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中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2012）-06-0096-01
一、高中學生數學思維障礙內涵
思維是人腦對客觀事物的反應，是一種大腦活動。人類大腦在接觸世界時，會對客觀事物進行信息采集和處理，然后進行邏輯思考，這一系列復雜的過程稱為“思維”。思維障礙是指人腦對客觀事物進行邏輯思考時，不能準確得出一般性結論（普遍真理），與正確的思維相比存在邏輯誤區，無法形成正確的思維。同時，不能掌握正確的邏輯推理能力，無法學會既定的邏輯思考法則，也屬于思維障礙。小學和初中教育階段，數學學科重點培養學生掌握基本的數學法則和數學規律，形成一定的數學思維，高中數學相比之前的數學教育，存在一個明顯的轉型，由運算能力的培養轉向數學邏輯能力的培養，因此，高中數學通過數學學科知識教育，如三角函數等數學定理等，來重點培養學生的邏輯運算能力。因此，高中學生數學思維障礙，實際上是一種邏輯思維障礙，沒有形成正確的邏輯思維和數學思考能力。
二、高中學生數學思維障礙類型和成因
（一）高中學生數學思維障礙的類型。高中學生數學思維障礙，總體來說包含以下幾種類型。首先是思維定勢障礙，這種思維障礙源于學生在之前的理解中形成思維定勢，無法接受其他的邏輯推理。其次是功能固定思維障礙，這種思維障礙使得自己的思維固定在一個方面，不能使思維發散和同類推理。第三是概念思維障礙，對概念理解不清、概念之間的混淆極易造成這類思維障礙。第四是興趣思維障礙，也成為非智力思維障礙，主要源于學生興趣的缺乏和對數學知識的主觀排斥。還有其他的思維障礙，如經驗型、干擾型等等。
（二）高中學生數學思維障礙的成因。上述幾種思維障礙的類型，在形成原因上具有很強的相似性，并且促使某種思維障礙形成的原因有很多，有些甚至是相互影響的。但是，不同的思維障礙類型之間有著一定的差別，主要表現在思維障礙的形成過程上。因此，需要對數學思維障礙根本原因進行分析，然后分析不同類型思維障礙的形成原因。
1.邏輯推理方式引起的思維障礙。邏輯推理方式引起的思維障礙是數學思維障礙的根本原因（除去主觀排斥因素）。實際上，高中數學思維障礙在形成因素上是一致的，即自身的思維存在誤區，因此不能很好的接受正確思維的鍛煉。人在接觸世界時，會根據自身的情況對事物進行思考，信息量越多邏輯推理越復雜，因此每個人思考中利用的信息都是不一樣的，這會使不同的人形成不同的邏輯推理方式，這是影響學生接受正確數學思維培養、形成數學思維障礙的最重要原因。
2.思維定勢障礙的成因。思維定勢障礙的成因是學生在之前接受的思維鍛煉中，形成非常固定難以改變的思維定勢，使他在接觸其他的普遍規律時，無法將思維裝換過來，即使這兩種思維并非表現同一個普遍規律，但他任然無法跳出定勢思維的影響，因此不能掌握其他的思維類型。比如在三角函數的學習中，sin=tan·cos，學生初中三角函數的學習當中已經接觸到這個運算法則，因此形成了較強的思維定勢，當他再接觸cotA=cosA·cscA這個公式時，思維不能形成正確的轉換，就如同形成條件反射一般，在邏輯推理上缺少一環，沒有自己思考和轉換的痕跡。
3.功能固定思維障礙成因。功能固定思維障礙在形成的根本原因上與上述的思維定勢障礙的相似，都是邏輯推理和邏輯運算方面的原因。但是，功能固定思維障礙更在數學法則的應用上使學生思維受到限制，比如學生在學習余弦定理時，教師舉的例子是測量地球半徑，而當這個公式應用到其他方面的時候，學生就不能拿來解決問題了。功能固定思維障礙在于學生對事物的理解缺乏轉換能力，不能看到兩個相同事物之間的相同規律。
4.概念思維障礙的成因。概念思維障礙的形成也是一種邏輯能力的欠缺，表現為對概念的理解存在誤區，或者理解得較淺顯，無法對其深入理解。概念思維障礙，使學生在解題當中，往往只能解決與概念的敘述聯系較緊密的題型，稍微一轉變，或者反向推導，學生就不能正常應用概念了。另外，只能解決較簡單直觀反映概念的題，當兩個概念或者法則綜合起來時就不能進行正確的區分，也是概念思維障礙的表現形式。
5.興趣思維障礙的成因。興趣思維障礙，與其他的思維障礙相比既簡單又復雜，簡單是因為學生并非能力的欠缺或者邏輯推理不正確而形成思維障礙，復雜是一旦形成興趣思維障礙，學生在主觀上會對數學科目的學習存在抵觸情緒，這種主觀的情緒無法用技術手段解決。
三、高中學生數學思維障礙突破研究
上文中提到形成數學思維障礙的原因具有較強的一致性，因此不再針對不同的思維障礙進行分析，這里將探討突破數學思維障礙的一般性原則。
（一）貫徹落實新課程改革要求。針對傳統教育對學生能力培養方面的欠缺，黨和國家提出新課程改革的要求。突破高中學生的數學思維障礙，就要貫徹落實新課程改革的要求，將學生置于課堂教學的主置，培養學生的自學能力和自我理解能力，數學思維障礙會在一定程度上得到突破。
（二）加強教學引導。加強教學引導，是指批判繼承原先的高中數學教學模式，轉變教學方法，對數學概念和數學法則的教學，采取更易于學生接受的方式。要做到這一點，教師首先應當研究高中階段學生的思維特點，在他們本身思維特點的基礎上采取相適應的教學方法。
（三）具體問題具體分析。不同的思維障礙在形成原因上有著細小的差別，因此針對不同的思維障礙，教師要了解它們的類型，并且弄清形成原因，然后具體問題具體分析，采取適合的方法進行引導。
分析高中學生數學思維障礙的成因和突破措施，有助于高中數學的教學實踐開展和教學效果的提升。
參考文獻
〔關鍵詞〕小學；六年級；應用題；解題錯誤；數困生；數優生
〔中圖分類號〕G44 〔文獻標識碼〕A 〔文章編號〕1671-2684（2016）06-0012-06
一、問題提出
數學學習不良（MD）是學齡兒童中較為普遍的學習不良類型。美國一項大規模研究發現：約有6%的小學生和初中生被診斷為MD，另外約有5%的兒童被診斷為有閱讀困難（RD）[1]。在另一項研究中，美國的教師報告：在他們的學生里，有26%的學生由于數學學習困難而接受特殊教育[2]。雖然數學學習困難對學生來說是普遍的，但是，在學習困難研究領域，與閱讀困難研究相比較，關于數學學習困難的研究是較少的[3]。
應用題學習在小學數學學習中占有非常重要的地位，它是初等數學學習中的重點和難點。許多研究表明，大多數數學學習困難學生都表現為在解應用題上有困難，而且這一問題隨著年級的升高會越來越嚴重[4]。
近一二十年來，國外相關領域的研究興趣逐漸轉向對有數學學習困難學生的認知分析和教育干預，其中尤以研究數學學習困難學生問題解決過程為這個領域的熱門話題。原因是它可以幫助數學學習困難兒童更好地完成學校教育的任務，而且有助于更深入地揭示學生學習和解決問題的過程，對認知心理學和教育心理學的發展都有促進作用。
綜合關于數學應用題解題影響因素的研究成果，可以總結出如下一些結論：當應用題中包含了一些額外的信息或者出現了語句陳述不一致的條件時，學生的解題表現就會較差；數學解題圖式的形成和發展直接影響學生對問題類型的識別和問題的正確表征；元認知因素則貫穿學生解應用題的全過程，影響學生的解題行為[5-8]。
但另一方面，我們也可以看到，目前國內應用題解決的研究主體主要包括心理學科研人員和教學一線的數學教師。心理學科研人員關注的領域比較有限和微觀，而教師的科研報告往往比較宏觀和經驗化，二者存在脫節。因此，本研究擬通過現場實驗，采用目前已被證明比較有效的錯誤類型分析方法，比較數優生與數困生的共性和差異，從而得出既有科學的理論基礎又直接指向實踐的結論。
在課題組的前期研究中發現，在面對不同的試題類型、題目類型和難度附加條件時，四年級和五年級的數優生和數困生既表現出了階段性特點，又表現出連續性特點。因此，本研究擬以六年級學生為研究對象，繼續探究進一步的規律。
本研究的基本設計為：2（學生類別：數優生、數困生）*2（試卷類型：常規試題、非常規試題）*3（題目類型：變化題、合并題、比較題）。非常規試題中包含四種難度類型（隱蔽條件、概化思維、具體化思維、不一致比較）。學生類型和試卷類型為被試間設計，題目類型為被試內設計，難度類型為不完全被試內設計。最后測量的因變量為所分錯誤的類型和數量。通過分析數優生和數困生在不同試卷類型、不同題目類型和不同難度類型之下的錯誤類型和數量差異，探討小學六年級學生數學應用題錯誤的特點和影響因素等。
二、研究過程
（一）被試的選擇
在某小學六年級隨機選取由同一數學教師任教的兩個自然班作為實驗班。根據數學學習困難的操作定義：學生的數學學業成績比根據其智力潛能達到的水平顯著落后，而且他們可能同時在學習、品德和社會性上存在問題。這樣，本研究選擇數困生的標準為：（1）本學期三次重要數學考試的平均成績居全班后20%；（2）讓科任教師根據MD的操作定義和特點，對學生作出綜合評價，指出班內哪些學生屬于MD；（3）滿足兩條排除性標準：排除智力落后（IQ130）；排除明顯軀體或精神疾病。于是，在兩個班中各挑出10名數困生（人數：男，10；女，10）。同時，相應選出了各10名數優生（人數：男，11；女，9）。共得到被試40人。
（二）研究材料和工具
1.智力量表
采用張厚粲等人修訂的《瑞文標準推理測驗》（Ravcn’s Standard Progressive Matrices）。該量表經國內多次使用，已被證明有較高的信度和效度。
2.數學成績
采用被試本學期三次重要考試的數學成績的平均分為學生類別的劃分指標。
3.應用題測驗
在小學階段，學生接觸到的算術應用題主要分為變化題、合并題和比較題三種類型。據此，自編小學數學應用題兩套（A卷和B卷），經小學六年級的數學教師共同討論和小規模試測，刪除了過難的題目和沒有學到的內容，并對題目的文字表述進行了較大修改，最后每套各保留了10道相對應的題目。其中1、2、4是變化題，3、6、8是合并題，5、7、9、10是比較題。
A卷是常規類型題，即問題表述與教材和平時練習題目相同。B卷的題目在題目內容、基本數量關系和計算難度上與A卷保持一致，但題干表述與常規類型題目不同，這無疑增加了題目的難度。具體而言，與A卷的相應題目相比，在B卷的10道題當中，1、8題包含了隱蔽條件，2、6題增加了對概化思維能力的考查，3、4題增加了對具體化思維的考查，5、7、9、10是比較類應用題中的不一致型問題。隱蔽條件是指對題目中的數量關系不以直接的形式呈現，如7天以“一周”這個詞來代替。概化思維意在考查學生是否形成了整體概念，如在第二題（同學們去公園劃船，三年級比四年級少去18人，少租了3條船。問平均每條船坐幾人？）中，如果學生說由于不知道三年級和四年級各自有多少人，無法解答此題，則意味著學生沒有把這兩個班級作為一個整體來看，沒有充分理解題意。具體化思維是考查學生在解決實際問題上的能力。根據文字表達和數量關系是否一致可將比較問題分為兩類：一致問題和不一致問題。一致問題即問題中的關鍵詞與正確的解決計劃相一致，比如：小明有5個蘋果，小強比小明多1個蘋果，小強有幾個？關鍵詞是“多”，而正確的解法也是加法；不一致問題即問題中的關鍵詞與正確的解題計劃不一致，比如：小明有5個蘋果，他比小強多1個蘋果，小強有幾個？關鍵詞是“多”，正確的解法卻是減法。這與小學生的語意理解能力有關聯。一致題與學生思維習慣和平時練習相同，不一致題對小學生而言則增加了解題的難度。
在每一道應用題下面有五個小問題，分別是：（1）你認為已知條件充分嗎？給出了三個備選答案：剛好充足、缺少條件、充足但有多余條件。（2）你認為解這道題的關鍵是什么？（3）列式計算。（4）列豎式、畫圖、演算等的區域（專門預留了一定的空間）。（5）如果你不會也沒有關系，告訴我們原因是什么？這五個問題擬從學生的審題、找到解題關鍵、列式和結果的計算等方面考查小學生的解題過程。同時，要求做題過程中寫出盡量詳盡的步驟報告，包括所有演算、推理過程。解題前后的問題設置都是為了在大樣本的測驗中盡可能地外化解題的思維過程。
正式施測前的小規模預測表明兩套題目都具有較好的區分度。
（三）研究程序
1.自編數學應用題測驗的施測
兩個班同時進行測驗，隨機選取一個班施測A卷，另一個班施測B卷。每個學生一份測試題，獨立完成，時間為50分鐘。指導語中強調不是考試，是為了消除學生的緊張感，以利于更好地解題。正式計時前先由主試以一道應用題的解答為例詳細講解做題要求和基本步驟。測驗時，每班都有一名主試（心理學專業的碩士研究生）和本班的班主任在場維持秩序，以保證測驗的順利進行。
測驗后根據每道題目中五個小問題的回答情況統計所犯錯誤的類型和各類型錯誤的數量。
2.以自然班為單位進行瑞文智力測驗
同時，查閱學生成績檔案，選取被試本學期三次重要數學考試成績，以平均分作為學生數學能力的標準；訪談每個班的數學科任教師，請他們根據MD的操作定義確定數困生，并了解學生的基本情況；根據同樣選擇標準確定數優生。
以自然班為單位全體施測是為了營造自然氛圍，避免單獨抽出數優生和數困生帶來的實驗效應。智力測驗和數困生、數優生的選擇最后進行，并要求該班數學教師回避測驗整個過程等，避免實驗者效應和教師期望效應。
（四）數據處理
用SPSS19.0統計軟件包對收集的數據進行處理和分析。
三、結果與分析
（一）錯誤類型統計
在本研究中，小學生解決應用題所犯的錯誤可總結為七種類型：第一類是審題錯誤，指將條件充足的題目錯誤地判斷為條件缺乏或條件多余，從而沒有作答；第二類是轉換錯誤，指由于對第一步表示關系的運算產生了錯誤的表征，因而運算用了相反的運算（即應該用加法時用了減法，應用減法時用了加法，應用乘法時用了除法，應用除法時用了乘法）；第三類是目標監控錯誤，指錯誤理解題目要求、只算了一步或只用了一個條件；第四類是計算錯誤；第五類是知識錯誤，指學生把不相關的數字進行運算；第六類上數字抄寫錯誤，屬于粗心或馬虎；第七類是什么也沒有作答的，原因比較復雜，可能是難度過大，根本不會無法下手，也可能是時間分配不合理沒能做完。也就是說，“沒做”的錯誤應該反映的是認知策略搜尋和元認知策略的缺失。
這七類錯誤除“沒做”反映整體應用題解題能力最低外，其余六類按照其對未能完成題目的嚴重程度從高到低的大致順序為：審題錯誤、轉換錯誤、知識錯誤、目標監控錯誤、計算錯誤、數字抄寫錯誤。越排在前面的錯誤越反映出學生對題目的理解越差，對題目的把握越表淺。
（二）數優生和數困生的錯誤分析
從兩類學生在常規試題（A卷）上所犯錯誤的總數來看，相對前期研究的四、五年級而言，六年級數困生與數優生的錯誤都非常少，甚至出現了在較簡單的題型上數優生的錯誤數略微高于數困生的情況。這表明，對于六年級的學生而言，A卷已非常簡單，數優生、數困生都能較好地完成，數優生甚至出現了馬虎、輕視的情況。
較少的錯誤中，在變化題和合并題上主要犯目標監控錯誤，在比較題上主要為沒做和犯計算錯誤。
從兩類學生在非常規試題（B卷）上所犯錯誤的總數來看，數困生的錯誤非常顯著地多于數優生，統計檢驗的結果分別為χ2（1）=14.7275，p=0.000，χ2（1）=6.429，p=0.011和χ2（1）=9.000，p=0.003。
在三類題型上的卡方檢驗結果表明，學生類別與錯誤類型的關聯均不顯著。變化題：χ2（4）=5.194，p=0.268；合并題：χ2（3）=2.910，p=0.406；比較題：χ2（5）=7.143，p=0.210。這表明，對于B卷而言，六年級不同類別學生的錯誤的特點沒有顯著性差異。
題目類型與錯誤類型的卡方檢驗結果表明，χ2（10）=44.201，p=0.000，二者有非常顯著的關聯，即學生在不同類型題目上所犯錯誤的特點有顯著不同。
結合具體數據可以看出，在變化題上主要是犯審題錯誤和沒做，在合并題上犯目標監控和知識錯誤較多，而在比較題上沒做和知識錯誤占了相當的比例。
從所犯錯誤的總數來看，與前期研究中五年級在同樣試題中的表現相比，數優生所犯錯誤的數量有明顯下降，但數困生只是總體略有下降。
對數優生而言，附加條件類型與錯誤類型關聯非常顯著（χ2（12）=42.689，p=0.000）。主要體現為“隱蔽條件”下的“知識”錯誤，“具體化思維”上的“目標監控”錯誤，“不一致比較”題上的“沒做”，不過數量較小。
對數困生而言，附加條件類型與錯誤類型也存在非常顯著的關聯（χ2（15）=51.334，p=0.000）。除在“概化思維”上犯“審題”錯誤較多外，其他條件下的特點與本年級數優生相同。
四、討論
針對六年級數優生與數困生在應用題解決過程中可能存在的試題適應性、難度適應性和錯誤類型的共同特點和差異情況等進行了詳盡分析，主要是為了通過對數優生與數困生的比較，發現六年級學生應用題解題能力的總體特點，為該年級階段小學數學應用題教學，特別是為數困生的補救訓練提供參考。
第一，從A、B兩卷的錯誤總數看，在常規試題上，六年級數困生與數優生的錯誤都非常少，錯誤數不相上下，表現出了“高限效應”，試題沒有了良好的區分度。在非常規試題上，數困生的錯誤顯著地多于數優生?？梢?，到了六年級，數優生、數困生的差距主要體現在非常規試題上。也就是說，如果說常規題目可以通過思維成熟、年級升高和不斷重復接觸而自然提高的話，那么包含附加條件的非常規題目訓練對于六年級數困生還是必須加強的。
第二，從不同題型看，在A卷中，數困生與數優生在變化題和合并題上主要犯“目標監控錯誤”，在比較題上主要犯“計算錯誤”和“沒做”。一方面表明，六年級學生已全面掌握三種題型的常規解答；另一方面表明，目標監控、時間分配的元認知失誤和能力欠缺依然存在。
在B卷上，六年級兩類學生錯誤的特點一致，表現為變化題上主要是犯“審題錯誤”和“沒做”，在合并題上犯“目標監控錯誤”和“知識錯誤”較多，而在比較題上“沒做”和“知識錯誤”占了相當的比例。這一特點與前期研究中的五年級非常相似，但六年級“沒做”的比例較高，顯示了時間分配的不足和解題能力，特別是解比較題能力上的欠缺。
第三，從不同的附加條件看，與前期研究中的五年級相比，六年級數優生所犯錯誤的數量有明顯下降，但數困生只是總體略有下降。這進一步驗證了關鍵時期的推測，可以看出五年級沒有得到很好訓練的數困生在升入六年級后依然不會有太大提高。
對六年級數優生而言，主要體現為“隱蔽條件”下的“知識錯誤”，“具體化思維”上的“目標監控錯誤”，“不一致比較”題上的“沒做”，不過數量較小。對數困生而言，除在“概化思維”上犯“審題錯誤”較多外，其他條件下的特點與同年級數優生相同。可見，在相應題型的主要錯誤類型上，六年級學生基本是一致的，只是數困生依然沒有很好地解決概化思維的問題。
五、結論
第一，測題類型上，六年級學生在常規應用題上表現出“高限效應”，非常規試題訓練對于數困生尤為重要。
第二，題目類型上，常規試題中面對三種題型的目標監控和元認知能力需要加強；而非常規試題中對于變化類應用題要防范“審題錯誤”和“元認知策略缺失”等，合并類應用題要加強“目標監控錯誤”和“知識錯誤”的預防，比較題主要在于重視認知策略和元認知策略的提高問題。
第三，從思維能力訓練上，六年級之前是相關訓練的關鍵時期。針對全體學生，特別是數困生需要全面加強概化思維和具體化思維訓練、“不一致比較”題目訓練和元認知能力培養。
參考文獻
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關鍵詞：思維類型；思維方法；原則
中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0113-02
“思維類型”是一個通用概念，大量學者都對其進行了研究。事實上，明確區分思維的類型對教育來說具有重要的實際意義。為了更好地指導大學生的學習，增強他們的創新能力，本文從新的角度對思維類型進行分類，從四種思維類型出發給出學生的學習方法，特別對數學思維方法展開討論，最后再給出創造性思維的徹底性原則。
一、思維類型及其對教育方法的啟發
一般來說人們思維分為下述四種類型：接受快且深刻，接受快但膚淺，接受慢但深刻，接受慢且膚淺。當然最好的是接受快且深刻這種類型，這種類型的人往往自小就表現出天才模樣，他們大都被稱為是神童?？上У氖?，他們在贊揚聲中成長，很容易養成驕傲情緒，久而久之他們就不習慣于“艱苦研究”，最后變成平庸之人。王安石的《傷仲永》寫的就是這種情況。所以對第一種類型的學生，我們對他們的愛護首先就是不要多表揚他們（例如各地過分吹捧高考狀元是不明智的做法），其次對他們要多加督促，讓他們養成艱苦學習習慣。列寧小時候聰明異常，他往往很快就完成作業，然后就嬉鬧不止。他的父母很擔心，怕他今后不會踏實學習，除了教育他以外，還時刻注意他。有一次列寧看到他的妹妹坐在鋼琴邊，不停地彈奏一首樂曲，花了許多小時，才把它彈得正確。為此列寧感悟道：做任何事情，沒有堅毅品質是不行的。列寧的父母知道這件事后才放心，他們知道列寧已經懂得養成勤勞習慣的重要性。第二種類型（接受快但膚淺）的人，他們平常的表現最容易使人迷惑：許多復雜的問題他們一聽就懂，可是他們自己做起來卻經常出錯。他們的家長和老師都誤認為這是由于“粗心”造成的，除了告誡他們要細心以外，家長、老師（甚至他們自己）對這種現象都不在意。舉一個例子，初中學生剛學習有理數時，寫負數時往往會遺漏負號，當你向他指出時，他立刻就知道是自己錯了。人們大都認為這是粗心的原因，殊不知是他在他的意識里還沒有真正接受負數這個概念，也就是說他雖然接受了負數概念（也許很快就接受了）但是卻很“膚淺”，他的潛意識里并沒有它的“真正”位置。因為引導學生思想深化是一件困難的工作，所以對于接受快但膚淺的學生，我們也許更應該留心。除了教育他們不要驕傲（這是由于他們接受快而造成的錯誤）以外，還要訓練他們的思維，讓他們養成深思的習慣。（順便提一下，怎樣培養學生養成深思習慣，如同怎樣提高學生的寫作能力一樣，至今都尚未找到特別行之有效的辦法）第三種類型，即接受慢而深刻，在某種意義上它才是最好的一種類型。領會深本是探索一切知識的必要因素，可是他具有這種優越品質而不覺，有時他還為自己接受慢而苦惱，這樣他對學業從不掉以輕心，為了克服自己接受慢的缺點，他總是“笨鳥先飛”，這樣在漫長的學習生涯中，他養成一種堅忍不拔的品質，這又是一個獲得成功的必要條件。第三種類型的人“天然”地具備了成功的兩個最重要的因素，所以大部分在學術上有成就的人都來自于他們。據說牛頓、愛因斯坦小時候都很“笨”，倘若真是這樣，這便是上面論述最好佐證。另外的例子是真人真事，20世紀偉大的數學家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一經接受，在運用和進一步發展這些思想上，就沒有人能和他比擬了。至于第四種類型的人，雖然他們在學業上很費力，但他們的成功機率并不比第一、二種類型的人要少，甚至還要大于第二種類型的人。這種人只要不放棄努力，那么在他艱難的學習過程中，自然會養成一種深刻鉆研的稟性，此是“勤能補拙”之謂也，這正是一切在學術上獲得成就的人所要必備的主要品質。明末清初的一位歷史學家談遷，小時候很愚笨，記性差、反應慢，他對自己所讀的書籍很難弄懂，他很苦惱，不過他鍥而不舍，經常讀書到深夜，由于長期的努力，他終于大徹大悟，從此他便突飛猛進，成為那個時代最有學問的人之一。金庸小說《射雕英雄傳》里的郭靖大概就是這種類型人的最好寫照?？傊?，無論是哪種類型都有成功希望，只不過有的開始要多費點力氣而已?！奥斆鳌辈⒉皇侨顺晒Φ牟豢扇鄙俚臈l件，最重要的是人的刻苦和堅忍，而且隨著人們的成長，差的類型在不斷刻苦努力下，也會迅速朝著最好類型轉化，李白說“天生我材必有用”，是千真萬確的。
二、數學思維方法和數學學習方法
在一切學科中，數學是一門最重要而且最奇怪的學科。它研究的問題似乎虛無飄渺，并不接觸現實世界，但卻有莫名其妙的大功效。麥克斯韋爾認為，研究問題時首先要引入數學概念，以他的名字命名的著名方程就是以這種方法推導出來的。狄拉克也認為，應該遵循數學方向前進，因為“正電子”也滿足以他的名字命名的方程，所以他預言“反物質”正電子的存在，幾十年后人們果然在宇宙射線里發現了它。也許最值得一提的是，陳省身的“纖維叢”幾何學理論，竟然可以平行移動到楊振林的“規范場”物理理論里，對此楊振林感嘆地說：數學家研究數學問題時，根本沒有考慮到物理世界，而卻能深刻地闡述世界，這真令人驚嘆。如今關于物質粒子最新研究的“弦理論”也和數學家丘成桐的微分幾何成就有密切關聯。計算機科學和數學理論的關系同樣也非常密切。就連過去一向被認為是最難找到實際用途的數論也在計算機科學里發揮著重要作用，例如大整數質因數分解定理豐富了密碼學方法：RSA公鑰系統，根據大整數的分解，它采用“公鑰”和“私鑰”技術。[1]由此可見，在數學上花費時間是值得的。一般人并不喜歡數學，他們或者認為數學枯燥無味，或者認為數學深奧難懂。在人們心目中，數學里只有推理，沒有猜測；只有邏輯，沒有藝術；只有抽象，沒有直觀；只有理性，沒有想象。人們感到數學的結果是一步一步推出來的，沒有過人的聰慧是不行的。然而，幸虧事實并非如此，否則我們的數學就不會興旺到如它目前所示，它早就不會吸引任何一個有智慧的人。其實數學是一門融合了人類一切認識世界方法的學科，只是在它整理自己的知識時，才采取了“定義”、“定理”和“證明”嚴格方式，這是為了保證它的結論準確無誤所致。但是這并未妨礙人們用其他方式獲得數學知識，其實最偉大的數學家在他們思考問題時，都是憑借直觀（甚至是最粗糙的直觀）前進的，特別是當他們在做劃時代事業時，更依賴直覺，甚至有時連邏輯也不顧。這在牛頓和萊布尼茲創立微積分時特別明顯。本段敘述直接來自于文獻[2]。明白了上面道理，我們建議：要在感性上下功夫，要理解數學精神實質，即要有數學質感。對數學的學習要運用人類一切認知手段，即實驗、猜測、直觀推理、試錯法、合情推理和正統的邏輯推理；對于基本知識要有透徹了解，基本技能要熟練掌握。對于較難或者很難的題目，應該努力解決它，真正解決不了，也不要氣餒，可以暫時放下，“歷史總是帶著問題前進的”；對一門數學學科，如果你感到對它的任何一個習題，只要有時間你就可能會做出，即使不會做，但對別人做出的看一眼就會，那么這門學科你就基本過關了，沒有必要搞題海戰術，這是我國著名物理學家嚴濟慈的觀點。
三、徹底性原則
創造性思維最顯著的特征就是徹底性。歐氏幾何里有一條平行公理：“在平面內過直線外一點，能且只能引一條直線和它平行”。但在歐幾里德的《幾何原本》里，很遲才引入平行公設，且敘述很啰唆，并不像上述的那樣簡練。后人懷疑歐幾里德并不想把它作為公理，只是“證不了它”，才不得不把它作為一條公設采用。后來的數學家們躍躍欲試，用各種方法試圖證明它，就這樣證明了一千多年。不少人采用“反證法”，得出許多奇特結果，可惜他們認為“荒謬”，就匆忙下結論說，他們發現了矛盾從而證實了平行公設。只有高斯、鮑利埃、羅巴切夫斯基和舊觀念，即認為“歐氏公理體系是唯一正確的”，徹底決裂，他們發現了非歐幾何。高斯懼怕舊觀念勢力，鮑利?；嫉没际В麄兌紱]有發表他們的工作，只有羅巴切夫斯基勇敢地發表了他的成果。[3]同樣，愛因斯坦相對論和量子力學也都是徹底摒棄舊有觀念的好例子。舊有觀念根植于人的潛意識里，人們很難發現它，更難突破它。誠如一位物理學家說，他花了好幾年工夫才真正弄懂相對論，不是由于他知識的缺陷，而是由于他頭腦里的固有觀念妨礙了他的理解。他的話有助于我們理解突破舊觀念時，堅持徹底性原則的重要性。只要是創造性工作，哪怕是很小的創新，實質上都是在突破我們潛意識里某個舊有觀念。希望有所創造的人，對此不可不察。
對思維類型做深入的反思和研究，可以及早發現學生的思維特點，進而就可以給予學生有效的指導和引導，并且我們還要鼓勵學生創造性思維，努力攀登科學的頂峰。
參考文獻：
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[3]斯科特.數學史[M].侯德潤，張蘭，譯.桂林：廣西師范大學出版社，2002.
一、錯題集的種類劃分
高中階段數學課程的檢驗方式主要以隨堂考試為主，通過分數的高低簡要判斷學生對課程內容的掌握程度.錯題集的操作形式就是在作業中、在考試中產生，通過將學生每一次的錯題加以歸納整理，引導學生在對錯題的定向研究中尋找自己的知識漏洞，幫助學生學習.依據操作方式的差異，高中數學錯題集可以分為以下幾類. 1.以時間線索為主導的錯題集.主要是針對學生在高中數學學習不同階段的錯題收集.這種類型的操作方式，主要是將學生的錯題進行全面整理，但會面臨主題不突出、缺乏系統性的弊端.2.以課本章節為主導的錯題集.該類型的操作方式，以課程章節為主導，相比較于時間型的方式更具系統性，在分類整理中具有承上啟下的作用，幫助學生進行新舊知識之間的無縫對接.3.以錯題類型為主導的錯題集.這種分類方式主要以錯題的原因為線索進行整理.比如說，粗心大意與知識點不理解的分類，幫助學生快捷地彌補知識漏洞.這種收集方式，主要是立足于對時間型與課本章節主導型為基礎的操作分析，使用更加方便，一目了然.
二、建立高中數學錯題集的意義
建立高中數學錯題集，對提高學生的學習效果具有明顯的現實意義.
首先，錯題集是提高高中數學學習效果的指導方法.通過對錯題的整理分析，幫助學生明確自己的思維特性，了解常見的錯題形式，對于糾正自己不恰當的思維方式有直接的指導作用.同時，在對錯題的分析中，可以提高學生認真審題、了解題目意圖、分析推敲等能力.
其次，建立錯題集是幫助學生對數學課程查漏補缺的重要形式.在多次的考試后，倘若學生沒有對錯題進行及時地歸納整理，會隨著時間的延長導致學生遺忘犯錯，以至于學生出現同一類型的錯誤多次重犯的狀況.建立錯題集，能夠彌補這一漏洞.在錯題的整理中，學生形成對數學課程學習的參考依據，在二次檢查中查漏補缺，提高解題能力.
最后，錯題集是幫助高中學生尋找數學學習規律的重要參考依據.建立錯題集，能夠幫助學生了解重點內容，并進行有針對性的課后復習，尋找數學課程的學習規律，在化繁為簡的過程中簡化解題思路.同時，建立錯題集，節約了學生的學習成本，避免了單純的題海戰術所帶來的壓力.在對錯題的集中復習中，提高學生的數學學習能力.
三、錯題集在高中數學學習中的具體應用
關鍵詞：課堂“理答”；新老教師；對比研究
一、小學數學課堂“理答”的內涵和類型
（一）小學數學課堂“理答”的內涵
理答是指教師對學生回答問題后的反應和處理，是教師對學生答問結果及表現給予的明確有效的評價，以引起學生的注意與思考。通俗地說，“理答”是教師對學生言行的理睬。有效的理答能激發學生的學習興趣，調動學生思維的積極性，營造一種積極探索、求知創造的人文化的課堂氛圍。
（二）小學數學課堂“理答”的類型
課堂“理答”根據教師的經驗不同，也會出現不同的類型。有效的課堂“理答”主要有以下幾種類型：激勵型，發展型，診斷型和再組織型。反之，不當的理答類型則有：重復發言型，不置可否型，環顧左右型，簡單判斷型，語言單調型，諷刺挖苦型和一味表揚型。
二、小學數學新老教師課堂“理答”對比及分析
（一）“理答”類型使用上的對比
在日常課堂中，我們可能見過這樣的場景：當一些新教師提出有難度的問題被資優生完美地回答后，新教師會迫不及待地加以肯定，并通過追問的形式將思維引向深入。而對此問題是否全體學生都理解了，尤其是一些思維比較緩慢的學生有沒有明白，新教師卻沒有放在心上。
反之，老教師則更注重使用合理的“理答”類型，讓學生有較多的自主發揮的時間和空間，因而學生對新知識的認知度提高，這樣才能及時理解教師的“理答”意義。
（二）“理答”類型使用上的分析
很多新老師在學生回答時習慣性地看時間.碰到基礎差的學生就有些著急，急著幫他說出答案或者干脆說“誰能幫助他”，其實這等于讓該生靠邊站。然而，教學本來就是為了教給學生不會的東西.正是因為有不懂的存在，才有上課的意義。當學生的學習遇到困難時，教師更需要耐心啟發引導，給他思考的時間，等待他自信地抬頭，這是一種尊重，也是一種喚醒。
那么老教師是如何在課堂當中使用合理的“理答”呢？
首先，適時等待，延緩思考速度。由于很多新教師對課堂的把握還不是很充分，所以會出現緊跟時間走，就會出現不置可否型和諷刺挖苦型理答。
其次，改變理答內容，拓展思維廣度。如在數學人教版六年級“用數對表示位置”一課時，當學生理解了圖上的每一個位置都可以用一個數對表示，因為之前的學習都是圍繞縱軸和橫軸上的整數展開的，再加上受生活中座位編排的負遷移，學生非?？隙ǖ卣f：“是的，不是整數就找不到位置了。”老師說：“是呀，如果把我們的座位畫成圖，那么每個同學的位置只能用一個整數對來表示。不過，如果我將圖上的數稍作改動（將橫軸上的2去掉，將原來的3改為2，其余各數做相應改動），現在，是不是這組同學就沒有位置了呢，或者他們的位置就不能用數對表示了呢？”，學生恍然大悟，原來圖上的標記是人為的，可以是整數，也可以是小數或者字母等。通過這樣巧妙的理答.既拓展了學生的思維，還滲透了學生未來要學習的內容。
再次，順勢延伸，挖掘思維深度。如數學人教版五年級下冊的“軸對稱圖形”時，當教師出示右圖，讓學生判斷這幅圖形是否成軸對稱，學生粗看后馬上說“是，因為兩邊完全相同”。老師不露聲色地說：“不要過分相信自己的眼睛哦.要知道實踐是檢驗真理的唯一標準?！睂W生一聽此言，馬上動手，一會兒一學生說：“我把對應點連起來后，量了量，發現兩個點到中問直線的距離不相等.所以不成軸對稱?！逼渌瑢W附和。老師說：“你講話有根有據。有條有理.真了不起！但是會不會問題出在圖上，把對稱軸的位置域錯了.如果這樣呢？（畫成與平行四邊形的斜邊平行）好像對應點到直線的距離一樣呀，現在成軸對稱了吧！”學生稍稍遲疑后搶著說：“連線沒有跟這條直線垂直.不是的，不成軸對稱的?！卑咐薪處燀槕獙W生的思維，將概念的本質層層展開，使學生對軸對稱的性質認識更加清晰。
最后，捕捉亮點，保持課堂溫度理答也是增進師生情感、提高課堂和諧度的有效手段。
三、結語
高中數學作為高中階段的一門主要學科，由于其邏輯性強、思維抽象、難以理解，使高中學生在學習中時常感受很大的壓力。而類比思維是高中數學解題中的一個重要邏輯思維。如果將其有效應用于數學解題中，它不但可以幫助學生撥開數學學科的層層迷霧，還可以深入掌握其不同領域的知識面。本文通過總結學習經驗，就類比思維在高中數學解題中的重要性及有效性做一個簡單的分析闡述。
關鍵詞：
類比思維；高中數學；解題應用
所謂類比思維就是從兩個事物之間在某些方面的相似中推出其他事物相同或不同屬性的思維推理模式。包括：通過新事物對已掌握知識進行回憶與鞏固的聯想模式和通過類比在不同事物間查找相似、相異之處的思維模式。類比思維的運用，可有效提高數學解題效率，培養和提高學生的綜合素質能力。本文就自身在高中數學解題中的實際經驗，總結類比思維在解題實踐中的有效應用，與大家分享如下：
一、類比思維在高中數學解題中的重要性
在高中數學學習中，有效的學習方法很多。類比思維作為高中數學解題中的一個重要思維模式，在實際應用中顯示出了它獨特的重要性。首先，基于類比思維的解題，我們能夠將新舊不同知識進行全方位、有效的對比，從而強化我們已有的記憶并對不同知識面進行分類區別，避免了所學知識的混淆，也有助于消除我們學習中的不良習慣。類比思維的解題，還有助于我們積極構建已學知識的知識網絡，使學習和應用更具清晰化、條理化。通過類比思維在數學解題中的有效應用，我們能夠更加深入的理解數學知識并培養和提高我們的自學、自創和自行研究問題的能力。創新能力的不斷培養拓寬了我們對數學解題的思維模式，提高了學習興趣?？傊?，在類比思維的運用中，我們能夠不斷向未知領域前進，并提高自身的數學學習能力[1]。
二、類比思維在高中數學解題中的有效應用
在高中數學學習中，很多人感覺很吃力，學習成績不夠理想。從高中數學整體的學習上來看，如果我們能夠掌握科學合理的學習方式，也就能夠快速有效地解決數學問題，從而提高學習效率和學習成績。這時類比思維作為數學解題思維的重要模式之一，在實際應用中就顯示出它獨有的有效性?，F就以位置關系、概念、圖形特征等類型的數學問題為例，闡述類比思維在解題中的具體運用。
1、基于位置關系類型的類比思維應用
高中數學學習中，幾何知識內容比較豐富，并具有一定的抽象性。繁雜而抽象的理論增加了我們對知識的理解難度。如何學好幾何知識和有效解決系列問題，對同學們的邏輯思維能力就有了較高的要求。而類比思維在學習中的有效運用，使我們瞬間能夠明白幾何圖形的相交、相切、相離等多種位置關系，對高效解題十分有利。類比思維在其中的運用重點是，尋找相似知識點之間的不同，進行對比著記憶和學習[2]。在運用類比思維時，我們必須對知識的異同點加以準確、有效的把握，才能更好運用類比思維來解題。例如：在“直線與圓的位置關系”和“圓與圓的位置關系”中，容易混淆的知識點比較多，所以我們在學習中就應該積極尋找二者的差異，必要時可在草紙上畫出二者之間的位置關系。這樣我們的解題思路就能夠更加清晰，更有效地高效解題。
2、基于概念類型知識的類比思維應用
在概念類型的知識教學中，我們也可以運用類比思維，同樣能夠取得良好的學習效果。以代數為例：在學習過程中，諸多抽象的概念需要我們加以有效理解。如果相類似概念同時出現，則難以有效區分。如果我們通過類比法對數學概念進行區別學習，以了解相似概念之間的相同和不同點，對以后學習知識的推進非常有利。例如，在“推理與證明”知識內容的解題中，演繹法和歸納法兩個概念相類似，使我們在解題過程中極易產生誤區，降低解題效率。運用類比思維于其中，將兩種概念的解題方法、應用方式進行類比分析，使復雜問題簡單化，同時也能夠使我們對二者的概念加以更加深入的理解。
3、基于圖形特征類型的類比思維應用
立體幾何是高中數學的重難點，在學習立體幾何時，對我們抽象思維、邏輯思維的要求更高。如果不能對立體幾何圖形知識內容加以有效的把握，則難以解決數學難題。在學習中，圖形特征是比較容易混淆的知識點。基于此，我認為，對立體幾何的圖形特征學習中，可運用類比思維，不僅能夠快速尋找圖形特征的差異，而且可強化自身對數學知識內容的記憶。例如，圓柱、球臺、圓錐等立體幾何圖形，雖然都具有各自獨特的特點，但是受諸多因素的影響，使我們在解決數學問題過程中，可能對各立體幾何圖形的特征不能有效把握。因此，在引入類比思維的條件下，我們為區分各圖形特征，可自己動手制作各圖形的模型，并對圖形的側面進行展開，以更好區分各自的不同?？梢?，類比思維在圖形特征類型知識內容中的有效應用，對解題十分有利[3]。
三、結論
在高中數學解題過程中，可運用的數學思想模式相對比較多。類比思想作為其中的一種重要思維模式，它貫穿于高中數學學科的始終。通過對該思維模式在解題中有效應用的研究，使得數學學習不再成為難題，也有效地提升了我們在學習中的主動性、創造性，培養了良好的思維方式和正確的學習習慣。在學習中也不斷提高了我們對數學學習的濃厚興趣，為將來進行數學科學研究奠定良好的基礎。
作者：梁雨田 單位：內蒙古省包頭市第九中學高三18班
參考文獻：
[1]倪興龍.類比思維在高中數學教學和解題中的運用考述[J].語數外學習(數學教育),2013,02:3.
教學原則是教學實踐經驗的概括總結和指導教學工作的一般原理。從教學原則的角度出發，中學數學實驗教學原則主要以培養學生創造性為主，探討適合中學生的教學原則。1．1量力性原則。在教學中，中學數學實驗的實驗知識應該適應學生的現有的知識水平，一般在不需要學量新知識，又符合學生現有知識的認知水平的前提下，就可以精設數學實驗來進行教學。1．2實用性原則。數學實驗的培養目的之一即為培養學生的實踐能力。在數學實驗的教學中，應盡可能的選編實際應用的數學問題，培養學生的實踐能力，增加學生的學習興趣，給予學生創造的機會。1．3開放性原則。培養學生的創造性思維能力是數學實驗的一大功能。在日常教學中，選擇的實驗課題以有多種求解方法為宜。學生在對實驗課題的研究的過程中，可提高思維的發散性，培養他們的創新能力。
2中學數學實驗的設計類型
因實驗目的、涉及的知識、應用的技術手段等不完全相同，因此，中學數學實驗設計類型的分類也迥然不同。常規上，將中學數學實驗設計類型分為以下四類:第一類，依據數學知識素材劃分，有幾何、解析幾何、代數、三角實驗以及概率統計實驗等。例如:用多個矩形面積逼近不規則多邊形面積的過程可劃為幾何實驗，解析幾何實驗有求圓錐曲線中的軌跡方程，圓周率的計算實驗可以作為代數實驗。第二類，按照數學實驗的任務不同，可分為體驗實驗、計算實驗、計算實驗和應用實驗，進行弧度概念測量實驗、球面距離概念實驗都是體驗實驗。第三類，按照實驗中使用的不同實驗工具，可以分為色字實驗、折紙實驗、算法實驗和計算機實驗等。比如用計算機軟件的測量、繪圖和演示進行實驗。第四類，依據需求不同來區分。依據實驗所用數學原理、思想方法的不同可將數學實驗設計類型分為邏輯確定型、隨機模擬型等。如:簡單高次不等式解法的探索可視為邏輯確定型的實驗，而對冪函數圖象性質研究的實驗即為隨機模擬型的數學實驗。
3中學數學實驗的內容選取
中學數學實驗有別于物理、化學等實驗。數學實驗以思想為主要材料，而不是物質。作為專門研究課程的數學實驗，主要強調自主探索和應用實踐，以學習數學學習方法，培養發散思維，提高創新能力為根本目的。而作為數學教學輔助工具對的中學生數學實驗，其主要目的為采用相關數學技術和數學知識，來突破在傳統數學教學中的重點和難點。然而，無論是作為專門研究課程的數學實驗，還是作為數學教學輔助工具的數學實驗，在其實驗內容的選取上都應該注重典型性、啟發性、針對性、趣味性、實用性和可擴展性，克服傳統數學課程中只注重數學知識的系統性、連續性和層次性的弊端。3．1典型性:數學實驗不可能涵蓋所有的數學知識點。在進行教學設計時，應選取具有典型性的點，并進行舉一反三，達到觸類旁通的效果。而對于典型問題的處理上，也應采用“與之相適宜”實驗方法，如數形結合問題中，采用《幾何畫板》進行數學教學，化靜為動，在動中觀察并體會，使學生對于知識的認識更鮮活深刻。3．2啟發性:啟發性是各科教學的靈魂，啟發性在數學上的作用尤為突出。在數學實驗中，采用計算機技術，可創設各種問題情境。并采用多種手段，啟發學生的思維。如在學習對稱圖形和中心對稱時，利用數學實驗能充分展現具備對稱性的圖形的特征，通過動態實驗過程可將軸對稱和中心對稱的特點充分展示，具有啟發性。3．3針對性:在中學數學學習中，極限、漸近等問題非常抽象，針對此類實驗，可利用計算機的優勢，針對研究的問題，設計專業的計算機實驗方案，不僅增強了問題的目標性，也可使抽象問題形象化。在形象理解的基礎上，再實現更多的問題的抽象，從而建立起對抽象概念的理解。此外，因學生的個體差異性，也可針對不同的學生群體，設計適合該群體的實驗，因材施教。3．4趣味性:折疊、旋轉、截面、展開、空間等問題是傳統數學教學的難點，但通過數學實驗，特別是在計算機環境下，利用《幾何畫板》等軟件，則能調動課堂氣氛，增強學習的趣味性，實現學生的自主學習，進而較容易的突破難點。一個好的數學實驗，設計出合理的實驗題目是關鍵。數學實驗中教師最重要的任務就是綜合上述原則，選取好實驗內容。此外，需要注意的是，雖然近幾年中學數學實驗已得到部分教育工作者的重視，但對于中學數學實驗的研究與推廣遠遠不夠。因此，數學教育工作者有義務也有責任不斷深入研究中學數學實驗相關問題，并將理論研究應用到實際教學中，讓學生從中收益。
作者:沈林 龐留勇 單位:黃淮學院
參考文獻:
