時間：2023-03-08 15:33:57
序論：在您撰寫大學生數學競賽時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
在近幾年工科數學課程教學中，將大學生數學競賽融入到數學教學的實踐中，取得了一定的效果，對于教師和學生來講，數學競賽都是很好的提升機會，從而提高了數學課程的整體教學水平。
大學生數學競賽是由中國數學會主辦的一項面向本科生的全國性高水平學科競賽，目前已成為全國影響最大、參加人數最多的學科競賽之一，參加該項賽事使得教師和學生都受益匪淺，整體提高了教學水平。在教學改革的實踐中，除了組織專門的教師團隊輔導學生參賽，還將數學競賽融入到平時的日常教學中，將競賽培訓與日常教學緊密結合。
通過大學生數學競賽的平臺，一方面鞏固了學生的數學基礎，激勵了學生學習數學的興趣，鍛煉了學生的數學思維，加強了學生的數學修養，培養和發現了大批的優秀數學創新人才。另一方面，競賽為教師提供了教學交流的良好平臺，促進各高校之間數學教學的溝通，提高了教師的業務能力和數學教學質量，促進了高等教育學校數學課程建設的改革。
一、數學競賽提高學生的數學素養
全面實施數學素質教育、培養學生數學創新能力是新時期高校教育的主要任務之一，其根本途徑之一是重視學生數學基本功的培養。全國大學生數學競賽是夯實數學基本功的有效途徑，以賽促學，在實戰中提升，不僅能夠提高學生的數學思維能力，培養學生的創新能力，而且鍛煉了意志品質。這對于學生后繼專業課程的學習也能起到良好的促進作用，同時大大增強了學生在進修和就業中的競爭實力。
1.以比賽促進學習，激發興趣和熱情。高等數學類課程一貫以其抽象性、枯燥性讓很多學生望而生畏，在教學改革的實踐中，教師一直在尋找激發學生學習興趣的突破口。高等數學競賽就是有效的教育手段之一，很好地培養和激發了學生學習數學的熱情。自2002年起，浙江省高等數學教育研究會開始在全省高校范圍內舉辦“浙江省大學生高等數學(微積分)競賽”，為配合國家級、省級高等數學競賽，學校也舉辦校級高等數學競賽，包括高等數學競賽的輔導和賽事舉辦。在這個過程中，學校安排教學經驗豐富的教師對學生進行競賽輔導。培訓中不斷夯實學生的基礎知識，開闊學生的視野。
教師選擇一些代表性的內容進行深入講解，在一定層面上在提升式的練習，其中部分競賽中的試題與考研試題非常類似，很多學生的學習積極性由此被調動起來。通過參加大學數學競賽，學生從原來的被動接受數學知識變成了積極主動地去探討，學習的目標變得很明確，學生學習更加有動力。另外，學校對獲獎學生的獎勵政策，也給予了數學教學很大的政策支持。學生在準備參加賽事的過程中，借競賽的平臺被鼓勵和激勵，提升了學習高等數學的興趣。
2.以實戰促進學習，提高應用數學能力。高等數學類課程除了要傳授給學生數學基礎知識，更重要的職責在于培養學生應用數學的能力，即分析問題和解決問題的能力。大學數學競賽對提高應用數學的能力起到了重要的促進作用。在準備競賽的過程中，教師和學生要重新梳理基本的定義及定理等相關內容，整理知識結構和各種題型相應的解題方法、技巧，進行系統的強化練習和訓練。
通過對教學內容的更新和拓展，教學模式的改變，對原有的教學方式，從共性問題到個性問題重新進行了板塊式設計，通過把數學實驗內容與習題課相結合，傳授科學發現的基本原理，突出數學建模和數學應用的思想，使學生的思維能力得到鍛煉，擴大了學生的思維空間，提高了學生對數學知識和方法靈活運用的能力，使學生的數學知識和數學能力上升到一個較高的層面。
參加競賽的同學，不論是否獲獎，在自身的數學學習上都有很大的收獲。如果獲獎，學生會有成功的體驗，為學生的數學學習增加了自信心，為之后的深入學習打下了良好的基礎。即使沒獲獎，整個培訓過程和學習過程也使得學生的數學能力和思維得到鍛煉，競賽是一次好的歷練和體驗，是一次鞭策與激勵，為他們下一次的成功打下了堅實的基礎。因此，競賽是檢驗學生學習效果的一次實戰性的機會，很好地鍛煉了學生的各方面能力。
二、數學競賽推動了高等數學的教學工作
數學競賽不僅為廣大學生提供了展示自我、鍛煉自我的平臺，同時也為教師們提供了溝通的平臺，有利于促進學校間的教學交流，提高整體的教學水平。各參賽學校在彼此交流中，相互借鑒成功經驗，互通有無。同時，交流也促進各學校在高等數學教學的投入力度，在學校政策支持、師資力量以及教學方法等方面都有不斷的提升。高等數學競賽通過有形和無形的方式，積極地開展高等數學教學方面的學術交流，促進了數學教學研究，發揮了一些獨特的作用。
1.多元教學手段，促進教學改革。在數學競賽培訓的過程中，學生經常會有疑問需要及時解答，這也促進了網絡教學平臺的快速發展。除了利用QQ、微信等實時通訊工具進行答疑之外，數學競賽促進了網絡教學手段的改革。建設數學課程教學的網絡平臺，提供教師之間、師生之間、學生之間的一個有效交流的平臺，實現學生間的很好的互助模式。同時，利用豐富的數學網絡資源等平臺，提高學生的自我學習能力和解決問題的能力，從而實現了學生數學素質全方面的整體提高。
2.培養人才，探索精英教育的有效途徑。數學競賽開闊學生視野，提高整體學習水平，同時也是在教學中探索精英教育的一個有效實踐。參加高數競賽的同學相對來講，要求數學基礎較好，具備一定的數學素養，因此如何培養數學優秀人才，數學競賽是一個實踐的契機。例如，在實踐中，建立數學實驗班，將數學基礎好的學生集中教學，其目的就是培養和發掘有潛力的優秀學生。探索新的數學類課程的教學模式，為培養創新型人才探索一條新的途徑。
3.鍛煉教師，促進教師隊伍的建設。將數學競賽輔導融入到日常教學以及競賽的培訓工作都需要教師認真設計教學內容，積極探索教學教改方法，這都激發了教師教學改革的熱情，直接提高了數學課程的教學水平和大學數學課教師的數學功底和教學能力，提升公共數學課程的學習效果和整體實力。
高等數學的教學工作，極大地激發了教師提高教學質量的熱情，促進了師資隊伍的建設，從而整體提高了數學的教學水平。同時，數學競賽是教學反饋的機會，通過競賽及時反思教學，從而促進教師自身提高，促進教學水平提高。比如，可以根據競賽反饋以及競賽交流，對數學課程的教學大綱、教學設計、課程體系等方面進行再思考，在教學理念、教學技能和方法等方面提升，從而不斷探索更加適合的培養模式、課程平臺體系等。
三、具體措施與探索
從第一屆大學生數學競賽開始，為了鼓勵更多青年學子參與到賽事中，我們從學校、教師、學生多個角度實施了具體措施，效果良好。
1.學校政策大力支持保障競賽良性開展。數學類課程是高校大學生理、工、管各專業的基礎課程，學校大力支持學生參與各類競賽，尤其是大學生數學競賽。學校在競賽所需的場地、費用、資源等方面都非常支持，對參賽獲獎學生也有政策支持。學校相關部門每年在比賽前期組織競賽培訓。整個流程從學生報名、初賽篩選、競賽培訓、到參加比賽，整個過程都有條不紊地進行。
另外，對于在國家級、省級大學生數學競賽中獲獎的同學都有不同級別的學分獎勵，這對于學生在以后的保研、考研、就業等方面都會有很大的幫助。學校相關政策的鼓勵和支持，極大地刺激了學生參與的積極性。
2.優秀的競賽教學團隊。為了更好地參加數學競賽，學校組建了一支優秀的教師培訓團隊。培訓教師年齡層次合理，教學經驗豐富，分工合作，利用周末等休息時間為學生進行講解、答疑等輔導工作。
教學團隊廣泛地查閱相關的參考書，密切關注和留意高等數學教學改革的動態，不斷地自我學習，提高教學能力以及自身的數學素養。教學團隊在培訓中將競賽與考研相結合，在培訓中不僅注重基礎知識，同時在學生可接受的范圍內不斷提高，研究教學方法，使得學生更易于接受和理解。另外，教學團隊將競賽與平時教學密切結合，在教學中滲透競賽的思想和方法，開闊學生的視野。
在高等數學競賽中取得了一定的成績，但在組織和培訓的過程中仍發現一些不成熟的地方有待改善。比如部分同學對競賽輔導的依賴性很強，過于看重競賽成績，反而不利于培養數學思維和數學精神。因此，在教學實踐中，一是幫助學生端正學習態度，不以考試和競賽為學習目的，樹立良好的價值觀。
引導學生參加數學競賽培訓的首要目的并不是為了獲獎，而是為了能夠提高學生的數學素養，更好地奠定學生的數學能力與數學思維。高等數學競賽是推動高等數學教學研究，促進教學經驗交流，推廣教學研究成果，探索提高教學改革，積累資源的共享平臺。對于培養學生數學思維，提高學生的應用數學解決問題的能力都有很大的幫助。對于教師提升自身教學素養、促進交流協作、提高整體教學質量都有積極的作用。
【關鍵詞】數學競賽；數學分析；高等代數；解析幾何
1.引 言
全國大學生數學競賽是一項面向本科生的全國性高水平學科競賽，以激勵大學生學習數學的興趣，發現和選拔數學創新型人才為目的.從2009年開始舉辦，每屆初賽定在當年10月底，復賽定于次年3月，參賽人數逐年上升，已成為全國大學生中最具影響力的賽事之一.
本文針對這幾屆的全國大學生數學競賽試題（數學類）做了一些歸納、分析，并通過例子對解題方法進行一些總結.
2.競賽題目分析
通過對2009年以來初賽及復賽的競賽題進行分析，我們看出競賽題主要包含數學分析、高等代數、解析幾何三門課程，其中數學分析的比重50%，高等代數的比重35%，解析幾何的比重15%，具體內容如下：
涉及數學分析的內容主要包含一元函數、多元函數及級數等，具體有：利用Taylor公式求變限積分的極限，將微分中值定理應用在確定函數或函數列零點等問題上，利用構造連續函數的方法來證明推廣的微積分學基本定理，導函數的介值性在不等式方面的應用，利用比較法則或被積函數的單調性討論反常積分的斂散性或反常積分的極限等問題，利用平均值不等式、Schwarz不等式、被積函數的單調性、變限積分等來證明積分不等式或反常積分不等式，用一元凸函數的連續性判斷二元函數的連續性，用Hesses矩陣求二元函數極值問題，將三元函數最值問題轉化為一元函數的極值問題，用Green公式、坐標變換、冪級數展開等計算二重積分，用迫斂性及平均值不等式求數列極限，構造條件收斂的數項級數使其收斂于任何指定的數，利用Cauchy收斂準則判斷函數列一致收斂，利用函數項級數的一致收斂性討論和函數的性質，利用冪級數展式求數項級數的和等內容.
涉及高等代數的內容主要包含矩陣、線性空間與線性變換、線性函數等，具體有：利用列相等證明矩陣的相等，利用正定矩陣性質來討論半正定矩陣同時對角化，利用Jordan標準型判斷矩陣方程是否有解，利用矩陣相似、合同的性質求解矩陣中未知量，利用不變子空間證明矩陣相似于由可逆矩陣和冪零矩陣構成的準對角矩陣，利用矩陣乘積AB與BA的非零特征值不變求解未知矩陣，利用多項式的性質證明矩陣相似不會因數域的變化而改變，利用不變子空間來研究線性變換的特征值及特征向量，通過選取一組基來確定空間維數及線性變換可對角化，利用矩陣的跡推導線性變換的跡及其性質，線性函數轉化成方程組利用子空間的直和證明等式，利用雙線性函數是跡的應用，利用線性函數的對偶基來證明所給定矩陣為數量矩陣.
涉及解析幾何的內容主要包含空間直線及曲面方程等，具體有：利用向量垂直之間的關系確定直線方程，確定圓柱的軸線，從而確定圓柱面的方程，一條直線繞另一點旋轉形成曲面的可能情形，給定曲面上的一些點判斷曲面的類型，利用過原點的求解截線為圓周的平面方程，利用直線的參數方程求解錐面方程，給定四個點利用球面的一般方程求解球面方程.
通過競賽題所涉及知識分析看出，競賽題目基本沒有超出這三門課程通常教材范圍，但是競賽分數卻不是太高，是何原因呢？我們認為可能，由于學生掌握的基本知識不夠扎實，缺少一些獨立思考，還有知識間的聯系與運用不太熟悉.因此，我們應該在平時的學習中首先要從基礎抓起，做到沒有不熟悉的知識點，理解并掌握每個定義、定理的證明及應用.其次建立知識框架，明晰知識之間的關系，以及知識在學科之間重合的部分，需要著重把握.最后我們應該通過做一些綜合性比較強的題目，來熟練使用知識點，培養獨立思考、分析問題的能力，還要學習一些解題技巧，從而提高數學思維，這樣可以更好地提高處理問題的能力.
【關鍵詞】大學生數學競賽；矩陣；矩陣方程；特征值
【中圖分類號】O151.2【文獻標識碼】C
【基金項目】河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目（2014GGJS-193）
一、引言
2015年第七屆全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題第三大題：
設A為n階實方陣，其n個特征值皆為偶數.試證明關于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.
證明如下.
設C=I+A，B=A2，A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，則B的n個特征值為λ21，λ22，…，λ2n；
C的n個特征值為μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多項式為pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.
若X為X+AX-XA2=0的解，則有CX=XB；進而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，結果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n個特征值皆為偶數，而C的n個特征值皆為奇數，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆為可逆矩陣，結果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.
受此啟發，考慮一般的問題：方陣A與B滿足什么條件時，關于X的矩陣方程AX=XB只有零解.
二、主要結論
定義1設A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，則稱λ是矩陣A的一個特征值，稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量.
定義2設A∈Pn×n，λ∈P.矩陣λE-A的行列式
|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n
λ-a21λ-a22…λ-a2n
λ-an1λ-an2…λ-ann
稱為矩陣A的特征多項式，記為fA（λ）.
注fA（λ）是一個關于λ的n次多項式，其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.
引理1[哈密頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理]設A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩陣A的特征多項式，則
fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.
注這表明矩陣A的特征多項式是矩陣A的零化多項式.
引理2設A∈Cn×n，B∈Cm×m，則fA（B）（fB（A））是m階（n階）可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.
證設A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，B的m個特征值為μ1，μ2，…，μm，則
fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），
fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），
于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.
注意到對任意1≤k≤n，有
|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），
故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.
因此，若fA（B）可逆，則
|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，
于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），從而矩陣A與B無公共特征值；反之亦真.
同理可證fB（A）是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.（證完）
定理1設A∈Cn×n，B∈Cm×m，A與B無公共特征值，則矩陣方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩陣.
首先，X=0是AX=XB的一個解.其次，設X=X0是AX=XB的任一解，tAX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，進而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多項式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k階主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.
由引理1知fA（A）=0，則X0fA（B）=0，又A與B無公共特征值，則由引理2知fA（B）是m階可逆矩陣，于是X0=0.因此，矩陣方程AX=XB只有零解.（證完）
三、應用
解決第七屆全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題第三大題.
數學競賽按專業性質分為數學專業與非數學專業兩類。數學專業預賽與決賽內容主要包括:《數學分析》,《高等代數》與《解析幾何》三門課程中的內容。非數學專業預賽內容則主要是:《工科高等數學》中的內容。但從第五屆開始，初賽內容不變，決賽內容將有所增加。
參加第四屆大學生數學競賽的預報名人數達到46708人，其中非數學專業35502人，數學專業11206人。目前已成為影響范圍較廣、參加人數較多的國家級學科競賽。筆者相信在未來的幾年中，預報名人數還會持續增長，這門學科競賽的影響力也會越來越大，在全國本科院校中得以普及。
本文所要闡述的是如何在普通高校本科生中建立一個長效機制來開展大學生數學競賽。包括如何穩固參加預賽的人數、制定合理有效的培訓內容、師資隊伍的建設以及經費來源等。
1普通高校開展數學競賽培訓的必要與可行性分析
在高科技產品日新月異的信息時代，筆者認為:數學是科學技術發展的必備技術工具，是各門學科發展的基礎和升華。因此數學教育在現化教育中所占據地位舉足輕重。數學競賽的舉辦和發展為數學教育增添了新的活力，提供了新的契機，發掘了新的人才。從微觀角度來說，為了提高學生的創新思維和發散性思維，在數學競賽前進行培訓顯得尤為重要。從宏觀角度來說，賽前培訓對推進教學改革和提高教學質量，有著多方而的積極意義。應與課堂教學相互配合，相互滲透，但又有著課堂教學所無法代替的重要作用。
首先，數學競賽培訓能夠鞏固學生在課內所學的知識、擴大學生的視野、拓寬解題思路、增強邏輯推理能力以及解題和運用數學知識解決實際問題的能力;其次，數學競賽培訓能夠幫助學生掌握正確的學習方法，促使大學數學教學更好地進行;再次，數學競賽培訓對提高學生學習興趣，促進思維能力發展，增強探索精神和創新才能皆有促進作用;最后，數學競賽在發現和發揮大學生的特長，選拔和培養具有數學天賦的學生等方而也有著積極的意義。 參加全國大學生數學競賽除了上述的必要條件之外，還需具備四個充分條件:如何穩固參加預賽的人數、制定合理有效的培訓內容、師資隊伍的建設以及經費來源等。首先，如何有效地組織大學生參加競賽，可謂是四個條件中最重要的一項，也是下一節筆者所研究的重點;另外，作為數學競賽的主要內容:《高等數學》是工科類學生必修的基礎理論課，《數學分析》, 《高等代數》,《解析幾何》等課程是數學專業的專業基礎課。這些是數學競賽得以順利開展的基礎。第三，調動部分高校專仟的數學教師組成競賽培訓團隊也是一項重要的環節，筆者將會在第三節做詳細的研究。最后是競賽活動經費，筆者認為可以從以下三個方而獲得:第一方而，每所高校都會有專項的創新活經費，可以從此項經費中申請一部分;第二方而，各賽區的主辦方會拔給每個學校一些經費;第三方而，適當地向參加培訓的學生收取(或變相地收取)一部分。這些經費主要用于:參加競賽的學生報名費、培訓教師的課時費和學生競賽時的考試相關費用等。
基于上述分析，在普通高校開展數學競賽培訓以及組織學生參加全國大學生數學競賽是完全可行的并具有實際意義的。
2普通高校學生現狀分析
為了吸引、鼓勵更多的學生參與數學競賽活動，必須先了解現在普通高校本科生的生源現狀及其學習狀態。不得不承認，全國高校自擴招以來，普通高校大學生的質量普遍下降。主要原因有兩個:一是大學的教育已由精英式轉為大眾式;二是隨著擴招的進行，大多數優質生源進入了985或211這樣的重點高校，這樣就導致普通高校中的優質生源比例相對減少。
限于優質生源比例小的問題，再加上數學理論繁雜與深奧，學習起來困難重重，多數學生在學習數學時會產生為難情緒從而心生畏懼。還有小部分的學生在進校時數學基礎就比較差，(或由此產生的)學習數學的積極性很低。還有一部分學生認為數學無實際用途，從主觀上學習數學的興趣消極。基于以上幾點原因加上一些來自普通高校教學條件的限制，很多大學生的實際數學水平較低，所引發的直接結果就是學習成績下降、考試分數偏低、補考人數增多，更有甚者一些學生因為數學不及格而無法畢業。
現階段普通高校多數強調實踐，所以在大學一、二年級基礎階段會大量調減理論課時，特別是有關數學的理論課程。這樣就導致了教師在上課時會對課程進行調整，例如內容增加、進度加快等等。數學課中部分核心內容由于難以理解，權衡之下只好放棄。因課時問題，數學習題課早已名存實亡。關于這一點在文中筆者會有詳盡的論述。一些普通高校強調少講精講，但數學本身就是一門高深抽象的學科，沒有理論基礎實踐就無從說起。一些內容略講或是不講，都有可能在學生在今后的實際應用中造成影響。但即使知道刪減理論會有諸多的弊病，許多普通高校還是在課程中減少了很多的數學內容。
多數普通高校的本科學生所學的數學內容少，而且掌握的不扎實不牢固。這一點與數學競賽產生了嚴重的予盾。那么哪些學生適合參加數學競賽呢?筆者認為有兩類學生比較合適一類是自主學習能力強，數學基礎扎實，對數學非常感興趣的學生;另一類就是考研的學生。這兩部分學生對數學的求知欲望非常強烈，因此成為是參加數學競賽的主力軍。
3穩固參賽學生群體策略
據調查顯示，有的普通高校因為這個問題而放棄參加全國大學生數學競賽。即便參加人數也少的可憐，以我校為例，我校于2011年第一次參加全國大學生數學競賽，當時僅有一個非數學專業的學生參加了競賽，其余29名數學專業的學生也是被志愿的。為了保障全國性的數學競賽活動在我校順利開展，我校實行了以利益驅動的辦法。使學生有兩方而的既得利益:選修學分和考研輔導。
為了穩固參賽學生的群體，我校主要從以下三方而開展了工作。
3. 1有效宣傳
根據經驗，通過學生(或輔導員)在學生中進行數學競賽宣傳以及在學生中發放宣傳小冊子的方法收效甚微。為了能夠在學生中得到有效的宣傳，我院在大一的第二學期末，由《高等數學》任課教師負責向自己的任課班級做大量宣傳，向學生講清楚參加數學競賽所能獲得的利益，通過自愿報名的方式鼓勵學生積極參與。
3. 2設立選修課
為能夠順利進行數學競賽輔導培訓，我們開設兩門40學時的選修課《高等數學選修》與《數學基礎研修》(這兩門課程的學分均為2學分，他們的本質是數學競賽輔導課程)。這樣我們就解決了培訓的時間與教室的安排問題(當然，我們可以給教務部門一些時間安排上的建議)。由于大學生在大學期間要修滿一定的選修學分，所以這兩門課程的開設對學生是有一定吸引力的。另外，培訓內容要盡可能讓學生理解。如果內容難度過大，就會造成多數學生在課堂的注意力不集中，甚至來上課僅僅是為了走形式。這樣就達不到吸引學生參加競賽的目的。總的來說，就是用選修課的學分來吸引學生參加數學競賽培訓，在學生能夠接受的基礎之上對其加以培訓，并弱化對選修課的考核。提高學生對學習數學信心，自主自愿報名參加數學競賽。
考慮到普通高校的教學內容(無論是專業的還是非專業的)無法滿足競賽的要求，而且還有一小部分競賽內容不在工科教學大綱的范圍內。我校選擇了開設《高等數學選修》、《基礎數學研修》兩門選修課《高等數學選修》是為參加數學競賽預賽的工科類學生準備的《基礎數學研修》是為專業類的本科學生而開設的。這兩門選修課的授課內容嚴格遵從《中國大學生數學競賽大綱》的要求。對提高學生數學素養是有百利而無一害的。
3. 3考研輔導
數學競賽的難度大大超過了考研數學的難度，為了吸引更多考研的學生，我們的輔導以考研數學的難度為基礎的。讓學生在參賽的同時得到專業教師的考研輔導，加大學生對競賽的興趣。競賽輔導的基礎目標是考研數學輔導，重要目標是數學競賽輔導。我們的輔導內容遵從競賽大綱、以歷年考研真題結合歷年的競賽真題的解題技巧制定講授內容。這樣既能得學分，又能得到考研數學的輔導，在幫助考研學生的同時也達到了穩定參加數學競賽人數的目的。
筆者認為上述條件能夠吸引很大一批學生選修《高等數學選修》與《基礎數學研修》?？焖贁U大數學競賽在學生中的影響。一方而學生會因為選修學分易得而在學生群體廣泛宣傳;另一方而學生會因為能滿足自己的求知欲望而踴躍報名，還有一些學生會因能得到免費的考研數學輔導而進行宣傳。在參加競賽培訓的人數得以保障的情況想，在參加培訓的學生中選擇一些較好的參加競賽，這樣就能夠提高獲獎率，也可以減少一些費用(比如報名費、考務費等)。
另外，我校的學生在數學競賽中獲得的獎項，在物質上是沒有任何獎勵的。不過，按獲得的獎項的等級不同會獎勵不同的創新學分，創新學分可作為選修學分。比如，在初賽中獲得國家一等獎，會得5個創新學分;二等獎，4個創新學分，依次類推。在決賽中獲得獎項，在我校還從未有過，但筆者相信通過我校師生的共同努力，在不遠的將來一定會實現這個夢想。
4建立一支德能兼備的培訓團隊
為了能夠更好地讓學生適應競賽試題題型，組建一支具有奉獻精神和敬業精神的培訓教師團隊是關鍵。組建這樣的隊伍需要兩個條件。首先，培訓教師雖然不計報酬但不能沒有報酬，否則會使培訓的教師缺乏教學興趣。由于我校的數學競賽培訓是以選修課的形式進行教學的，故大部分的報酬是由學校以課時費的形式來支付的。但是與培訓教師花費大量時間和精力進行試題和教法的研究相比，他們所得的課時費與付出是無法成正比的。其次，大學生的數學競賽培訓可以看作我們日常教學的有益補充。培訓教師必須有較好的數學素養，教學方法，在解題能力和表達能力有較高的水平。同時，還要求培訓教師廣泛地查閱課外參考書、新近的考研參考書和各省市及國家的數學競賽試卷等?？梢哉f培訓團隊業務水平及敬業精神的高低直接決定著數學競賽成績的好壞。
以我校為例數學專業的培訓團隊有五人，非數學專業的團隊有四人。他們每人分別負責一部分內容。大家的同感是:任何一門課程的全部培訓內容由一人完成幾乎是不可能的，競賽培訓備課所需的時間與精力不是正常課程備課所能比擬的。甚至，有時我們在一學時的時間里只能講解一道例題，不是我們的培訓教師沒有能力，而是我們在將知識教授給學生們的同時還要保證學生能順利消化，扎實的掌握解題技巧。
據筆者調查，各普通高校很少有專門的數學教師來輔導將要考研學生的數學知識。由于數學競賽的難易程度在考研數學的難度之上，故數學競賽的培訓教師完全勝任考研數學輔導。這樣一個專門的考研輔導團隊是學校領導和所有將要考研的學生非常期待的。所以將考研團隊與數學競賽培訓團隊融為一體，從各個角度上看都是可以實現的，也是具有現實意義的。
5 結語
【Key words】The chinese mathematics competitions； Training mode； Innovation
全國大學生數學競賽自2009年舉辦以來，已連續開展了六屆，全國26個?。▍^、市）的數百所大學組織了學生參賽。全國大學生數學競賽作為一項面向本科生的全國性高水平學科競賽，為大學生提供了一個展示數學基本功和數學思維的舞臺，激勵了大學生學習數學的興趣。因此，根據學校及學生的實際情況，探討合理、高效、系統的競賽培訓方式有利于提高大學數學課程的教學水平和推動高等學校數學課程的改革建設。全國大學生數學競賽（下文中簡稱數學競賽）分為數學專業組和非數學專業組，本文主要探討本科層次第二批次招生的理工科學校非數學專業的競賽培訓模式。
1 培訓方式的改進與交流平臺的建立
1.1 實現培訓方式式的多樣化
傳統的教學與培訓是指導教師課堂講授、學生被動接受為主的方式，在此培訓方式下，學生需在較短時間內接受、理解大量的信息，難度高，強度大，因此很難達到良好的培訓效果。要達到良好的培訓效果必須以本著以學生為主體[1]的原則實現培訓方式的多樣化。
除了指導教師講授，學生聽課的培訓模式外，可采用的培訓方式有：（1）學生分組討論，指導老師可先將同一類型的題目分發至各個小組，各小組組織時間做題，將做題結果交回給指導老師，指導老師進行匯總講解；（2）學生自己講解題目，將題目指派到學生名下，課堂培訓時由學生自己講解其解題思路，再由老師點評更正；（3）對基礎扎實，反應較快的同學增加額外的培訓時間，由指導老師引導，組織小班討論、講解；（4） 定期進行測試，請成績優秀的同學與其他師生一起分享解題心得。
1.2 建立良好、高效的交流平臺
良好、高效的交流有利于問題的解決，有利于促進學生之間、師生之間的相互學習[2]?？蓜摻〝祵W競賽的QQ群作為交流平臺，要求所有指導老師與參賽學生都加入該群，學生可按年級或專業自行組成討論小組。指導老師與學生都可將相關的資料上傳至QQ共享，供大家下載、學習。一方面，學生在課堂聽課之外有相應的習題供其練習與鞏固，對于課堂以及練習中遇到疑問，學生在自主思考之后也未能解決的情況下與老師進行溝通，及時地解決了疑問。另一方面，學生將待解決的題目發至對話區，所有學生及老師均可對題目發表自己的觀點，在討論的過程中去尋找解題思路，這讓所有參與討論的人都深刻體會到別人從什么角度去思考解決同樣的問題，讓所有學生與老師都受益匪淺。
2 培訓計劃的制定與競賽梯隊的形成
2.1 制定循序漸進的培訓計劃
單一的賽前集中培訓要求學生能在短時間內理解、消化大量的信息，可能導致一部分學生因跟不上進度而中途退出，因此制定循序漸進的培訓計劃能保障培訓夠順利進行。培訓可分為三個步驟：步驟一，入門培訓。這一步驟可在學年的第一學期進行，對高數進行系統復習與知識點補充，并從課本和考研題中選取難度適中的題目作為練習題。步驟二，強化訓練。這一步驟可在暑期時進行，內容為中等難度的競賽題。步驟三，模擬沖刺。這一步驟在學年的第二學期數學競賽預賽前進行，指導教師先將模擬試題上傳至QQ共享，由學生先自行測驗，之后再在培訓時講解。也可讓學生講解自己的思路和看法，形成良好的交流、探討氛圍。通過入門、強化與沖刺這三個階段，學生洞察題意和解決問題的能力會有較大的提高。
2.2 實現分層培訓，形成持續的競賽梯隊
參賽學生大致可分為三個層次：初次參加競賽的大二學生；已參加過1～2次競賽的學生；備戰考研的學生。各年的參賽結果表明獲獎的選手多為已參加過數學競賽的學生及備戰考研的學生，因此根據學生的情況實行分層培訓可使培訓更高效、更合理。對初次參加競賽的大二學可從教材中的難題為起點，逐步加大題目難度對其進行培訓；對已參加過1～2次競賽的學生可適當復習基礎知識，針對各知識點講授新的題目；對備戰考研的學生可不講解基礎知識，重點講解考研題目，在此基礎之上加入競賽題目。
如何吸引更多優秀的大學生參與到競賽中來并形成持續的競賽梯隊是競賽的主辦方和參賽學校都關注的問題?？赏ㄟ^下述途徑解決該問題：（1）做好數學競賽的宣傳工作：通過賽前動員、賽后總結表彰及獲獎選手報告參賽經驗等一系列活動擴大數學競賽的影響，讓學生充分了解競賽的宗旨、形式與作用。（2）將競賽培訓設置為選修課程，獲獎選手除獲獎勵之外還可獲得相應的興趣學分。（3）將輔助考研學生作為競賽培訓的機能之一，通過針對性強的培訓提高考研學生的考研成績，為數學競賽與競賽培訓建立良好形象。
3 培訓資料的收集與整理
以往幾屆的競賽試題無固定的規律和模式，題目靈活機動，綜合性強，難度較大。提高學生競賽成績的有效方法之一就是讓學生接觸各種類型、各個層次的題目，掌握一定的做題技巧，增強學生的應變能力，所以培訓資料的收集與整理尤為重要。全國各地區或高校的數學競賽試題、考研試題以及往屆數學競賽的試題均可作為培訓材料?？筛鶕}型、難度對這些試題進行分類、排序，使學生盡可能多地接觸各類題型，循序漸進地掌握好各類題型的解決方法。另外，也可從《數學分析》、《常微分方程》、《空間解析幾何》等數學專業的專業書中選取與高等數學聯系較密切的知識點，作為培訓資料的一部分在培訓時補充講解，以拓寬學生的知識面，提高學生的解題能力。
4 競賽培訓與高等數學教學的緊密結合
對于本科層次第二批次招生的理工科學校而言，高等數學與其大多數專業的后續課程聯系緊密[3]，因此這些學校均十分重視高等數學的教學。但是近年來，高校招生人數不斷擴大，大學生總體入學水準和綜合素質都不甚理想。因此授課教師在教授高等數學時更側重于講解基本的計算，而忽略了學生的思維能力和數學修養的培養，這限制了綜合素質較強的學生的發展。競賽培訓與高等數學教學的緊密結合，可彌補日常教學中的不足，挖掘學生的數學潛能，發現數學創新人才。
競賽的指導老師應承擔高等數學課程的教學工作，并要對于非數學專業學生的學習狀況和各章節應補充加強的知識點有較深入的了解?？稍谌粘＝虒W中選出需補充加深的知識點并尋找相應的練習題，經指導組成員討論、篩選后確定具體內容，在入門培訓階段補充講解。實踐表明好學的學生對補充的知識點非常感興趣，會在課后積極提問，也會主動完成相應的練習題。競賽培訓與高等數學教學的緊密結合鞏固了學生的基礎知識，激勵了學生學習數學的興趣，充分地體現和詮釋了數學競賽的宗旨。
1.1 賽事目標
全國大學生數學競賽，又稱為中國大學生數學競賽（后面簡稱競賽），是中國數學會面向本科生舉辦的一項全國性高水平學科競賽，旨在發現和選拔數學創新人才，促進高等學校數學課程的改革和建設，增加大學生學習數學的興趣，培養分析、解決問題的能力，為青年學子提供一個展示基礎知識和思維能力的舞臺。
1.2 競賽內容
賽事包括預賽和決賽兩部分，按專業性質又分為數學專業和非數學專業兩類。參賽對象均為大學本科二年級及以上的在校大學生。其中數學專業類考查數學分析、高等代數、解析幾何三門課程，而非數學專業類是面向工科類專業學生設置的，預賽考查的主要內容是高等數學，決賽從第五屆開始增加了線性代數部分。
1.3 賽事現狀
自2009年開始，每年一屆，一般安排在10月份的最后一??周六舉行。競賽由中國數學會普及工作委員會舉辦，不同高校承辦。截止2016年，該賽事已成功舉辦了8屆，來自全國幾百所本科院校的數十萬學生參加了該項競賽，成為影響力最大、參賽人數最多的高校學科競賽之一。
1.4 賽事作用
競賽試題一般都具有綜合性、技巧性、探究性、開放性等特點，通常需要采用非常規的解題方法，答案可能也并不唯一。因此，競賽更能激發學生的學習興趣和創新意識，嘗試進行多角度、全方位的思考，推動思維創新。學生在參賽的過程中，會系統的梳理所學的數學知識與解題技巧，加深對數學概念、定理的本質的理解和認識，邏輯思維、抽象思維、發散思維和創新思維都會有一定地提高，有利于學生良好數學素養的形成。
2 賽事組織
2.1 尋求政策支持
學校政策支持是競賽培訓工作長期開展的重要保障。我校非常重視包括學科競賽在內的第二課堂建設，將第二課堂活動納入人才培養方案，制定第二課堂活動學分管理辦法及指導教師獎勵辦法等措施。在學校第二課堂專項活動經費的支持下，各系積極組織師資力量，培訓學生參加各類學科專業競賽。包括大學生數學競賽、數學建模競賽在內的數學學科競賽培訓工作也得到了全面開展。
2.2 建設輔導團隊
輔導教師團隊是競賽培訓工作順利實施的前提條件。大學生數學競賽培訓不僅需要輔導教師具有高等數學相關課程的教學經驗，還需要投入大量的精力，查閱課外參考書、各省市及其他國家的數學競賽試題等，進行試題分析和教法研究。此外，由于競賽培訓必須在學生的課余時間進行，一般都安排在晚上、周末或者假期，需要輔導教師犧牲大量休息時間，具有奉獻精神。我校數理系于2010年成立了數學競賽輔導團隊，目前共有6位輔導教師。
2.3 建設交流平臺
由于非數學專業類的參賽學生都是來自不同的專業、不同的年級，因此在宣傳動員、聯系溝通、組織管理的難度上比數學專業類的學生要困難很多。為此，我們在系部網站首頁、我校大學數學創新平臺首頁都設置了競賽天地版塊，對大學數學競賽的參賽獲獎情況進行宣傳報道。此外，我們還專門建立了合肥學院數學競賽交流群，供有興趣或參賽意向的同學在線討論交流，教師負責引導答疑。截止目前，該群已有成員近400人，日常交流活躍。
2.4 選拔參賽學生
為了在各專業中選拔優秀學生參賽，我校每年6月份，在大一新生高等數學課程結束后舉行一次校級數學競賽暨全國大學生數學競賽選拔賽。除了海報等常規宣傳外，我們積極動員所有高等數學課程的授課教師，在授課班級內進行校賽的宣傳與動員工作，鼓勵學有余力的同學參賽。實踐證明，舉辦校賽能夠很好的激勵大學生學習高等數學的熱情。除校賽選拔外，我們還歡迎高等數學授課教師以個人推薦的方式推薦優秀的學生參加競賽培訓。
3 培訓實踐
3.1 時間安排
由于我校大二年級的學生暑期要全部離校開展認知實習活動，所以暑期沒有安排競賽培訓活動。校賽獲獎名單確定后，我們會向獲獎學生推薦部分競賽輔導書及歷年全國競賽真題，要求其暑期自主學習。9月初，根據學習情況正式確定參賽名單并開始競賽培訓。培訓時間一般是8周，每周3-4次課，一般安排在晚上和周末。據了解，很多學校數學競賽實行暑期集中培訓，可能更有利于提高競賽成績，但這涉及到暑期學生的住宿及安全管理問題，需要學校的政策支持。
3.2 培訓方式
集中上課培訓是常見的競賽輔導方式。由于參賽學生來自不同的年級，數學基礎差別較大，集中授課容易導致部分基礎較弱的學生很難消化、被動接受，得不到有效的思維訓練，學習積極性受阻；而一些基礎較好的學生又覺得“吃不飽”，學習效率難以提高。為此，我校采取如下方式分層培訓：
3.3 培訓內容
對于初次參賽的大二學生，培訓內容的難度應該由淺入深，分階段逐步推進。我校集中培訓環節安排如下：首先，對高等數學上下冊的知識點進行復習鞏固、融會貫通，讓學生對知識點之間的內在聯系有更深刻的認識；其次，講解近十年考研數學一中的部分較難試題，既強化數學基礎，也為有意向考研的同學提前復習準備；再次，詳細講解全國大學生數學競賽預賽與決賽的部分真題，歸納總結歷屆考點的范圍及難易程度；最后，精選各省市的一些其他競賽真題或模擬題，讓學生了解知識點的不同命題方式。
對于有參賽經歷或正在準備考研的高年級學生，集中上課培訓對競賽成績提升的效果并不明顯。不僅如此，集中上課需要占用學生較多的課余時間，一些準備考研的優秀學生可能會放棄參賽。由于已經具備了一定的數學基礎，對于這部分學生，建議成立討論小組，利用在線交流平臺開展討論、交流，讓同學們自主分析試題、試卷特點，圍繞考點和一些典型試題，探索一題多解和變形推廣，教師給予適當的指導，鼓勵學生理論創新。
要想取得理想的競賽成績，培訓課后適當的試題訓練是必不可少的。除了推薦復習參考書，讓學生自主學習外，我們還挑選部分試題，組成若干套競賽輔導試卷，供學生分階段練習，檢驗學習成效。賽前，我們還鼓勵學生將自己復習過程中遇到的比較新穎的試題上傳分享，引導大家在線交流發表自己的思路，既加深了學生對試題的理解，又培養了分析解決問題的能力。
3.4 培訓成果
通過競賽培訓，我校在非數學專業類競賽中取得了比較明顯的進步，成績逐年提高，近5年競賽獲獎人數如圖2所示。
2016年，我校共39人參賽，20人獲獎，獲獎比例超過50%。截止目前，我校非數學專業類共有77人次獲獎，其中一等獎18人，二等獎25人，三等獎34人，遍及化工、電子、機械、計算機等工科專業，獲獎比例在省屬高校中名列前茅。
4 存在問題
4.1 學生參與的積極性
受學業任務重、數學基礎較弱、學習興趣不足等多方面因素的影響，我校工科類專業學生起初參加校級數學競賽的積極性并不高。我們嘗試從多方面對學生的參賽積極性進行激勵，包括通過高等數學授課老師動員和鼓勵，提高獲獎人數的比例，增設《高等數學選講》選修課，認定第二課堂學分，提供考研內容輔導等方式。經過幾年的努力，學生的參賽積極性有了較大的改善，參賽人數及優質生源增多，這也是參賽成績逐年提高的一個重要影響因素。
4.2 學生的自主學習能力
眾所周知，最優秀的學生往往并不是老師‘教’出來的。要想在競賽中取得優異的成績，學生還必須具備一定的自主學習和探究的能力。在當前高校擴招的大形勢下，普通本科院校招到已具備良好自主學習能力的優秀生源的比例很低，需要在日常教學過程中不斷的引導和強化。近年來，我校大力推行模塊化教學改革，重點培養學生的實踐應用和自主學習能力，學生的自主學習意識明顯提升，自主學習能力逐步加強。
5 結語
關鍵詞：大學生數學競賽 競賽共同體 培訓模式
1.背景與問題描述
大學生數學競賽最早出現在美國和前蘇聯，1981年我國各省市開始陸續組織大學生數學競賽，有的中途中斷，有的一直持續到現在。影響較大的有北京市、天津市、陜西省大學生數學競賽，還有一些學校也舉行數學競賽，如南開大學、同濟大學等。2009年中國數學學會普及委員會在全國范圍內開始舉辦中國大學生數學競賽，設立數學類和非數學類兩組，分預賽和決賽兩次進行。自從2009年全國大學生數學競賽舉辦以來，關于競賽效用、競賽與教學及競賽培訓等方面的研究逐步展開。有些研究提出大學生數學競賽活動是創新人才培養的重要載體之一，對培養大學生的數學思維能力、優化人才培養過程、提高教學質量、促進高校教育教學改革具有獨特的和不可替代的作用[1]；有些研究指出大學生高等數學競賽可以推動高校數學教學改革，促進教師業務水平提高[2]；有研究著眼于加強競賽數學課程建設，提出以大學生數學競賽為契機，不斷增強數學教學實效性[3]；很多高校教師結合自身的競賽培訓工作探索與實踐積累，針對普通高校大學生學習現狀，設計了行之有效的培訓組織模式，提出了相應的競賽培訓模式[4]。
上述研究對大學生數學競賽發展和數學教學改革無疑有巨大的推動作用。本研究將在上述研究的基礎上，從特訓主體、客體及內容等方面討論以下問題：（1）如何建設一支致力于大學生數學競賽的教練團隊；（2）競賽共同體創建模式；（3）特訓共同體學習模式研究；（4）特訓內容與時間優化設計。
2.競賽共同體的創建與活動
學習一向是心理學研究的主要課題，不同學派對學習定義各不相同，實際上是從不同側面揭示學習本質。有人曾對學習提出這樣的定義：學習是由經驗引起的行為、能力和心理傾向比較持久的變化。這種經驗不僅包括外部環境刺激和個體練習，更重要的包括個體與環境之間復雜的交互作用。由此可見，學習是學習者與學習環境不斷相互作用的過程，這種相互作用包括三方面：（1）學習者和助學者之間；（2）學習者相互之間；（3）主體（學習者、助學者）與客體（學習內容）之間。由此不難看出學習活動是學習共同體性質的活動。在學校里創建各種學習共同體，不僅能提高學生在學科或專業方面的素養，更重要的是有利于推進高校學風建設。
2.1教練團隊的創建
競賽培訓不同于一般教學，前者要求輔導教師對基本概念和基本定理及其聯系有很透徹的領悟，要有敏銳的觀察能力，要善于啟發的學生思維，把握高等數學發展新動態。在組建教學團隊之初，所有教師都沒有輔導競賽數學的經驗，教練團隊并不能一蹴而就。首先，自愿前提下，挑選一批長期從事高等數學教學的教師，有一定教學成果和敬業精神者優先。人數最好能固定，有退出再補充。經過三五年的發展，這個團隊成員將基本穩定。
任何團隊要獲得成績必須有一定的規章制度作為保證，如成員的權利與義務等，各學校有自己的做法，在此不做詳細說明。主要介紹一下教練團隊的活動，這些活動保證了競賽教學質量。
2.1.1征訂高等數學研究方面的期刊并讓教師借閱；
2.1.2指定教材備課并編寫教案、講義或試卷；
2.1.3指定主題做教學報告并撰寫教學論文；
2.1.4討論課堂上傳授賽點的時機、方式方法與度的把握等具體事宜；
2.1.5加強競賽數學課程建設。
2.2引導學生加入共同體
創建大學生數學競賽學習共同體，就是通過各種媒介創建一個由學習者、輔導教師共同構成的團體，彼此之間經常在學習過程中溝通、交流，分享各種學習資源，共同完成一定的學習任務，因而成員之間形成相互影響、相互促進的人際聯系。實踐經驗表明，在引導學生加入共同體的過程中要重點把握六個原則：
2.2.1交流的互動性。學生與學生之間、教師與學生之間建立彼此信賴、和睦相處的融洽關系，每個人的感受是不僅從共同體中獲益，而且為共同體作出貢獻。
2.2.2參與的積極性。從“合法的邊緣性參與者”逐步成為“共同體的核心成員”。這種成員間角色變化促進了身份重構，使其不再感覺自己只是被動的接受者，而是以主人翁的姿態參與學習。
2.2.3目標的一致性。擁有共同目標是共同體創建的基礎，大學生數學競賽共同體的共同目標就是提高數學分析與解題能力，在競賽中取得好成績。
2.2.4學習的開放性。這里每個成員都是知識的探索者、開發者，都要積極提出自己的觀點，無論是對還是錯，共同參與知識建構，加深對知識深層次理解。
2.2.5過程的漸進性。學習共同體的形成一定是一個漸進的過程，一般有三個時期――初級階段、磨合階段、成熟階段，這個過程中成員從不了解到彼此認同，再到相互協作。
2.2.6訓練的持久性。一個較高目標的實現必須把初期參與積極性轉變成訓練過程的持久性。國外已有研究表明，數學競賽中那些最終成功的學生在很大概率上是訓練最持久的學生。
經過幾年理論和實踐探索，共同體的創建過程及活動基本固定，大致進程包括：通過講座或者課堂進行宣傳全校范圍內開設《競賽數學》選修課舉辦校級數學競賽（選拔賽）短期集訓指導學生創建小組各小組展開研究型學習各小組報告及成果共享。
