時間：2022-09-27 03:32:24
序論：在您撰寫參數方程時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
1、利用三角恒等式進行消參。消參過程中都應注意等價性，即應考慮變量的取值范圍，一般來說應分別給出x,?y的范圍。在這過程中實際上是求函數值域的過程，因而可以綜合運用求值域的各種方法。?
2、所指定參數不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數方程一般應指明所取參數。
3、在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時應用語言作補充說明。
（來源：文章屋網 ）
一、探求幾何最值問題
有時在求多元函數的幾何最值有困難，我們不妨采用參數方程進行轉化，化為求三角函數的最值問題來處理。
例1（1984年考題）在ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為ABC的內切圓的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。
解由，運用正弦定理，可得：
sinA·cosA=sinB·cosB
sin2A=sin2B
由A≠B，可得2A=π-2B。
A+B=，則ABC為直角三角形。
又C=10,，可得：
a=6,b=8,r=2
如圖建立坐標系，則內切圓的參數方程為
所以圓上動點P的坐標為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα
因0≤α＜2π，所以
例2過拋物線（t為參數，p＞0）的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設0＜θ＜π，當θ取什么值時，｜AB｜取最小值。
解拋物線（t為參數）
的普通方程為=2px，其焦點為。
設直線l的參數方程為：
（θ為參數）
代入拋物線方程＝2px得：
又0＜θ＜π
當θ=時，｜AB｜取最小值2p。
二、解析幾何中證明型問題
運用直線和圓的標準形式的參數方程中參數的幾何意義，能簡捷地解決有關與過定點的直線上的動點到定點的距離有關的問題。
例3在雙曲線中，右準線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點，過右焦點F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。
證明設F點坐標為(c,0)，
A點坐標為(,0)。
又，設AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數方程依次為：
將①、②代入雙曲線方程，化簡得：
同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：
｜FM｜·｜FN｜=
｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。
雙曲線的一條準線與實軸交于P點，過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點，又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
證明由已知可得。設直線AB的傾角為α，則直線AB
的參數方程為
（t為參數）
代入，可得：
據題設得直線CD方程為（t為參數）
代入，得：，從而得，
即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
三、探求解析幾何定值型問題
在解析幾何中點的坐標為(x,y)，有二個變元，若用參數方程則只有一個變元，則對于有定值和最值時，參數法顯然比較簡單。
例5從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。
解化方程為參數方程：
（θ為參數）
設P為橢圓上任一點，則P(3cosθ,2sinθ)。
于是，直線BP的方程為：
直線的方程為：
令y=0代入BP,的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。
故截距之積為：（）·（）=9。
四、探求參數的互相制約條件型問題
例6如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點，試求m、n滿足
的條件。
分析如果本題采用常規的代入消元法，將其轉化為關于x的一元二次方程來解，極易導致錯誤，而且很難發現其錯誤產生的原因。若運用參數方程來解，則可“輕車熟路”，直達解題終點。
解設橢圓的參數方程為
拋物線的參數方程為
（t為參數）
因它們相交，從而有：
由②得：
代入①得：
配方得：。即
問題1：經過點M（x，y）的直線有多少條？
問題2：再加一個什么條件就可以確定一條直線？
教師：請同學們說出經過點M（x，y），傾斜角為θ的直線的方程。
學生：根據點斜式，斜率k=tanθ，所以直線方程為y-y=tanθ（x-x）。
2.新課講解
教師：能否引進一個參數，使得直線上任何一點M（x，y）都能用這個參數來表示？
學生：利用|MM|，就是利用M到M的距離。
教師：如果利用距離的話，一個參數就會對應兩個點了，如何解決這個問題呢？
學生：根據方向來區分，向上是正的，向下是負的。
教師：很好，那跟方向有關的話，我們能想到什么？
學生：向量。
教師：不錯，那我們能否找到一個單位向量和直線是平行的？如果可以的話，那p的坐標是什么？并給出提示：op要滿足什么條件就會和直線是平行的？
學生：可以，根據斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），記==（cosθ，sinθ）。
教師：因為和是共線的，所以就可以用表示出來，即=t，那么，M的坐標如何用參數來表示呢？
學生：根據向量相等，就能得出直線的參數方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。
教師：這個參數方程跟哪種曲線的參數方程是很像的，有什么區別？
學生：跟圓的參數方程很像，區別在于，在直線的參數方程中t是參數，在圓的參數方程中θ是參數。
教師：參數t的幾何意義是什么呢？
學生：因為=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距離。
教師：什么時候是正的，什么時候是負的？
學生：根據向量的數乘可知，如果與同向，則t是正的，反之t是負的。
教師：很好，那我們看一下的方向有什么特點？
學生：根據傾斜角θ的范圍，可以知道的方向總是向上的。
教師：所以我們直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，則t是正的，反之t是負的。
教師：那M所對應的參數是多少？
學生：根據參數的幾何意義可知，M所對應的參數是0。
3.例題講解
例1：已知直線l∶x+y-1=0與拋物線y=x交于A、B兩點，求線條AB的長和點M（-1，2）到A，B兩點的距離之積。
學生：思考，互相交流。
教師：直線l的參數方程是什么？
學生：因為M（-1，2）在直線l上，θ=，所以直線l的參數方程是x=-1-ty=2+t。
教師：能否利用參數，線段AB的長就是什么？
學生：根據參數的幾何意義可以得出，|AB|=|t|+|t|。
教師：那如何解出t，t呢？
學生：因為t，t是A，B兩點所對應的參數，而A，B兩點是直線與拋物線的交點，所以將直線的參數方程代入拋物線方程，得到2+t=（-1-t），化簡得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的兩個解。
教師：那|MA||MB|=？
學生：根據韋達定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。
教師：求|AB|能不能也根據韋達定理，不解方程來做？引導學生從向量的角度來考慮，因為=-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韋達定理呢？
學生：|AB|=|t-t|==。
教師：說明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所對應的兩個參數。
那A，B的中點P所對應的參數等于多少呢？
學生：猜測中點P所對應的參數為。
教師：通過畫圖來解釋，或者根據向量=+。
例2：經過點M（2，1）作直線l，交橢圓+=1于A，B兩點。如果點M恰好為線段AB的中點，求直線l的方程。
一、利用參數方程求點的坐標
例1：已知直線l經過點P（1，2），且傾斜角為■，求直線l上到點P的距離為■的點的坐標。
分析：寫出l的參數方程之后，要求點的坐標，關鍵在于對參數t的幾何意義的了解。
解：直線l的參數方程為
x=1+tcos■ x=1+■t （t為參數）
y=2+tstin■ 即y=2+■t
在直線l上到點P的距離為■的點所對應的參數t滿足|t|=■即t=±■，代入l的參數方程，得x=3y=4或x=-1y=0。
所以，所求點的坐標為（3，4）和（-1，0）。
二、利用參數方程求長度
例2：已知橢圓■+■=1，和點P（2，1），過P作橢圓的弦，使P是弦的中點，求弦長。
解：設弦所在的直線方程為：x=2+tcosθy=1+tsinθ（t為參數）
代入橢圓方程，得(2+tcosθ)2+4(1+tsinθ)2=16
化簡：得(cos2θ+4sin2θ)2+4(cosθ+2sinθ)-8=0
P為中點，弦長=|t1-t2|=■=■
=■=■
=■=2■
三、利用參數方程求最值
例3：已知橢圓方程為■+■=1，求它的內接矩形的面積的最大值。
解：橢圓參數方程為x=acosθy=btcosθ(θ為參數)
設橢圓內接矩形的一個頂點為(acosθ,bsinθ)(θ為銳角)
則矩形面積S=4acosθ?bsinθ=2absin2θ≤2ab
Smax=2ab
四、利用參數方程求軌跡
例4：已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)，B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP：PA=1：2，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程。
分析：設點P的坐標為(x，y)，點B的坐標為（x0+y0），由于AP：BP=2：1，得x=■，y=■
即x0=■，y0=■
由于B(x0，y0)的拋物線y2=x+1上，或y20=x0+1
將②代入③，得(■)2=■+1
化簡得3y2-2x-2y+1=0
即x=■y2-y+■
即x=y2，此軌跡為拋物線。
例5:∠MON=60°，邊長為a的正三角形APB在∠MON內滑動，使得A始終在OM上，且O、P兩點在AB兩側，求P點的軌跡方程。
解：如圖建立直角坐標系，設P（x，y），∠PBN=θ，θ為參數，且0≤θ≤■
∠AOB=∠ABP=■
∠OAB=∠PBN=θ
在OBA中，
■=■，
OB=■
x=OB+acosθ=■asinθ+acosθy=asinθ
消去θ得（x-■y）2+y2=a2
即3x2-4■xy+7y2-3a2=0
而x=■sin(θ+arctan■)(其中0≤θ≤■)
則arctan■≤θ+arctan■≤■+arctan■
■≤sin(θ+arctan■)≤1 ■≤x≤■a
參數方程最初起源于力學及物理學，例如運動方程大都采用參數方程，其中參數t往往表示時間這一變量.高中數學中解析幾何的核心思想是“用代數的方法研究幾何問題”.在具體的問題解決中，“方程”的地位十分重要，運用代數方法通常是以“方程”為載體，“方程”架起了“代數”與“幾何”之間的橋梁，從而使得解析幾何變得如此豐富多彩.同學們在學習解析幾何時，一定要認真理解每個曲線不同形式的方程，這是研究它們幾何性質的基礎.在直角坐標系下，曲線方程通常分為兩大類：參數方程與普通方程.參數方程與普通方程是曲線方程的兩種不同的表達方式，它們在形式上、用途上、方法上各具特點又互相補充，研究它們之間的關系、實現它們之間的互化，有利于發揮它們彼此的長處，從而簡化問題解決的過程.本文擬從互化的視角，以具體問題為例，介紹常見曲線的參數方程與普通方程的互化及其運用.
一、 兩類方程互化的必然性及其策略
對于具體問題，有時我們要選擇將一種曲線方程化為另一種曲線方程，簡稱“互化”.例如當點在曲線上任意運動時，我們常選擇將普通方程化為參數方程來解決，這也是我們學習參數方程的主要目的，下文將重點闡述.而實際生活很多問題提煉的數學模型往往是參數方程的形式，例如物理學中的平拋運動，我們得到的是水平方向的位移、豎直方向的位移用時間表示的參數方程，如果要進一步研究其曲線時，我們就要將之化為普通方程.也有一些數學問題是由參數方程給出的，直接解決比較繁瑣，必須將之轉化為普通方程解決.例如：由參數方程x=cos θ+3,
y=sin θ(θ為參數）給出的曲線，很難發現其表示的曲線類型，但如果將參數方程轉化為熟悉的普通方程，則比較簡單.由參數方程可得：cos θ=x－3,
sin θ=y.因為sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲線是圓心（3，0），半徑為1的圓.
將“參數方程”化為“普通方程”的過程本質上是“消參”，常見方法有三種：1．代入消參法：利用解方程的技巧求出參數t，然后代入消去參數；2．三角消參法：利用三角恒等式消去參數；3．整體消參法：根據參數方程本身的結構特征，從整體上消去參數.特別強調的是：“消參”僅僅是對代數式進行了簡化，沒有涉及到所消參數的范圍，而兩類方程中的變量x,y的范圍必須相同，所以消參的同時一定要關注消參引起的“范圍”變化.
例1
將下列參數方程化為普通方程：
（1）
x=t+1,
y=1－2t(t為參數）；（2）x=sin θ+cos θ,
y=1+sin 2θ(θ為參數）.
思
考通過兩個例子，我們能體會到參數方程化為普通方程的注意點是哪些嗎？
解
析
（1）因為x=t+1≥1，所以化為普通方程是y=－2x+3(x≥1).
這是以（1,1）為端點的一條射線（包括端點）.
（2）因為x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.
化為普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.
評
注
上述例題我們很容易在轉化過程中忽略變量的范圍，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在參數方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價的.
例2
選擇適當的參數，將下列普通方程化為參數方程：
（1）xy=9；（2）y2=x.
思
考選取的參數不同，同樣的曲線方程寫出來的參數方程是否一樣呢？
解
析
（1）x=t,
y=9tt為參數;（2）x=t2,
y=tt為參數.
評
注
對于（1）的參數方程也可寫成x=9t,
y=tt為參數，因此同一曲線的參數方程的形式可以不同，但（2）如果寫成x=t,
y=tt為參數，則和原來的不等價，因為y≥0，只是y2=x的一部分.
因此，關于參數有幾點說明：
① 參數是聯系變數x,y的“橋梁”；
② 參數方程中參數可以是有物理意義、幾何意義，也可以沒有明顯意義；
③ 同一曲線選取參數不同，曲線參數方程形式也不一樣；
④ 在實際問題中要確定參數的取值范圍.
二、 參數方程的具體運用
1． 橢圓參數方程運用
若橢圓標準方程是x2a2+y2b2=1，其參數方程可設為：x=acos θ,
y=bsin θ(θ為參數），其中參數θ稱為離心角.當點在橢圓上運動時，設點的坐標為(acos θ,bsin θ)，可以用一個變量θ表示點的兩個坐標，體現了使用參數方程的優越性.
例3
已知A,B是橢圓x29+y24=1與坐標軸正半軸的兩個交點，在橢圓第一象限的部分求一點P，使四邊形OAPB的面積最大.
圖1
解
析
設點P(3cos α,2sin α)，SAOB面積一定，只需求SABP的最大值即可，即求點P到直線AB的距離最大值.
d=|6cos α+6sin α－6|22+32
=6132sin(π4+α)-1.
當α=π4時，d有最大值，此時面積最大，P坐標為(322,2).
評
注
如果不設參數方程，則必須設P點坐標，再利用點到直線的距離公式，這樣處理比較困難.可以看出，關于點到直線距離的最值問題，借助橢圓參數方程，將橢圓上任意一點的坐標用三角函數表示，利用三角知識加以解決，比用普通方程解決要方便一些.
2. 圓參數方程的運用
若圓的方程是x－a2+y－b2=r2，則其參數方程通常設為：x=a+rcos θ,
y=b+rsin θ(θ為參數），利用參數方程處理動點軌跡問題往往比較簡單.
例4
如圖2，已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點，點A是x軸上的定點，坐標為（12,0），當點P在圓上運動時，線段PA中點M的軌跡是什么？
圖2
解
析
設M(x,y)，圓x2+y2=16的參數方程為x=4cos θ,
y=4sin θ.
所以可設P(4cos θ,4sin θ)，由中點公式得M點軌跡方程為x=6+2cos θ,
y=2sin θ,再轉化為普通方程得到：點M軌跡是以（6,0）為圓心，2為半徑的圓.
評
注
也可利用普通方程解答：設M(x,y)，則P(2x－12,2y)，因為點P在圓x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即點M的軌跡方程為x－62+y2=4.
所以M的軌跡是以（6,0）為圓心，2為半徑的圓.求軌跡方程時，參數方程也能展現出它的優越性，只需把動點的坐標分別用第三個量來表示即可.當然，如果想知道具體是怎樣的曲線，還需化為普通方程來觀察.
例5
已知點px,y是圓x2+y2－6x－4y+12=0上的點，求x+y的最值.
解
析
對于此題，我們可以通過兩種方法的解答加以對比，從而體會參數方程的運用.
圓x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.
方法一：圓參數方程為x=3+cos θ,
y=2+sin θ,由于P點在圓上，可設P3+cos θ,2+cos θ.
x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值為5+2，最小值為5－2.
方法二：令x+y=z，因為圓x－32+y－22=1與直線x+y－z=0相切時，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.
故x+y最大值為5+2，最小值為5－2.
評
注
相比較而言，有關圓的問題，既可用參數方程，也可用普通方程解決，但對于橢圓，用參數方程解決要比較簡單一點.
3. 直線參數方程的應用
如果直線經過點M0x0,y0，傾斜角為α的直線l的參數方程為 x=x0+tcos α,
y=y0+tsin α（t為參數），直線的參數方程中，它的形式、變量、常量要分清楚.
例如：x=3+tsin 20°,
y=tcos 20°（t為參數）傾斜角為70°.
又如：直線x+y－1=0的一個參數方程為x=1－22t,
y=22t（t為參數）.
直線的普通方程可以有若干個參數方程.
例6
已知直線l：x+y－1=0與拋物線y=x2交于A，B兩點，求線段AB的長和點M－1,2到A，B的兩點的距離之和.
思
考在學習直線的參數方程之前，我們會如何解決上述問題？
解
析
因直線l過點M－1,2,l的傾斜角為3π4，
所以它的參數方程為
x=－1+tcos3π4,
y=2+tsin3π4（t為參數），即x=－1－22t,
y=2+22t（t為參數） ①=1\*GB3.
把①=1\*GB3代入拋物線方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.
由參數t的幾何意義可得：AB=t1－t2=10， MA?MB=t1t2=2.
評
注
在學習直線的參數方程之前，我們會用如下方法解答：
由x+y－1=0,
y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,
一、橢圓參數方程
如圖1，以原點為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANox，垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M，求當半徑OA繞點O旋轉時點M的軌跡參數方程。
解：設∠xOA=φ,M(x,y), 則A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知:{x=acosφy=bsinφ （φ是參數），即為點M的軌跡參數方程.消去參數得:x2a2+y2b2=1，即為點M的軌跡普通方程.(如圖2)注意：1.在橢圓的參數方程中，常數a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長且a>b>0,φ稱為離心角,規定參數φ取值范圍為［0,2π)2.焦點在x軸上，參數方程為{x=acosφy=bsinφ（φ是參數）焦點在y軸上，參數方程為{x=bcosφy=asinφ（φ是參數）
二、橢圓參數方程的應用
1. 利用參數方程求最值例1.過點A(0,－2)作橢圓x24+y22=1的弦AM，則|AM|的最大值為
A. 2
B. 3
C. 22
D. 23分析:此題比較簡單，只要注意A點在橢圓上，設出點M的參數方程即可解決。解：設M（2cosθ,2sinθ），則|AM|=(2cosθ)2+(2sinθ+2)2化簡得|AM|=－2(sinθ－1)2+8所以當sinθ=1時取最大值，且最大值為22。所以選C點評：橢圓的參數方程是求解最值問題的最有力工具，所以在解決此類問題時，首先應該想到參數方程求解。例2.設點P（x，y）在橢圓x24+y27=1上，試求點P到直線3x－2y－21=0的距離d的最小值。分析：此題可以設點P（x，y）,然后代入橢圓方程x24+y27=1，然后利用點到直線的距離公式把d表示出來。但仍然很難繼續解答。而考慮橢圓的參數方程卻可以順利解決此問題。解：點P（x，y）在橢圓x24+y27=1上，設點P（2cosθ,7sinθ）（θ是參數且θ∈［0,2π)） 則d=|6cosθ－27sinθ－21|32+22=|8sin(θ－φ)+21|13(其中tanφ=377)。當sin(θ－φ)=－1時，距離d有最小值13點評：在求解最值問題時，尤其是求與圓錐曲線有關的最值時，我們可以考慮利用參數方程降低難度例3.已知橢圓x2a2+y2b2=1有一內接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。分析：此題可以設矩形長為x,然后代入橢圓方程解出寬，但很難解答。而考慮橢圓的參數方程可以迎刃而解。解：設A(acosθ,bsinθ)，則|AD|=|2acosθ|,|AB|=|2bsinθ|所以S=|2a×2bsinθcosθ|=2ab|sin2θ|即矩形ABCD的最大面積為2ab點評：利用參數方程后，再利用三角函數性質可以簡化求解的過程和降低求解的難度。
二、參數方程在求與離心率有關問題上的應用
例4.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1、F2，若這個橢圓上存在點P，使得F1PF2P。求該橢圓的離心率e的取值范圍。分析：如果按常規設p(x,y), |F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2展開，與離心率沒有明顯的聯系，但用參數方程就非常容易。解：設P(acosα,bsinα)，因為F1(－c,0),F2(c,0)kPF1=bsinαacosα+c,kPF2=bsinαacosα－c,因為F1PF2P所以kPF1?kPF2=－1即bsinαacosα+c?bsinαacosα－c=－1,化簡得cos2α=c2－b2a2－b2因為0≤cos2α≤1，所以0≤c2－b2a2－b2≤1解得b2≤c2，所以e=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12即22≤eb>0）與x軸的正向相交于點A，O為坐標原點，若這個橢圓上存在點P，使得OPAP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。 分析：此題可仿照上題解法輕松解決，在此不在詳解。答案:(22,1)
三、參數方程在證明問題上的應用
2. 已知拋物線的參數方程為[x=2pt2，y=2pt，]其中[t]為參數，[p]>0，焦點為[F]，準線為[l]，過拋物線上一點[M]作準線[l]的垂線，垂足為[E]，若[EF=FM]，點[M]的橫坐標是3，則[p=] .
3. 在直角坐標系[xoy]中，已知曲線[c1：][x=t+1，y=1-2t]（[t]為參數）與曲線[c2：][x=asinθ，y=3cosθ]（[θ]為參數，[a]>[0]）有一個公共點在[x]軸上，則[a]= .
4. 直線[2ρcosθ=1]與[ρ=2cosθ]相交的弦長為 .
5. 在直角坐標系[xOy]中，以原點[O]為極點，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知射線[θ=π4]與曲線[x=t+1，y=（t-1）2]（[t]為參數）相交于[A，B]兩點，則線段[AB]的中點的直角坐標為 .
6. 方程[ρ=-2cosθ]和[ρ+4ρ=42sinθ]的曲線的位置關系為 .
7. 直線[l]的參數方程是[x=22t，y=22t+42，]其中[t]為參數，圓[C]的極坐標方程為[ρ=2cosθ+π4]，過直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值是 .
8. 曲線[C1]的極坐標方程為[ρcos2θ=sinθ]，曲線[C2]的參數方程為[x=3-t，y=1-t，]以極點為原點，極軸為[x]軸正半軸建立直角坐標系，則曲線[C1]上的點與曲線[C2]上的點最近的距離為 .
9. 在極坐標系中，曲線[ρ=cosθ+1]與[ρcosθ=1]的公共點到極點的距離 .
10. 在直角坐標系[xOy]中，橢圓[C]的參數方程為[x=acosθ，y=bsinθ.]（[θ]為參數，[a>0，b>0]），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點[O]為極點，以[x]軸的正半軸為極軸）中，直線[l]與圓[O]的極坐標方程分別為[ρsinθ+π4=22m]（[m]為非零常數）與[ρ=b]，若直線[l]經過橢圓[C]的焦點，且與圓[O]相切，則橢圓的離心率為 .
11. 設曲線[C]的極坐標方程為[x=t，y=t2]（[t]為參數），若以直角坐標系的原點為極點，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線[C]的極坐標方程為 .
12. 在直角坐標系[xOy]中，以原點為極點，[x]軸正半軸為極軸建立極坐標系，設點[A，B]分別在曲線[C1]：[x=3+cosθ，y=4+sinθ]（[θ]為參數）和曲線[C2]：[ρ=1]上，則[AB]的最小值為 .
13. 設曲線[C]的參數方程為[x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ]（[θ]為參數），直線[l]的方程為[8x+15y+16=0]，則曲線[C]上到直線的距離為2的點的個數為 .
