 與 都存在。
若 在 連續，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區間 上連續，由Contor定理， 在 上一致連續，從而 在 內一致連續。
根據定理2容易得以下推論：
推論1 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。
推論2 函數 在 內一致連續在 連續且 存在。
當 是無限區間時，條件是充分不必要的。
2.一元函數在無限區間上的一致連續性
定理3 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續。
令 ，由柯西收斂準則有對 使對 ，有
。 （2-19）
現將 分為兩個重疊區間 和 ，因為 在 上一致連續，從而對上述 ，使 ，且 時，有
。 （2-20）
對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數 在 內一致連續。
（2）同理可證函數 在 內一致連續。
由（1）、（2）可得 在 內一致連續。
若將 分為 和 ，則當 與 分別在兩個區間時，即使有 ，卻不能馬上得出 的結論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。
推論4 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。
推論5 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 存在。
推論6 函數 在 內一致連續的充分條件是 在 內連續，且 與 都存在。
參考文獻：
[1]王大榮，艾素梅；分段函數在分段點處的求導方法芻議[J]；滄州師范專科學校學報；2005年03期
[2]袁文??；鄧小成；戚建明；；極限的求導剝離法則[J]；廣州大學學報（自然科學版）；2006年03期
關鍵詞：函數的極限 高職數學 教學
極限概念是微積分學最基本的概念之一，連續、導數、定積分等的定義都建立在極限概念的基礎上。極限的思想和方法貫穿在整個高等數學的始終，是人們研究許多問題的工具，是從學習初等數學順利過渡到學習高等數學所必須牢固掌握的內容。正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學好高等數學的關鍵，也是教學中的重點和難點。對高職學生來說，這一部分內容也是較難掌握的。若極限學得不扎實，必然會影響到整個高等數學的學習，因此準確地掌握極限概念，對于進一步研究函數導數、積分等具有非常重要的意義。筆者在高職數學函數和極限一章教學實踐中做了如下思考和探索。
一、做好與初等數學的銜接
初等數學研究對象基本上是不變量，而高等數學的微積分以函數、變量為主要研究對象。初等函數是連接初等數學與高等數學的紐帶，現行的高中數學課本采用新課程標準，函數的有些內容被刪去了，如反函數、三角函數中的余切、正割、余割及反三角函數。這些知識在高等數學中是必要的，因此在教學中筆者加入了這些知識的講授。
大多數高職學生對中學數學知識掌握并不牢固，所以筆者在教學中重視復習函數概念、基本初等函數及其性質，及時復習求函數極限中用到的數學公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等變換常用公式等，為后續的極限教學做好鋪墊。
二、創設情境引入極限概念
學生由初等數學轉入高等數學的學習，學習方法、思維習慣、認知理解上會出現諸多不適應。因此，筆者在引入極限概念時，利用AutoCAD軟件繪制正多邊形的功能來演示隨著圓內（外）接正多邊形邊數的不斷增加，正多邊形會越來越接近圓這一動態效果，使學生在具體情境中體會到這種無限的過程，使學生能夠深刻地理解極限思想的內涵。讓學生體會從“量變”到“質變”，從而真正理解極限這個概念。在教學上，我們用多媒體課件動態展示有關函數的圖形，幫助學生理解和觀察函數的左右逼近值，從而建立左右極限的概念。通過實踐“情境—問題—探究”這一教學方式，學生在學習過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準確、動與靜，培養學生的辯證思維能力。學生只有真正掌握了“極限”的動態實質，才能更好地理解和掌握導數和積分的概念。
三、精講極限概念中的關鍵詞
刻畫極限的語言高度概括抽象，復雜又邏輯結構嚴密。高職學生難以理解和接受。所以高職數學無需講解極限的定義，采用極限的描述性定義更符合高職學生的實際。在極限的描述性定義中有兩個關鍵詞，“無限接近”的含義就是“要多接近就有多接近”，“定義”就是對“要多接近就有多接近”的定量化。筆者在教學中利用多媒體課件展示函數動態圖形，分析一些典型變化趨勢，通過比較數值的變化及函數圖形解釋“要多接近就有多接近”，引導學生進一步探討自變量x“無限接近”x0的各種不同形式，使學生在圖形上對“無限接近”這種“動態”變化有一較清晰的認識，從而強化對極限概念的理解。
四、針對學生易犯的錯誤重點講解
學生在高中階段已初步學習過極限概念，但缺乏深入的理解，特別是對“無窮小”和“無窮大”更感難以理解。例如對“無窮大”的概念，很多學生認為它是一個無限大的常數，思想還停留在常量數學階段，而缺乏運動和變化的思想；相應地，將無限小的數就理解為“無窮小”。這樣學生就會出現把“無窮小”和“無窮大”當成一個數進行四則運算，極限的四則運算法則成立的前提是兩個函數的極限都存在，部分學生往往忽略這一點而造成錯誤。學生還經常忽視自變量的變化趨勢對函數極限的影響，分段函數在分界點的連續性是教學中的一個難點，學生對為什么要計算左右極限感到不解。分析其原因，問題往往出在對極限概念的理解上，對自變量的變化趨勢的理解不夠。對此，糾正以上錯誤對具體求函數極限的習題也會有很大幫助。
五、及時總結求極限的各種方法
學生學習函數極限這一章內容感覺較難的原因還在于極限的求法眾多，且靈活性強，不是每一種方法都適用于求任意函數的極限，面對各種題型學生往往束手無策。因此，在教學中我們很有必要對函數極限的各種求法加以歸納總結分類。在本章教學結束時，筆者針對求極限的各種方法集中上一次習題課，詳細總結各種求極限的方法，取得了較好的效果。
關鍵詞 高等數學 初等數學 教材內容 比對 銜接
中圖分類號：G642 文獻標識碼：A
Comparison between the Content of Higher
Mathematics and Elementary Mathematics
DU Huijuan
(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)
Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.
Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison
經過調研了解到，2003年3月教育部頒發的《普通高級中學數學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數學與大學數學的聯系，高中教材中安排了大學數學課程里的一些基本概念、基礎知識和思維方法。試圖從教學內容方面解決高中數學與大學數學的銜接問題。但是，大學數學與高中數學教材內容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數學課程的教學質量，對大學新生盡快適應大學數學學習形成了障礙。高等數學與初等數學教材內容的有效銜接亟待解決。
1 “函數與極限”的銜接
函數，是高中數學的重點內容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數學教材中的這部分內容基本相同，但內涵更豐富，難度也提高了。
（1）函數概念：在原有內容中，增加了幾個在高等數學中經常用到的實例，如取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數、符號函數等。因此，在學習中，函數概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數即可。
（2）初等函數：反三角函數要求提高，新增加了“雙曲函數”和“反雙曲函數”等內容。反三角函數的概念在高中已學過，但高中對此內容要求較低，只要求學生會用反三角函數表示“非特殊角”即可。而高等函數中要求較高，此處在學習中應補充有關內容：在復習概念的基礎上，要求學生熟悉其圖像和性質，以達到靈活應用的目的。新增加的“雙曲函數”和“反雙曲函數”在高等數學中經常用到，故應特別注意。
（3）函數極限：“數列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數學重用的是“”定義，此處是學生在高等數學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應注意加強引導，避免影響函數極限后面內容的學習。新增內容“收斂數列的性質”雖是新增內容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可。“極限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關內容的學習。
2 “導數與微分” 的銜接
高中新教材中的一元函數微積分的部分內容，是根據高等數學內容學習需要所添加，目的是加強高中數學與高等數學的聯系，讓中學生初步了解微積分的思想。
（1）導數的定義：高中數學和高等數學教材中，這一內容是相同的，不同的是學習要求。高中數學要求：了解導數概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的概念和導數的幾何意義；理解導函數的概念。也就是說，盡管極限與導數在高中已經學過，但主要是介紹概念和求法,對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數學要求學生掌握并熟練應用，這是高等數學的一個重要內容，在此處應用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應給與足夠的重視。
（2）導數的運算：高中新課標教材要求較低：根據導數的定義會求簡單函數的導數；能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡單的復合函數導數。重點考察利用導數的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。
高等數學教學大綱對這部分內容要求：掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法；掌握初等函數的一、二階導數的求法，會求分段函數、隱函數、參數方程所確定的函數的一階、二階導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；了解微分的概念與四則運算。
建議：高中學過的僅僅是該內容的基礎，因此需重新學習已學過的內容，為本節后面更深更難的內容打好基礎。
（3）導數的應用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經歷由函數增長到函數減少的過程，使學生了解函數的單調性，極值與導數的關系，要求結合函數圖像，知道函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求不超過三次的多項式函數的最大最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的應用。
高等數學對這部分內容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數的單調性和曲線的凹凸性，給出函數的極值、最值的嚴格定義，及函數在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎上，討論求最大最小值的應用問題，以及用導數描繪函數圖形的方法步驟。
建議：由以上分析比較可知，高中數學所涉及的一元微分學雖然內容差別不大，但內容體系框架有很大差異，高等數學知識更系統，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數的幾何意義，導數的四則運算法則及簡單函數的一階導數，利用導數判斷函數單調性和求函數極值都是高中數學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數學教學中建議一點而過，教學重點應放在用微分中值定理證明函數單調性的判定定理、函數極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內容上。
以上主要分析比較了高中數學與高等數學的重復知識點。除此之外，二者之間以及高等數學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。
3 高中數學與高等數學知識的“斷裂帶”
高考對平面解析幾何中的極坐標內容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應用的，如在一元函數微分學的應用中求曲率，以及定積分的應用中求平面圖形的面積等。建議在相應的地方補充講解極坐標知識。
初等數學與高等數學除了在教材內容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關系，在備課時，了解中學有關知識的地位與作用及與高等數學知識內在的密切聯系，對教材做恰當的處理；上課時教師要經常注意聯舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎上獲得新知識。
總之，努力探索搞好初等數學和高等數學學習銜接問題，是學好高等數學的關鍵之一。
參考文獻
