時間：2023-06-18 10:36:13
序論：在您撰寫數學中的分析法時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
分析是在思想中把事物的整體分解為部分,把復雜事物分解為簡單要素,把完整的過程分解到各個階段,并加以研究的思維方法.在數學中,分析就是從結果追溯到產生這一結果的原因的一種思維方法.例如,為了求多邊形的面積,我們可以把多邊形分解為若干個三角形,分別進行研究,又如,對于列方程解應用題這一完整過程,可以分解為設元、列方程、解方程、檢驗等四個階段分別予以考察,在數學解題中,分析是首先且大量要用到的一種思維方法,因為對于求知的整體事物,要使學生深刻地認識它、理解它,首先就得恰當地分解它、簡化它.具體地說,分析法是從數學題的特征結論或要求出發,一步一步地探索下去,最后達到題設的已知條件.
例1:如圖,P是O外一點,PQ切O于Q,PAB和PCD是割線,∠PAC=∠BAD.求證:PQ■=PA■+AC·AD.
證法(分析法):由于易知PQ■=PA·PB
要證:PQ■=PA■+AC·AD
只需證:PA·PB= PA■+AC·AD
即證AC·AD= PA■-PA·PB
即AC·AD= PA(PA-PB)
又因PA-PB=AB
只需證AC·AD=PA·AB
即AC/PA=AB/AD
這就將問題轉化為證明PAC與ABD相似.
連接BD,因∠PAC是圓內接四邊形ABCD的一個外角,故∠PCA=∠ABD.
又∠PAC=∠BAD,故PAC∽DAB,由此命題得證.
綜合是在思想中把事物的各個部分、各個方面、各個要素、各個階段聯結為整體進行考察的思維方法,在數學中綜合就是從原因推導到由原因產生的結果的一種思維方法.例如,把正整數、零、負整數、正分數、負分數聯結起來考察,對有理數就能有一個完整的認識;把有理數和無理數聯結起來研究,則對實數就可以有更深刻的理解.綜合不是把事物的各個部分簡單地拼湊在一起,而是著重于找出其互相聯系的規律性.具體地說,綜合法是從數學題的已知條件出發,經過逐步的邏輯推理,最后達到待證結論或需求問題.
例2:已知a , b ,c, d為正實數,且a■+b■+c■+d■=4abcd, 求證:a=b=c=d.
證明:(綜合法)
由 a■+b■+c■+d■=4abcd
得 a■+b■+c■+d■- 4abcd=0
從而轉化成 (a■-b■)■+(c■-d■)■+2a■b■+2c■d■-4abcd=0
即(a■-b■)■+(c■-d■)■+2(ab-cd)■=0
易知a■-b■=0 , c■-d■=0,ab-cd=0
又a,b,c,d為正數
故有a=b, c=d,ab=cd
摘要：科技迅速發展，國力日益增強，社會對于人才的要求也越來越高。為開創新型教學模式，培養高技術、高素質、高水平人才，提升教學質量，文章提出了案例分析法，并從案例分析法的重要性、實例分析和注意事項三個方面對其進行了介紹。
關鍵詞：高等數學；案例分析法；重要性
高等數學是大學生必修的一門基礎課程，是學生學習概率、物理等科目的基礎。高等數學不僅有助于提高學生的邏輯思維能力，而且對培養學生成為有思想、有品德、有技術的綜合性應用型人才也具有重要作用。
一、案例分析法引入高等數學教學中的重要性
在高等數學教學中，可以把生活實例引入到教學范圍當中，根據要講述的內容，分析、研究和討論所引例子，最終得出相關的定理或概念，使學生在學習過程中更加輕松、舒服。引入案例分析法可以使高等數學教學發生好的變化：第一，案例分析法可以激發學生的學習興趣性，可以將抽象的、難以理解的數學理論知識形象化，使學生深刻領悟到數學理論中蘊含的真理，從而在生活中更好地對其進行應用。第二，案例分析法可以給學生創造一種與眾不同的學習環境，使學生通過主動思考和分析案例，找出和發現問題，從而有效鍛煉學生分析和解決問題的能力。第三，案例分析法使高等數學教學更貼近于實際生活，讓學生感受到數學在實際中的廣泛應用。綜上所述，將案例分析法引入高等數學教學當中，不但能夠激發學生的學習興趣，促進學生學習的主動性，而且可以使學生的思維得以開發，思路得以拓展。
二、高等數學教學中案例分析法的運用
在高等數學教學中，當講授一階線性差分方程時，教師可以插入下面的例子：在社會經濟快速發展中，社會保障體系也在不斷完善，人類的生存環境也在發生變化。隨著人類生活水平的提高，對于物質條件的需要也越來越多，比如，對于樓房和汽車的需求。當然，這種需求并不是人人都能獲得的，那么他們想要享受生活，需要怎樣呢？當代人有了新的生活觀，認為任何事物都可以通過銀行貸款來獲取，當然，我們不能總是無限制地透支以后的生活，要想持續過著幸福美滿的生活，就要采取相應的措施———合理理財、合理消費。比如，設現在擁有的貸款本金為y0元，需要貸款的時間為2年，年利率設定為a，那么計算一下，我們每個月還必須償還的貸款是多少？假設每個月必須償還貸款金額是A（月等額還款情況），那么第x個月需要還銀行貸款為yx，如此得到一階線性方程為：yx=yx-1（1+a/12）-A，y24=0，將y0代入方程中求出y1，然后將y1再代入方程求出y2，以此類推即可得出yx=（1+a/12）x（y0-C）+C，其中C=A/（a/12），這就是我們每個月需要償還銀行的貸款金額。所以，要想一直擁有美好生活，必須要合理理財。簡單的日常生活舉例，更能吸引學生的注意力，增強課堂氛圍，更能使學生深入地理解什么是一階線性方程，該方程應該怎樣得出，如何求解，以及方程的實際應用，從而也讓學生認識到了數學知識的無處不在。
三、高等數學教學中使用案例分析法應注意的問題
（一）案例選擇盡量與專業相符
高等院校的數學教師一般需要給不同專業的學生授課，不同專業的學生對于概念理解的程度不同，所以教師可以結合學生所學專業的不同，有針對性地引入案例。比如，在介紹導數含義時，可以在機械類工科學生授課中結合變速圓周運動的角速度、非恒定電流的電流強度等變化率問題；針對管理類文科學生，可以引入邊際成本的理論；針對農業科學專業學生，可以在授課中結合細胞的繁殖速度、邊際產量等問題。這種有針對性的插入案例，不但能體現數學理論存在的多樣性，而且能讓學生更好地了解數學，拓展學生的思維，培養學生的綜合素質。
（二）應結合多媒體進行授課
多媒體教學本身就具有極強的吸引力，如果加入形象生動的案例，則更能激發學生的學習興趣，讓學生更容易接受數學。此外，對于教師，多媒體授課不但能節省教學時間，而且還能節省其教學精力，因此，將案例分析應用于多媒體當中，更便于學生分析和理解相關知識。
（三）課堂教學中要多提問
數學課堂教學就是要善于提出問題，給學生思考的機會，培養學生分析和解決問題的能力。同樣，案例的引入更要提出問題，然后進行教學內容的介紹，讓學生跟隨教師的思路，直到本節課的結束。這樣不僅可以集中學生的注意力，而且還能培養學生思考、分析、解決問題的能力。
四、結語
案例分析法不但能引發學生對于數學的喜愛，從而更好地學習數學，而且還能開拓學生的思維，培養學生解決問題的能力，使學生滿足社會對相關人才的需求。由此可見，案例分析法的應用對于高等數學教學來說意義重大。
參考文獻：
[1]何娟娟.基于案例教學法的高等數學教學改革實踐[J].開封教育學院學報,2014(9):110-111.
[2]謝紹義.等額還貸的多種方式[J].數學通報,2003(4):41-42.
關鍵詞 分析法；概念；例析
一、分析法的基本概念
分析法是從問題的結論出發尋求其成立的充分條件的證明方法.即先假定所求的結果是成立，分析使這個命題成立的條件，把證明這個命題轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么可以斷定原命題成立.我們稱之為“執果索因”。
要證明命題：“若A則D”思考時可以由結論D出發向條件A回溯，先假定所求的結論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：
D？圯C？坩B？坩…？坩A
用分析法進行證明，每一步推理都是尋找充分條件，最后找到要證命題的條件。就是說，每一對相連的判斷中，后者是前者的充分條件，這樣，聯成一個邏輯鏈時，才保證了由條件A到結論D.由傳遞律得出，A是D的充分條件，從而證明了命題“若A則D”.分析法的證明中，每一步都是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，此處的“需知”是倒推的“中途點”。
二、例析分析法
要證明命題：“若A則D”.思考時可以由結論D出發向條件A回溯.先假定所求的結論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：
D？圯C？坩B？坩…？坩A
關鍵詞：結構分析法;數學;教法;學法;運用
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1005-1422（2015）02-0064-03
收稿日期：2015-01-20
作者簡介：陳海濱（1967-），男，廣東省梅州農業學校講師，大學本科。研究方向：數學教育。（廣東 梅州/514011）
在數學的教學活動中，教師往往側重于“教法”的積極探索而忽視對學生的“學法”的研究指導，造成整個教學過程脫節。于是，出現一個怪現象：課上教師盡所能、展才智充分調動學生積極性、激發學習興趣，學生聽得懂，叫好，而課后學生復習、練習、作業、考試時又感到不理解、不會做、考不好，叫苦，只開花不結果。那么怎樣才能使“教法”寓于“學法”，“學法”源于“教法”，將二者有機地結合起來，既開花又結果呢？這就要求教師要從不同的角度全方位地進行教學設計。筆者認為，教師是導演――統攬全局，也是演員――把握精辟，還是觀眾――期待效果。從教師的角度“導”出“教法”;從學生的角度“演”出“學法”;從家長的角度“觀”出效果。正是本著這樣的理念，經過多年的教學積累探索出一種教與學的通用之法――結構分析法。經過多年的實踐檢驗表明，此法特別適合代數教學。本文就以代數教學為例進行闡述。
所謂的“結構分析法”就是依據數學的換元思想，通過觀察分析數學概念、公式、法則等數學知識結構形式的特點，對其結構形式進行分解――確定“可變”與“不變”兩個部分，用中括號[ ]代替“可變部分”找出規律，揭示出其本質特征，從而深刻地理解其內涵，靈活地掌握和運用數學知識解決問題，提高教學效率的一種方法。
一、結構分析法在數學“教”的過程中的運用
（一）在數學概念教學方面的運用
例1.“函數概念”的教學分析。
函數是數學中十分重要的概念，是數學各個分支理論的重要基礎之一，在各個領域都有著廣泛的應用。由此可見，深刻地理解函數概念是至關重要的。然而，學生普遍感到較難理解“函數概念”，尤其是對用抽象符號：“y=f（x）”表示函數的理解感到一頭霧水?，F在就從這里入手，運用“結構分析法”進行分析。
觀察，函數y=f（x）的結構形式進行如下分析：
這樣，學生容易片面地理解函數的概念：誤認為x就是自變量，y就是因變量，而解析式表示的就是函數。缺乏對函數概念的深層次地理解，導致在學習過程中遇到有關函數問題時，就問題多多。
現在，我們對上述結構形式進行分解，確定“可變”部分為x和y所在的位置，余者不變。用中括號[ ]代替“可變”部分――x和y所在的位置，就不難發現對于一個確定的函數，無論是具體的還是抽象的都可以理解如下：
顯然，在函數的構成要素中，最重要的是函數的定義域和對應法則，最難理解的就是“對應法則”（不變部分）。事實上，對于一個確定的函數其對應法則是不變的、抽象的。
現在，通過幾個例子加以說明如何運用結構分析法揭示出對應法則的本質特征。
例如，二次函數f（x）=3x2+2x+1的對應法則f的本質特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1
函數值：當x=2時，有f（2）=3×22+2×2+1=17
當x=t時，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1
對應法則f：[ ]內取2，則有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17
[ ]內取t，則有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1
顯然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]
再如，復合函數g（x）=lg（3 x2+2x）的對應法則g的本質特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）
函數值：當x =2時，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2
當x=t時，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）
對應法則g：[ ]內取2，則有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2
[ ]內取t，則有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）
顯然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]
這就說明了對應法則的本質是理解時抽象而運用時又具體的一種對應關系。學生就容易理解函數f（t）=3t2+2t+1與函數f（x）=3x2+2x+1是同一個函數;函數g（x）=lg（3x2+2x）與函數g（t）=lg（3t2+2t）也是同一個函數。自然認同x、y只是一個記號，習慣用之而已。從而更加容易理解“每一個函數都有其對應法則，并且每一個自變量的取值按其對應法則都有唯一的因變量的值與之對應”的內涵。這樣，使學生通過“抽象――具體――抽象”的認識過程，進而深刻地理解函數概念的內涵。
像冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及其復合函數，還有抽象函數等函數概念都可以運用“結構分析法”進行數學概念教學，使學生更加容易把握數學概念的本質特征，提高教學效果。
（二）在數學公式教學方面的運用
例2.三角函數中“誘導公式”的教學分析。
常用的誘導公式有9組36個公式，若要求學生死記硬背難度大且用時易錯，用“結構分析法”教學，可以概括出“口訣”，易記、好用、準確。
誘導公式中角的形式有9種：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 觀察分析這9種角的結構形式發現：“2kπ，π，0”角的終邊都在橫軸上;“π2，3π2”角的終邊都在縱軸上。
（因篇幅所限，選幾組加以分析）
sin（π±α）=sinα
cos（π±α）==cosα
tan（π±α）=±tanα
cot（π±α）=±cotα公式（一）
可變部分“±”， 余者不變
sin（3π2±α）==cosα
cos（3π2±α）=±sinα
tan（3π2±α）=cotα
cot（3π2±α）=tanα
公式（二）
可變部分“±”、“名稱”， 余者不變
sin（π±α）=[ ]sinα
cos（π±α）=[ ]cosα
tan（π±α）=[ ]tanα
cot（π±α）=[ ]cotα
sin（3π2±α）=[ ][ ]α
cos（3π2±α）=[ ][ ]α
tan（3π2±α）=[ ][ ]α
cot（3π2±α）=[ ][ ]α
首先，確定函數“名稱”的變化規律。
觀察分析公式（一）、公式（二）兩邊的函數名稱發現：公式（一）名稱不變，且π角的終邊在橫軸上，公式（二）名稱改變，且3π2角的終邊在縱軸上，由此概括出函數“名稱”的變化規律：“縱變橫不變”。
其次，確定“±” 符號變化規律。
觀察分析公式（一）、公式（二）兩邊的函數值符號發現：等式左邊的函數值符號都是正的，而等式右邊的函數值符號是變化的，若把α看成是銳角時就會發現：由“π±α，3π2±α”角的終邊所在的象限確定的函數值符號排布規律與右邊函數值符號排布規律一致，這說明右邊的函數值“符號”是由左邊的“π±α，3π2±α”角的終邊所在的“象限”確定的函數值符號排布規律決定的。由此可以概括出符號變化規律：“符號看象限”。
這樣，可以得到誘導公式的口訣為：“縱變橫不變，符號看象限”。
例3.三角函數中“二倍角公式”的教學分析。
許多數學公式在理解和運用時，學生常常忽視它們內在成立的“條件”或者運用的“條件”，而片面地理解數學公式，導致用時易錯、缺乏靈活性。若用“結構分析法”教學，則可以使學生深刻理解公式的內涵，提高靈活運用的能力。
以“二倍角公式”的教學為例進行分析：
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α
=1-2sin2α
=2cos2α-1
tan2α=2tanα1-tan2α
可變部分“2α，α”
sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]
cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]
=1-2sin2[ ]
=2cos2[ ]-1
tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]
觀察分析上述公式的結構形式發現“可變部分”是2α，α，余者“不變”，從而揭示出公式成立的“條件”：左邊角的“形式”是右邊角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到許多常用的結論：
如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;
sin2α=1-cos2α2 （降冪擴角公式）;
sinα2=±1-cosα2 （半角公式）
等等，這些在求三角函數的周期、最值等問題時常用。
由此看來，運用“結構分析法”進行數學公式教學，更加容易抓住數學公式的本質特征。若能概括出“口訣”，揭示出“條件”，就會使學生對數學公式的深刻理解和靈活掌握得到很大程度的提高，從而提高教學效果。
二、結構分析法在數學“學”的過程中的運用
（一） 觸類旁通，掌握新知識
1.引導學生學會概括數學公式（法則）的“口訣”，提高記憶效果和學習效率。
例4.引導概括：三角函數中“加法定理”的口訣。
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ
tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ
引導學生類似“誘導公式”的分析方法，觀察分析上述公式的結構形式，發現角的排布規律明顯――先α后β。
首先，觀察分析上述公式的三角函數名稱的排布規律發現：正弦、余弦名稱“改變”，正切名稱“不變”。由此可以概括為：“弦變切不變”。弦變之意為：“正弦正在先，名稱交替出現;余弦余在前、名稱重復出現”。
其次，觀察分析上述公式的“±”號的排列規律發現：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括為：“符號有順逆”。順逆之意為：“弦正順余逆;切上順下逆”。
因此，可以得到加法定理“口訣”為：“弦變切不變，符號有順逆”。
這樣，就抓住了數學公式的本質特征，在理解掌握數學公式時就會感到：易記、好用、準確、高效。
2.引導學生學會揭示數學公式（法則）的“條件”，提高理解運用的準確性和靈活性。
例5.引導學生學會揭示重要極限limx∞1+1xx=e的“條件”。
引導學生類似“二倍角公式”的分析方法，觀察分析上述公式的結構形式發現：“可變部分”是1x與x，且成倒數關系，余者“不變”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“條件”是：小括號內的[ ]與小括號外的[ ]的結構形式成倒數關系且與x有關，當x∞時，小括號外的[ ]∞，公式成立。
再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“條件”是：[ ]內的結構形式一致且與有關，當x0時，[ ]0，公式成立。
這樣，在運用數學公式時，就能準確、靈活、快速地解決問題。
（二） 舉一反三，解決新問題
學以致用，舉幾個例子看一下由“結構分析法”得出的結果在數學解題中的應用。
例6.已知函數f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））
解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （對應法則g）
f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（對應法則f ）
=（2x2+1）2+2
=4x4+4x2+3
例7.求函數y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。
解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）
=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 縱變橫不變，符號看象限（誘導公式口訣）
=12sin（2kπ-π3）
左邊角是右邊角的一半，二倍角公式成立（條件）
最小正周期為：T=π|k|
例8.求limx∞2x+32x+1（x+1）
解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12
=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212
=e?1=e 1x+12與x+12成倒數關系，公式成立（條件）
綜上所述，“結構分析法”在整個教學活動中，體現了二法合一的內在統一性。一法二用，不僅能使學生易于接受“教法”，理解知識，聽得明白，又能使學生利于掌握“學法”，學會思考，解決問題，還能使學生對數學概念、公式、法則等數學知識的深刻理解和靈活掌握得到很大程度的提高。從而能靈活多變地快速解決問題，提高學習效率，達到“授之以漁”的教學目的。
參考文獻：
1 追溯型分析法
這種分析法,其思路是把所研究的對象看成是一個整體,并假設該事物是存在的(或成立的),進一步分析其組成的各個部分成立的充分條件. 當這些條件找到了(或成立)時,顯然這些條件就是原事物(或原命題)成立的充分條件. 從而說明結論成立,這種方法叫做追溯型分析法. 其實質是“執果索因”.
例1 若四邊形的兩組對邊相等,則四邊形是平行四邊形.
已知:如圖1,在四邊形ABCD中,AD=BC,BA=CD.
求證:ABCD是平行四邊形.
分析法 連結BD,欲證ABCD是平行四邊形,則需證明AD∥BC,BA∥CD. 可以證∠1=∠2,∠3=∠4,則需證ABD≌CDB,則需先證出AD=BC,BA=CD,BD=DB. 這些條件可以從已知中找到. 問題已解決.
2 構造型分析法
這種分析法,其思路是把所研究對象中的成立的部分和不明確的部分都看成是成立的,這樣,整個事物也就隨之被看做是成立的(這就是構造),然后進行探討、推理,找出不明確部分成立的必要條件,即是整體事物成立的必要條件,也就是通常所說的原命題成立的必要條件. 從而得到解題思路. 構造型分析法常用于解決起點不清晰與輔助元素不明確的問題,它對于開拓思路、添加輔助元素有一定的作用.
例2 已知:在ABC中,AB>AC,AD為∠A的平分線,P為AD上任意一點.
求證:PB-PC
證明 分析給定的圖2,就我們研究事物的整體來說,其中的邊、角和由它所涉及的有關線段等都可看成這個事物的各組成部分,其中PB、PC、AB、AC分別為相應三角形的邊,即該事物中成立的部分.
考慮到PB-PC和AB-AC,可在AB上截取AE使AE=AC,則應有AEP≌ACP,所以PE=PC,從而有PB-PC=PB-PE,AB-AC=BE. 我們希望的是PB-PE
3 前進型分析法
這種分析法,其思路是從整體事物中已經成立的某一部分出發,運用已有的知識經過邏輯推理逐步尋找并擴及到其它部分成立的條件,最終挺進到原事物成立的必要條件,也就是原命題成立的必要條件,使導出的條件恰為問題的答案. 前進型分析法是一種尋求結論或答案的連續探索性分析法,常用于解決結論帶有模糊性的較為復雜的問題.
例3 設在一個由實數組成的有限數列中,任意7個連續項之和都是負數,而任意11個連續項之和都是正數,試問這樣的數列最終能包含多少項.
4 分析綜合法
分析綜合法的基本思路是從命題的充分條件出發,用前進型分析法進行到一個中間目標,又從命題的必要條件出發,用追溯型分析法也追溯到一個中間目標,直到兩者追到同一個中間目標(結果),從而溝通思路,使問題得到解決. 這種方法稱為分析綜合法.
例4 如圖3,已知OA、OB為O的半徑,OAOB,弦AQ與OB相交于點P,切線QC交OB的延長線于C點. 求證:CP=CQ.
思路分析:
分析法:要證CP=CQ,只須∠1=∠2. 因為∠1=∠3,故只須∠2=∠3.(1)
綜合法:觀察已知條件與給定圖形,聯想到添加輔助線:延長AO交O于R連結RQ. 由弦切角定理知∠2=∠R. (2)
在RtAQR與RtAOP中,∠A=∠A,所以∠3=∠R.(3)
【關鍵詞】 初中數學；學習方法；分析法；綜合法
做任何事情都需要講究一定的方法，用對了方法，才能事半功倍，把一件事情做得更好. 在初中數學的學習中也是一樣的，分析問題和解決問題都需要正確的方法.
一、分析法概述
對分析法的運用主要就是把整體的內容分解為若干個部分，是一個從整體到局部，從復雜到簡單的過程，再針對各個部分進行分析和探究. 在數學中的一些證明題中，逆推法就是一種分析法，它的過程就是從一種結果追溯到產生這種結果的原因，不斷地追溯上去，一層一層地分析. 還有，在求多邊形的面積時，通常我們都是把多邊形分解成若干個三角形再進行計算，這也是分析法運用的一種形式. 分析法的運用也可以把一個完整的過程分解成若干個有序的步驟，在我們所學習的列方程解應用題中，就可以把解題過程分解成幾個步驟，如假設，找等量關系并列方程，解方程，檢驗. 通過完成每一個步驟來解決這個問題，可以讓整個過程變得更加清晰，容易理解.
二、分析法的應用
分析法的運用范圍很廣，在一些幾何類的證明題中，分析法的運用具有非常明顯的特征. 下面我將舉例來說明分析法在解決問題的過程中該如何運用，具體說來，就是要從數學題的特征和結論出發，一步步不斷探索，最終達到與題設和已知條件相關聯.
例1 如圖1所示，點P是圓O外的一點，PQ切圓O于點Q，PAB和PCD是割線，∠PAC = ∠BAD. 求證：PQ2 = PA2 + AC·AD.
分析過程：根據已知條件，我們可以很容易得出PQ2 = PA·PB.
這樣，通過逐步地分析就把問題轉化成了我們所熟悉的求三角形相似的問題.
那么再根據已知條件，證明這兩個三角形相似. 連接BD，因為∠PCA是圓內接四邊形ABCD的一個外角，所以∠PCA = ∠ABD. 又因為已知中已經給出的∠PAC = ∠BAD，所以APC∽ADB. 再把整個過程反過來書寫，命題得證.
例2 如圖，在ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，求證：AD平分∠BAC.
這是一道比較簡單的證明題，但分析的方法還是一樣的.
分析過程：要證明AD平分∠BAC，就要得到∠BAD = ∠CAD.
由于這兩個角在不同的三角形內，因此，就要證得ABD ≌ ACD，已知條件中已給出了AB = AC，AD又是公共邊，那么只要證得BD = CD即可. 要得到BD = CD，必須要該三角形的兩個底角∠1 = ∠2，而這剛好就是已知條件. 通過這樣的分析，思路明確了之后，寫出來就很容易了.
三、綜合法概述
綜合法與分析法可以說是兩種相逆的方法，但卻又是兩種有著密切聯系的方法. 綜合法運用的具體過程就是要把事物中的不同部分，各個方面以及相關的要素綜合起來，從整體上來考慮. 也是根據已知條件推導出結論的一種思維方法. 比如我們在學習有理數的概念時，就需要把正整數，零，負整數，正分數，負分數，綜合起來研究并形成有理數的概念，這樣我們對有理數的概念才能有更加深刻和清晰的理解. 綜合并不是把各個部分進行簡單機械的拼湊，而是要找出各個部分之間的相關性和規律性. 就比如說有理數，它包括很多個部分，而這些不同的部分之間的相同點就是它們都不是無限不循環的數，這也是相對于無理數而言的. 總的來說，綜合法的應用過程是從已知條件出發，根據已知條件再進行適當的邏輯推理，最后達到解決問題的目的.
四、綜合法的應用
下面我們同樣以一道證明題來展示綜合法的具體運用.
例3 如圖，在ABC中，AB = AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC = 130°，求∠BAC的度數.
綜合法的分析過程：
從已知條件入手，把每一個已知條件發散出來，不斷地得出更多的條件.
根據AB = AC，以及AE是∠BAC的角平分線，可以得出∠DEC = 90°，又因為條件中的∠ADC = 130°，所以∠ECD = 40°.
再根據CD是∠ACB的角平分線，可以得到∠ACB = 80°.
關鍵詞：數學分析； 人文地理； 應用
中圖分類號：G633．55 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）02-045-001
在高中地理學習中，學習有用的地理，善于觀察、發現、探究是新課標提出的教育目標。從近幾年高考試題分析中，特別是文綜卷地理的11個選擇題中，我發現用數學知識解決地理問題的考題頻繁出現。說明其越來越被命題組專家們看好。此方法在自然地理中應用很廣，在人文地理特別是在區位、交通、人口、環境等重要專題也有很多應用。在高三總復習將“知識考點化，考點題型化，題型模式化”的教學實踐中，我把用數學分析的方法在人文地理中的應用作了總結，大體上歸納了以下類型：
一、極值法
數學中有求最大值、最小值的方法叫極值法，這種方法也可在人文地理中應用。人類活動（農業、工業、交通、商貿等）總是以最小的投入獲得最大的產出即效益(經濟效益、環境效益、社會效益)最大化為原則。
例1 2005年全國高考文綜卷一第8-9題
假定工廠選址時只考慮運費,且運費與所運貨物的重量和運具有關。某原料的原料供應指數等于該原料重量與產品重量之比。下圖中，O點到原料M1 M2產地和市場N的距離相等。據此回答1-2題：1.如果工廠選址O點最合適，那么
A.M1的原料指數大于M2的原料指數
B.M1、M2的原料指數都大于1
C.生產1個單位重量的產品分別約需要0.5個單位重量的M1、M2
D.生產1個單位重量的產品分別約需要1個單位重量的M1、M2
2.若生產2個單位重量的產品，需要3個單位重量的原料M1，2個單位重量的M2，
那么，工廠區位最好接近以下四點中的（ ）
A.N B.P C.Q D.R
【分析】：總運費（s）＝運距＊運量＊運費／噸公里
＝OM1（a）＋OM2（b）＋ON（c）三段路程運費之和。
要使總運費最少，就得使三段路程運費之和最小 。
因此，要使總運費最少，就得使三段路程運費都相等。
根據題意：工廠選址O點最合適，說明總運費最少。運距OM1＝OM2＝ON，而且運費／噸公里都相同，所以，三段的運量必須相同。即運量OM1＝OM2＝ON，也就是原料的運輸量和產品的運輸量相等。因此，原料供應指數＝1。第一題選D。
這樣，利用不等式最小值的方法巧妙地解決了第一題。
分析第二題：同樣根據總運費（s）＝運距＊運量＊運費／噸公里，使總運費最少就得使三段路程運費都相等，噸公里運費相同，因此，運量與運距成反比。得出運量大、運距短的結論。最好區位應接近P點。第二題選B。
二、圖像分析法
利用統計數據建立起數學圖像或模型（Ecxel的相關功能很強大）,然后通過圖像或模型分析，找出地理特征或規律的方法，叫圖像分析法。如三角坐標圖、人口金字塔圖、各類統計圖（線狀、柱狀、扇形、雷達圖、直角坐標象限圖）及其復合圖。
學習高中地理湘教必修2《1.3人口遷移》一節時，我常選用這道題做例題。
例2.人口遷移率指人口遷移數與總人口的比例，正值為遷入。讀圖回答：
圖中四個地區人口增長速度最快和最慢的分別是（ ）
A.A,C B.B,D C.C,D D.A,D
【分析】：人口增長的速度應該與人口自然增長率＋人口遷移差額率的和成正相關。
分析圖中數據得到下表，
那么，人口增長最快的是A，最慢的是D，故此題選D選項。
三、數據處理法
利用統計圖、表提供的數據，通過對其二次處理得到新的圖像或有用的數據，解決實際問題的方法。
例3.（2004年文綜，湘版全國卷7－9題）下表顯示了我國陸路交通的部分數據，據此回答：
（1）2002年我國鐵路客運與公路客運相比較
A.鐵路客運的平均運距與公路相同 B.公路在短途客運方面有優勢
C.鐵路短途客運量周轉量與公路相同 D.鐵路客運的平均運距相當于公路的3倍
（2）1980-2002年間，我國鐵路交通
A.在客運中的比重穩步提高 B.單位營運里程的客運量呈下降趨勢 C.與公路交通相比，客運的平均運距增長較慢
D.與公路交通相比，旅客周轉量增長較快
根據公式和表中的六項數據指標進行數據分析：
第(1)題2002年我國鐵路的平均運距為:4969/10.56≈470.55千米,公路客運的平均運距為：7806/111.63≈69.93顯然,二者相差較大A,D錯。同時，說明公路在短途運輸方面有優勢,B正確。而C沒有相應的數據指標。
第(2)題同樣經過對數據的分析處理得出B正確。
