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關鍵詞： 高中數學教學 習題 數學思維能力
新教材的高中數學課后習題是經過專家學者潛心研究，精心設計的，具有典型的范例作用，滲透了新課標的思想，起著培養學生的數學思維能力的作用，極具探究價值。我通過人教必修五第二章數列課后習題的教學談談認識。
一、培養學生的歸納猜想能力
偉大的物理學家、數學家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現?！辈孪胧且环N創造性的思維活動，它可“導出”新穎獨特的思維成果。在已知領域中有所創新，在未知的領域中有所發現或突破。在必修五第二章數列的課后習題教學中，應把“歸納”與“猜想”兩種思想方法相結合，從而提高學生“歸納猜想”的能力。
例1（必修五31頁習題）根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式。
例2（必修五教材第33頁習題A組5題）根據下面的圖形及相應的點數，在空格和括號中分別填上適當的圖形和點數，并寫出點數構成的數列的一個通項公式。
例3（必修五34頁B 組）下圖中的三個正方形塊中，著色正方形的個數依次構成一個數列的前3項，請寫出這個數列的前5項和數列的一個通項公式。（圖形略）
后兩道題不僅培養了學生的歸納猜想能力，還通過圖形與數列的結合探究，實現了數學的美育功能。
二、培養學生的類比推理能力
波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數學還是在高等數學，甚至在其他任何領域中，本來可以發現的東西，也可能無從發現?！币虼?，作為基礎教育之一的中學數學，在教學中必須重視培養學生的類比推理的能力。人教版必修五第二章，在等差數列、等比數列的教學設計上，明顯體現出類比的思想，課后的習題設計也體現出這一思想。所以在習題課中，教師要領會新課程思想，培養學生的類比推理能力。
例如必修五第39頁練習第4題，第5題。學生探究，老師引導得出相應的結論。所以在人教A必修五第53頁等比數列習題中就可以讓學生進行類比推理方法學習。等差數列與等比數列的類比學習，不僅可以促進學生對知識的掌握，還可以培養學生的類比推理能力。
三、培養學生應用數學解決實際問題的能力
《數學課程標準》明確指出：“使學生感受數學與現實生活的密切聯系，使學生初步學會運用所學的數學知識和方法解決一些簡單的實際問題?！边@一要求揭示了數學與實際生活之間的關系，即數學源于生活、寓于生活、用于生活。因此，在人教版A必修五數列的課后習題中，有大量的實際應用問題，如：購房問題等，使學生通過了解數學知識在實際中的廣泛運用，培養學生用數學眼光看問題，用數學頭腦想問題，增強學生用數學知識解決實際問題的意識。在教學中我嘗試將數學和生活進行有效融合和連接，將抽象的數學本質生活化，從而大大激發了學生的學習興趣，培養了學生將純數學問題轉化成解決具體實際問題的能力。
例如（人教必修五62頁）
購房問題 ：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購房專用款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元，如果每年的存款數額相同，依年利息2%并按復利計算，問每年應該存入多少錢？
引導學生思考如何把實際問題化為數學模型，從而培養學生應用數學解決實際問題的能力。
四、培養學生探究總結的能力
高中數學遞推數列通項公式的求解是高考的熱點之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進行嚴格的邏輯推理。找到數列的通項公式，重點是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉換思想，通過適當變形，轉化成等差數列或等比數列，達到化陌生為熟悉的目的。通過人教A必修五第二章習題的教學，培養學生探究總結的能力。
例如：必修五（人教版）第69頁5題
引申：形如a=pa+q（p、q為常數，而且p≠0，p≠1），求通項a。
思路1：可用不完全歸納法猜想
思路2：迭代法 （過程略）
思路3：構造法 （過程略）
歸納總結：若數列{a}滿足a=pa+q（p≠1，q為常數），則令a+λ=p（a+λ）來構造等比數列，并利用對應項相等求λ的值，求通項公式。
例如：必修5教材69頁。本題是兩次構造等比數列，最終用加減消元的方法確定數列的通項公式。又如：必修五45頁練習2，引申：已知數列{a}的前項和為S，求這個數列的通項公式a，這些習題的引申拓展，能培養學生的探究總結能力。
五、培養學生的社會實踐能力
荷蘭著名數學家弗萊登塔爾認為：數學教育是一個活動過程，在整個活動過程中，學生應該處于一個積極、創造的狀態 。學生首先要參與這個活動，感覺到創造的需要，他才有可能進行再創造。而教師的任務就是為學生的發展、創造提供自由廣闊的天地，引導學生探索獲得知識、技能的能力。
例如：人教A必修五62頁第4題：收集本地區有關教育儲蓄的信息問題，設計本題的目的是培養學生的社會實踐能力，處理此題的時候，我提前布置課外作業，使學生有充足的時間進行社會調查，等下一周數學課的時候，采用合作交流的形式完成此題。此課結束后，學生異常興奮，在實踐中體驗了學習數學的興趣。不僅培養了學生的實踐能力，還培養了學生的合作學習的精神。
必修五第二章中的一些習題還能培養學生利用“數形結合”“算法”等思想分析問題、解決問題的能力，所以在習題課的教學中我們應該有意識地挖掘，拓展習題的功效，達到通過練習培養學生的數學思維能力目的。
參考文獻：
［1］高中數學必修4（人教A版）教材習題.
［2］波利亞.數學與猜想――數學中的歸納與類比［M］.北京：科學出版社，2001，（7）.
關鍵詞： 高中數學課程 變革方向 解三角形
在學校眾多教育課程當中，數學教育有著重要位置，使學生思維更加清晰，表達思考更有條理，同時使學生掌握有關數學的基本思想、知識和技能，鍛煉學生面對問題鍥而不舍的求知精神及對問題實事求是的認真態度。教會學生運用數學知識認識世界和改造世界。我國高中數學新課程做出了重大嘗試和改變，并且取得了一定的成果，是對數學課程主流改革方向的反映。
一、數學課程改革前后的異同點
解三角形是第一冊下冊里面的第二個板塊，在平面向量之后包括正弦定理、余弦定理及解斜三角形的應用實例。在解三角形的應用部分的實習作業方面，補充一部分材料閱讀，關于人們早期采用何種方式測量地球半徑。這些內容都涵蓋在解斜三角形的范圍內，在教材139頁到151頁，共有十三頁內容[1]。這些內容之前有關于向量的小結復習題，被安排在了高一下學期數學教材的最后一章。
現行新教材中有關解三角形的內容放在人民教育出版社出版的數學教材必修5的第一章《解三角形》內，其中第一章的內容包括正弦、余弦定理的探究和發現，是對有關解三角形內容的進一步討論；應用舉例，包含閱讀思考內容；有課后復習題、實習作業和小結。內容從第1頁到24頁，總共24頁，對三角形的編寫篇幅增多，按出版社的意圖從必修一學習到必修五，那么解三角形的內容在所有必修課本的最后一冊，意味著學生要到高二才會學習這部分內容。但在實施過程中，大部分老師會按照自己的進度而不是課本必修1到必修5的順序教學[2]，從教師角度看，雖然新課程中有關解三角形的順序有所改變，但教師還是按照以前的教學方式教學。
二、高中數學新課程變革方向
1.教材貼近生活，使數學生活化。
新課改之后的數學教材更能激發學生的學習樂趣，使學生由被動學習為主動學習，教材內容貼近生活，使學生在不厭煩數學學習的前提下更容易進入學習狀態，激發探索研究意識，讓學生知道學習這部分的原因，以及這部分對現實生活有什么作用，遇到實際問題該如何解決，使數學教學生活化，將生活數學化。
新教材中關于解斜三角形的知識點引用了中國古代的神話故事嫦娥奔月、十七世紀法國天文學家測出的月球與地球之間的距離，通過地月之間的距離該如何測量、輪船的航向和航速、海上島嶼的距離等引申出需要研究的內容。這些內容貼近生活，展現數學對生活的重要作用。
2.學生是課堂主人公，學習能力得到提高。
傳統教學方式以教師課堂講述為主，教師掌握課堂整體節奏，采用灌輸式教學方式，這種方式并沒有多大成效，而且會引發學生對數學課程的厭煩心理。新教材中更多地采用教師引導的方式，引導學生對問題進行探究，學生把握課堂整體節奏，成為課堂的主人公，更容易調動學生學習主動性。
舊教材中關于三角形的正弦定理在例題安排方面都是正弦定理的應用，沒有涉及解三角形。因此，例1和例2中都試對三角形中的一個元素求解，例3涉及三角形的分類討論。新教材在例題設置方面只安排了兩個，內容涉及解三角形，例2涉及分類討論，同時在第8頁設置了關于解三角形的學習探究。這種探究方式為主并且引導學生思考是否可以運用其他方式對正弦定理進行證明，將重點放在學生對數學的學習上，而不是老師的教授。
3.適當設定問題，培養學生總結思考能力。
新課程改革之后更注重對學生思考總結能力的培養，通過增設問題引導學生思考其他方法對問題進行證明，逐漸培養學生的思考能力。同時對于同一問題的不同方法，教材要求學生對其進行利弊分析，并對三角形的問題進行分類總結。
在余弦定理方面，新老教材均設置了兩個例題，而且難度相當，不同的是新教材使學生做題時有了選擇性，在第7頁的解三角形的問題中，可以對兩種方法的利弊進行思考，同時讓學生對三角形的問題類型進行總結，增強學生總結思考能力。
在距離測量和方向測量方面，新教材在例1、例2中都設置成距離測量，例1給出實際數據，例2進行靈活考察，是對學生思考能力的極大考驗。新教材在距離問題方面設置了兩個例題，在以老教材為基礎的前提下，老教材例1和新教材練習2一樣。在高度方面設置了3個例題，更具層次性，利于一步步發展學生思考能力。
4.將內容與幾何知識掛鉤，培養學生幾何思維能力。
新課改之后的課本內容應用性更廣，設計的層次感更強，更注重對學生思考能力的培養，而不僅僅是教會學生算題。通過設定一些較難的、水平較高的問題，加之增添一些其他相關的擴展內容，使學生的知識面得到擴展[3]，能力得到真正提高。
關于對三角形面積公式的推理證明，老教材要求學生自己進行推導，新教材則直接給出公式，并將這一公式多次進行應用，同時在三角形的證明過程中，涉及中線長度及海倫公式等幾何問題，例9設置了通過正余弦定理對三角形進行恒等證明，習題B組中12到14題均為三角形證明題，并多處運用面積公式。將這兩者進行科學銜接有利于培養學生對數學的鉆研精神及幾何思維能力。
高中數學在新課程改革過程中將會更加注重學生學習能力的提高，引導學生摸索出適合自己的數學學習方法，通過教師的科學引導提高學生學習能力。
參考文獻：
[1]王保艷.新課程理念下高中數學學習方式的研究[D].華中師范大學，2012.
一、數學課程改革對比
在解三角形的應用舉例部分的實習作業方面補充一部分材料閱讀，關于人們早期采用何種方式測量地球半徑。這些內容都涵蓋在解斜三角形的范圍內，在教材139頁到151頁共有十三頁內容。這些內容之前有關于向量的小結復習題，被安排在高一下學期數學教材內容的最后一章。
現行新教材中有關解三角形的內容放在人民教育出版社出版的數學教材必修5的第一章《解三角形》內，其中第一章的內容包括正弦、余弦定理的探究和發現，是對有關解三角形內容的進一步討論；應用舉例，包含閱讀思考內容；有課后的復習題、實習作業和小結。內容從第1頁到24頁總共24頁的內容，對三角形的編寫篇幅增大，按出版社的意圖從必修一學習到必修五，那么解三角形內容在所有必修課本的最后一冊，意味著學生要到高二才會學習這部分內容。但在實施過程中，大部分老師會按照自己的進度而不是課本必修1到必修5的順序教學，從教師角度看，雖然新課程中有關解三角形的順序有所改變，教師還是按照以前的教學方式進行教學。
二、基于解三角形的高中數學新課程變革策略
（一）教材貼近生活，使數學生活化。
新課改之后的數學教材更能激發學生的學習樂趣，使學生將數學學習化被動為主動，教材內容貼近生活，使學生在不對數學學習感到厭煩的前提下更容易進入學習狀態，激發學生的探索研究意識，讓學生知道學習這部分內容的原因，以及在現實生活中有什么作用，遇到實際問題該如何解決，使數學教學生活化，將生活數學化。
新教材中解斜三角形的知識點引用了中國古代神話故事嫦娥奔月、十七世紀法國天文學家測出的月球與地球之間的距離，通過對地月之間的距離該如何測量、輪船的航向和航速、海上島嶼的距離等引申出需要研究的內容。這些內容貼近生活，展現數學對生活的重要作用。
（二）學生是課堂主人公，學習能力得到提高。
傳統教學方式是以教師課堂講述為主，教師掌控課堂整體節奏，采用灌輸式教育，這種方式并沒有多大成效，而且會引發學生對數學課程的厭煩心理。新教材中更多的是采用教師引導的方式，引導學生對問題進行探究，學生把握課堂整體節奏，成為課堂的主人公，更容易激發學生學習主動性。
老教材在例題安排方面都是關于正弦定理的應用，并不涉及解三角形。因此，例1和例2中都試對三角形中的一個元素求解，例3涉及三角形的分類討論。新教材中在例題設置方面只安排了兩個，內容都涉及解三角形，例2也涉及分類討論，同時在第8頁設置了關于解三角形的學習探究。這種探究方式引導學生思考是否可以運用其他方式對正弦定理進行證明，將重點放在學生對數學的學習上，而不是老師的教授上。
（三）適當設定問題，培養學生總結思考能力。
新課程改革之后更注重對學生思考總結能力的培養，通過增設問題引導學生思考其他方法對問題進行證明，逐漸培養學生的思考能力。同時同一問題有不同方法，教材要求學生對其進行利弊分析，并將三角形的問題進行分類總結。
在余弦定理方面，新老教材均設置了兩道例題，而且難度相當，不同的是新教材使學生做題時有了選擇性，在第7頁的解三角形的問題中，可以對兩種方法的利弊進行思考，讓學生對三角形的問題類型進行總結，提高學生的總結思考能力。
在距離測量和方向測量方面，新教材在例1、例2中設置成距離測量，例1給出實際數據，例2進行靈活考查，是對學生思考能力的極大考驗。新教材在距離問題方面設置了兩道例題，在以老教材為基礎的前提下，老教材例1和新教材練習2一樣，在高度方面設置了3個例題，更具層次性，利于一步步培養學生思考能力。
（四）將內容與幾何知識掛鉤，培養學生的幾何思維能力。
新課改之后的課本內容應用性更廣，設計層次感更強，更注重對學生思考能力的培養，而不僅僅是教會學生算題。通過設定一些較難的、水平較高的問題，加之增添其他相關擴展內容，使學生的知識面得到擴大，能力得到真正提高。
關于三角形面積公式的推理證明，老教材要求學生自己推導，新教材則直接給出公式，并將這一公式進行多次應用，同時三角形證明過程中涉及中線長度及海倫公式等幾何問題，例9設置通過正余弦定理對三角形進行恒等證明，習題B組中第12到14題均為三角形證明題，并多處運用面積公式。將這兩者進行科學銜接有利于培養學生對數學的鉆研精神及幾何思維能力。
高中數學在新課程改革過程中將更注重學生學習能力的提高，引導學生摸索出適合的數學學習方法，通過教師的科學引導提高學生學習能力。
參考文獻：
[1]李小蛟.從教材對比看高中數學新課程改革――以《解三角形》章節為例[J].中學數學雜志：高中版，2013（3）：10-11.
【關鍵詞】 定位；知識呈現；嚴格性水平；綜合程度；銜接
函數是高中數學知識框架中最重要的支柱，三角函數是函數知識的重要組成部分.大家知道，大學微積分是以函數研究為對象的.因此，三角函數知識的強化或弱化對大學微積分學習影響較大.究竟高中教材對三角函數應做怎樣的取舍，才能不對后續學習產生負面的影響呢？我們不妨研究一下香港教材.香港數學教育一向受英美影響較深，很有成績.
本文研究選取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中數學與生活》[1]系列教材，其中與三角函數有關的兩本教材是《新高中數學與生活（必修部分）4B》（下文簡稱《必修4B》）與《新高中數學與生活（延伸部分）單元二――代數與微積分1》（下文簡稱《微積分1》）.《新高中數學》教材系列在香港影響較大.希望通過我們的研究，能讓教材與教參編寫者有所借鑒，對一線教師有所裨益.
1 三角函數在高中教材中的定位
香港目前使用的各種版本的高中數學教材，都是依據2007年制訂的《數學課程及評估指引（中四至中六）》編寫的.教材內容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函數最基礎的知識及簡單應用.《必修4B》的序言指出：“為所有學生提供必要的數學基礎，配合他們日后在不同領域進修的需要.”延伸部分備有兩個選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分1》是單元二的第1本教材，屬選修教材，包涵的三角函數知識是《必修4B》所選三角函數內容的加深與拓展，絕大部分知識與大學數學銜接有關聯.《微積分1》的序言指出：“集中在更深層次的數學上，為希望學習高等數學的學生奠下鞏固的代數與微積分基礎”；“冀能對學生日后升學或從事與數學有關聯的專業，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分1》是供相當于大陸的理科學生選修的.
香港教材將“三角函數”最基礎的一部分內容定位為必修內容，將難度稍大且與大學數學銜接的內容定位為選修內容，對以后不同方向發展的學生作了不同的要求.反觀大陸2007年編寫的“人教A版”高中數學教材，將三角函數定位為必修內容，學生高中階段所學的所有三角函數知識全編寫在《必修4》[2]中.
2 三角函數知識在教材中的具體呈現
《必修4B》中的三角函數內容有132頁（每頁接近4A紙大小），大約18課時；《微積分1》中的三角函數內容有90頁，大約14課時.兩本書共有三角函數內容222頁，大約共需32課時.
《必修4B》中三角函數知識呈現在第10章“續三角”與第11章“三角學的應用：二維空間”.第10章的具體編排是：基礎知識重溫；101旋轉角：處于標準位置上的角，四個象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定義，三角比的正負值；103三角函數的圖像：y=sinθ的圖像，y=cosθ的圖像，y=tanθ的圖像，三角函數的周期性；104三角方程的圖解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代數方法解三角方程；數學探究：直角三角形的正切值；IT活動：三角比的正負值，利用單位圓繪畫y=sinθ的圖像；點滴分享知多些：交流電與三角學在港燈電力供應中的應用；答案.第11章的具體編排是：基礎知識重溫；111 三角形面積：三角形面積，海倫公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角學上的二維空間應用題：回顧，二維空間的應用題；數學探究：圓內接四邊形的面積；答案.
《微積分1》中三角函數知識呈現在第4章“續三角函數（一）”與第5章“續三角函數（二）”中.第4章的具體編排是：41弧度制：度與弧度制的轉換，透視弧度法求弧長及扇形的面積；42三角函數：三角函數定義，三角關系，三角函數的圖像；43解簡易三角方程；答案.第5章的具體編排是：51 復角公式：正弦的復角公式，余弦的復角公式，正切的復角公式；52 二倍角公式；53 積化和差公式與和差化積公式；答案.
《必修4B》介紹了海倫公式：ABC的面積=s（s-a）（s-b）（s-c），教材還不避繁瑣用代數方法嚴格地證明了海倫公式.《微積分1》第4章介紹了y=cscθ與y=secx兩個函數.這樣，誘導公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.這些都是人教A版《必修4》中沒有的知識. 《微積分1》第5章介紹了積化和差公式與和差化積公式，并給予了簡單的證明.因為有了這些公式，《微積分1》中出現了：在XYZ中，證明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2這類例題，也出現了：化簡
sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9這類習題.人教A版《必修4》給出了例題： 證明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.這是積化和差與和差化積兩個公式，其他6個公式的證明放在習題中，但教材沒有配套與這8個公式相應的練習題.
三角方程內容在《必修4B》和《微積分1》中都出現過，由于沒有編排反三角函數的知識，三角方程都是比較簡單的，若不是特殊函數值就需查三角函數值表來解決.《微積分1》在《必修4B》的基礎上，介紹了y=cotx、y=cscθ、y=secx的圖像、周期性以及定義域與值域，但沒介紹這些函數的單調性.人教A版《必修4》介紹了正弦、余弦、正切三個函數的單調性，并介紹了三角函數更一般形式的單調性的求法.恒等式證明在《必修4B》與《微e分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式證明大多利用誘導公式完成，難度較小；因《微積分1》介紹過積化和差與和差化積公式，所以《微積分1》中給出的恒等式證明題，若從難度上講，大多比人教A版《必修4》中的恒等式證明題難度要大.
3 知識的呈現模式與嚴格性水平
3.1 章首與章尾的內容與結構
《必修4B》與《微積分1》呈現的三角內容共有4章.每章章首都標明了學習重點，并給出與本章內容密切相關的一個生活中的實際例子，起提綱摯領及導入新知識的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結的作用.以《微積分1》的第5章“續三角函數（二）”為例，章首標明的學習重點有3點；生活中的實際例子是“聲波之總和”：在大自然中，聲波之傳播可以用正弦函數表示.當幾個聲波交疊r，只要把代表各聲音的波加起恚便可得出合波.對于兩個相同振幅的聲波W1和W2，其合波可寫成函數y=sinu+sinv.這樣就很自然地連接上和差化e公式.章末有重要詞匯與重要概念.重要詞匯有4條，均是中英文對照；重要概念包含19個重要公式.知識結構完整，內容前后呼應.
人教A版《必修4》每章章首有類似于導言的文字，章末有小結.“導言”簡明扼要，也起到了提綱摯領的作用.章末有小結，包含本章知識結構及回顧與思考兩個方面.知識結構一般用框圖形式呈現出來；回顧與思考有3點，回顧了本章的重要知識點，還提出了幾個相關的問題，這對進一步鞏固學生所學知識起到了較好的作用.
3.2 重要概念的引入與公式的推導
《必修4B》與《微積分1》在重要概念的引入上，一般是在舊知識的基礎上拓展到新知識，從特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定義，《必修4B》先從銳角θ說起，利用直角三角形寫出銳角θ的三角比，再定義一般角θ的三角比：將任意角θ放在坐標平面上，設P（x，y）是角θ終邊上的任一點（異于角的頂點），定義sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.這種引入重要概念的方法符合學生的認知規律.人教A版《必修4》的做法是，設角θ的終邊與單位圓的交點為P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定義表述很簡潔.比較而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在細節的處理上要到位一些.教材中比較清晰地討論了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用數形結合的方法使基礎一般的學生能很好地理解與記憶.
在重要公式的推導上，《必修4B》與《微積分1》的做法與人教A版《必修4》有些不同.例如推導復角公式，《微積分1》先推導sin（A+B）的結論：設在OPQ中，過頂點O作ORPQ，R是垂足，并設∠POR=A，∠ROQ=B.利用POQ面積=POR面積+ROQ面積，證明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此處提示了該公式對任意角也成立.因為角A與角B不是任意角，這樣的推導過程不夠嚴謹.人教A版《必修4》第三章是先推導cos（α-β）的結論的，證明過程中設α、β是任意角，利用單位圓和向量的方法完成了證明.這樣證明難度稍大，但證明過程非常嚴謹.
3.3 定理、法則與公式的嚴格性水平
嚴格性一般劃分為四個水平層次：水平1：直接給出理論，沒有任何解釋或證明；水平2：通過例子解釋理論；水平3：較為嚴格地解釋理論的正確性，但不進行證明；水平4：嚴格地證明理論.
《必修4B》與《微積分1》兩本教材中，正弦的兩角和公式實際是由特例解釋的，算不上嚴格的證明，達到嚴格性水平2；誘導公式、海倫公式、正弦定理、余弦定理、弧長公式、扇形面積公式、同角三角函數關系式、正弦兩角差公式、余弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、二倍角公式、積化和差公式、和差化積公式，均是通過嚴格證明得到的，達到了嚴格性水平4.
人教A版《必修4》中，與-α和π-α相關的誘導公式、正弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、正弦與余弦的二倍角公式都是直接給出的，沒有嚴格證明，達到嚴格性水平1；與π2+α相關的誘導公式只給出了嚴格的解釋，并沒有證明，達到了嚴格性水平3；與π+α和π2-α相關的誘導公式、余弦的兩角和與兩角差公式均通過了嚴格的證明，達到了嚴格性水平4.
可見香港教材的嚴格性水平整體比較高.人教A版《必修4》的不少公式是直接給出，可能編者認為這些公式的證明并不難，學生可以舉一反三自己完成.
4 例習題的設置及綜合性程度
4.1 例習題的設置比較
《必修4B》與《微積分1》的例習題編寫很有特色，層次分明，坡度合理.課內有例題，大多深入淺出，展示不同的數學技巧.緊跟例題后面有即時練習，是些與例題一一對應的題目，以鞏固學生的知識，有時后面還配有綜合性稍強的跟進練習或課內練習.課后一般配有不少的練習題，按程度分為初階和進階，并備有開放式題目.每章末配有總復習題，按程度分為初階、進階、多項選擇題及公開試題目，并為能力較強的學生提供香港數學競賽題目.總復習外還配有少量的數學探究題與IT活動題.設置數學探究題的目的是透過富有趣味性的題目，培養學生數學解難題技巧，激發學生探索與研究的興趣；設置IT活動題的目的是讓學生熟悉新技術的運用，幫助學生對數學問題的深度理解.
以《必修4B》的第10章“續三角”為例統計：例題19個，即時練習題19個，跟進練習題15個，課堂練習題5個.課外練習中，初階練習題53個，其中有4個開放式練習題；進階練習題48個.本章總復習題中，初階練習題19個，其中有1個開放式練習題；進階練習題26個，多項選擇題14個，公開試題目5個，香港競賽題4個，數學探究問題2個，IT活動題目6個.
對應地對人教A版《必修4》第1章“三角函數”進行統計：例題25個，課內習題58個，課外練習A組題61個，B組題15個，探究題7個，IT活動題目1個.由此可見，人教A版《必修4》課內練習還是做的很扎實.課外練習共76個題，比《必修4B》的第10章“續三角”課外練習159個少了83個.
4.2 例習題的綜合性程度
例習題的綜合性分為四種類型：類型1：與三角領域內其他知識的綜合；類型2：與數學其他領域內知識的綜合；類型3：與其他學科知識的綜合；類型4：與具有實際生活背景的問題綜合.
仍以《必修4B》的第10章“續三角”為例，根據上述綜合性的分類標準來統計：例題中屬類型1有14個，類型2有2個，類型3有2個，類型4有1個；習題中屬類型1有159個，類型2有30個，類型3有14個，類型4有12個.由此可見，《必修4B》的第10章“續三角”中的例習題，主要體現了三角知識在三角領域內的運用，突出對三角知識的理解與掌握，同時也兼顧到數學學科內各分支知識的聯系，以及三角知識在其他學科上的綜合應用.
人教A版《必修4》第1章“三角函數”中，例題中屬于類型1的18個，類型2的3個，類型3的2個，類型4的4個；習題中屬類型1的61個，類型2的3個，類型3的2個，類型4的6個.可見，人教A版《必修4》主要關注學生對三角基礎知識的理解和掌握，也注重三角知識在實際生活中的應用.
5 啟示
5.1 香港教材內容豐富詳實、系統性較強
相對于英國和美國的三角函數教材，香港教材少了反三角函數內容.但相對于人教A版《必修4》，香港教材多了簡單的三角方程、海倫公式、余切函數、正割函數、余割函數等.人教A版《必修4》雖然也出現過積化和差與和差化積8個公式，但因這8個公式只出現在例題和習題中，教材并沒有把它們當公式用，也沒有編排相應的鞏固練習題，加之高考又不考，所以，這8個公式學生學了等于沒學，在學生的知識鏈上沒有留下多少記憶的痕跡.這樣看，其實香港教材還多了積化和差與和差化積公式.我們常將三角學劃分為“三角函數與方程”、“三角恒等變換”和“三角學的應用”.相對于這種劃分，香港三角函數教材內容是完整的、豐富詳實的，系統性較強.人教A版《必修4》相對于香港教材和2003年前的大陸舊教材，刪減內容過多.沒有了簡單的三角方程，學生連已知三角函數值求角都不會做，因而連一些簡單的三角函數應用問題也處理不了；不學積化和差與和差化積公式，若有稍微綜合一點的三角恒等變形或證明問題，W生是沒辦法處理的.我們新的課程標準和新教材編寫，要借鑒香港教材對三角函數內容的取舍方法.
5.2 關注三角函數知識與大學數學的銜接
我們都知道，無論是大學文科數學或理工科數學，在學習微積分內容時，都會學習求函數的定義域、值域、極限、微分、積分等知識，都會用到6個三角函數和4個反三角函數的知識及恒等變換技巧.從2003年開始，雖然高校出版的大學微積分教材多少會參照高中的課程標準，但是很少能找到銜接好高中知識的大學教材，因此大多數微積分教材得不到大一與大二學生的認可.由于高校的錄取數量逐年增加，參加高考的學生75%以上都能被不同層次的各類大學錄取，因此，不少二本或三本大學新生的數學基礎并不算好，也不具備自學高中三角函數知識的能力；加之大學沒有安排時間補習那些被弱化和被刪減的知識，這樣，相當一部分學生學學微積分很吃力，甚至不及格.參考英美各國教材和香港的教材，我們要樹立長遠的課程和教材理念，不要過度弱化或刪減高中三角函數核心內容，為使學生學好大學微積分，高中應為他們打好相應的基礎.
5.3 進一步凸顯習題設置的層次性
習題既是知識的應用，又是知識和能力的再生.從上文研究可以看出，香港教材在習題設置上很有創意，內容豐富、層次感強.這種細化分層具有一定的彈性，照顧到了不同基礎學生的意愿，讓他們有很大余地去選擇課內與課外的練習題；同時，這種細化分層使習題具有很好的坡度，知識點要求從單一到綜合，技巧要求從易到難，容易使學生達到鞏固和提高的目的.而且書中還附有答案，學生在練習過程中可以得到及時反饋，便于學生自學.我們的教材中習題分層簡單，習題量小，因此學生的選擇余地就小.不少老師為了彌補這一缺陷，就組織學生去找書商購買課外參考資料.經常因這些參考資料的質量參差不齊，影響了學生的課外學習.我們的教材編寫者應該向香港的同行學習，學習他們對習題設置的理念與方法，能使我們的教材進一步凸顯習題的層次性，發揮習題應有的功能和價值.
參考文獻
（1）通過具體數列，觀察發現等差數列的特征.
（2）歸納等差數列的通項公式.
（3）通過實例，探索并掌握等差數列的通項公式，并嘗試用相關知識解決相應問題.
教學重點與難點：
理解等差數列的概念，認識數列是反映自然規律的基本數字模型，探索并掌握數列的幾種簡單表示法.
教學方法：學案導學，啟發式教學
教學工具：投影儀
一、 課堂實錄
1.等差數列概念形成
師：你能否給上面的數列下一個定義呢？
生：我認為這些數列每一項和前一項的差值都相同，所以我將其稱為等差數列.
師：我們給這個數列下一個確切的定義：如果一個數列，從第二項起，每一項與前一項的差等于同一個常數，
這樣的數列就是等差數列.
（點評：教師在規范數列定義時，要強調“從第二項起”使學生感受數學定義的嚴謹性.）
師：我們怎樣用數學符號語言表示等差數列的定義呢？
生：用{an }表示"數列"，n≥2表示"從第二項起"，an-an-1=d表示"每一項和前一項的差為同一個常數 ".
師：這種表示方式很好！但是我們觀察一下這個表達式，腳標必須從n=2開始取起，但是很多數學問題都是研究當 n=1時的情況，那我們該怎樣表示？
生：an+1-an=d
師：數學表達式
這個常數d叫做公差.
（點評：怎樣從文字語言轉化為數學的符號語言表示是一項重要的數學思維能力，不可忽略這一步，在活動安排 上突出學生的主體地位。）
2.等差數列定義運用
師：判斷an=3n-7是否為等差數列.
生：列舉當n=1，2，3...的情況，觀察得到這個數列從第二項每一項和前一項的差等于常數3，所以這個數列是等差數列.
師：其他同學有沒有其他方法？
生：我是根據定義計算
所以這個數列是等差數列，公差d=3。
師：很好！還有沒有其他方法？
生：還可以根據來進行判斷.
（點評：第一種方法是例舉法，學生們很容易想到，教師應給予肯定.第二種方法是等差數列定義的應用，教師應該引導學生重視利用定義解決問題的方法.）
3.等差數列通項公式的應用
師：嘗試解決下列問題：
例1、解決剛才那個問題，求等差數列的第2012項。
并判斷501是不是這個數列中的項，若是，是第幾項？
生：求出等差數列的通項公式，a1=-10，d=2所以an=2n-12
假設501是數列中的項，則滿足501=2n-12，解得，這與不符合
故501不是該數列的項。
例2、在等差數列{an }中，已知a5=10，a12=31，求首項a1 及公差d。
生：由已知可得，解得：。
（點評：例2還可以有其他解法，但是在等差數列第一節課，盡量采用一般方法求解，當然關于其他解法可以留給學有余力的同學發揮.）
4.反思小結，布置作業
師：大家和上課本，本節課你都學到了什么？
生：知道什么是等差數列，等差數列通項公式，怎樣用通項公式解決問題
師：其他同學還有補充嗎？
生：等差數列定義的表達形式，等差數列通項公式的推到方法：疊加法，對于一類問題我們可以先進行猜想，但是一定要經過論證才能應用。
（點評：對于第一類學生的總結，相信學生們是不難完成的，但是老師應引導學生完成第二類學生的總結，后者更能體現學生們的數學思維過程，應重視.）
師：很好！看來大家都從這節課中有所收獲！今天的作業是學案上的練習題，還有等差數列通項的推導過程，你是否能夠順利復述？
生：沒問題！
師：好，這節課我們就上到這里，下課！
二、 教學反思
這節課是數學必修5A版教材的學習內容，教學課時是兩課時，本節課是第一課時的內容.
等差數列作為一類特殊數列，是必修五的重要內容.所以在這節課的設計上應重點突出對于這種特殊數列的認識，讓學生們發現這類特殊是數列數值之間的關系.開篇引入的數列非常容易觀察，要讓學生通過自己的觀察總結這類數列的特征.
【關鍵詞】高中數學；學習方法；初高中銜接
一、高中數學的特點
（一）知識內容方面
高中數學知識內容豐富、廣泛。既是初中的數學知識的推廣和延伸，也是對初中數學知識的完善。如我們在初中學習三角函數的定義是在直角三角形中的，對邊比鄰邊，對邊比斜邊，這就意味著我們定義的三角函數是銳角的三角函數，但實際生活中，我們遇到的角經常會超出這個范圍，包括我們要研究的三角函數。初中學的角的概念只是在0～180范圍內的，這顯然是不夠的，為此高中將把角的概念推廣到任意角，角的概念加以推廣后，三角函數的定義也隨之重新定義了，用角的坐標來定義。再如，我們在以前學的實數范圍之內，如x2=-1，顯然是無解的。但是隨之實際生產、生活的需要，數的發展要高于同學們現在認識的范疇，為了解決這樣方程根的問題而引入了虛數單位i，i2=-1，引入i之后，將實數集擴展到復數集，這都是我們在高中階段所要學習的內容。當然，還有很多其他的知識，以上只是簡單的舉了幾個例子，讓大家認識到高中知識與我們以往學的小學、初中知識有了哪些的變化。
（二）學習方法方面
在之前所積累的學習數學的經驗都是有用的，不過進入高中之后要更新，改進自己的學習方法，適應高中新的數學知識。
第一、教師的引導與講授，它是非常重要的環節。雖然老師講的大部分知識書本上都有，但是我們同學通常不選擇在家自學，都去學校學習，為什么呢？一個是學校有一個大的學習環境，另外一個很重要一點是學校里有優秀的老師，老師不但能講清楚課本上所涉及的知識，還能補充課本上所沒有的知識點。一方面，老師的職業就是專門研究怎樣能讓學生學好、學會的方法，老師的經驗是很豐富的，你可以站在前人的肩膀上繼續去登高，這就是老師的作用。另一方面，老師是經過職業訓練的，他們知道我們高中數學教學應該帶給學生們什么東西，比如數學思想方法、數學能力的培養，這些我們要通過教師的講授，老師在給你傳授知識的過程當中從老師身上得到，所以教師的傳授、引導仍然是非常重要的。
第二、模仿與創新。模仿，同學們是很有經驗的，初中數學的學習過程當中，比如，一元一次不等式的解法，在講解時先舉例說明，然后變換不等式中各種數、不等式的方向反復練習，回家的作業全都是解一元一次不等式的，這就是模仿。在高中數學的學習，這樣的模仿也非常重要，我們在學習數學概念、解題方法時，首先要先學習模仿規范的解法，遇到這樣問題的解題思路是什么，這就是模仿。但是僅僅有模仿是不夠的，在初中階段對此應用有一定的認識，只會模仿，對于一些創新題型是解決不了的，得不了高分的。到了高中，這就更加明顯了。除了模仿之外，還要有自己的東西，當你把知識內化成自己的知識寶庫中的一部分以后，以一個嶄新的方式釋放出來，要有創新精神。
第三、自主學習。在以往的學習過程中強調的不夠，進入高中，將來再進入大學，這點的要求越來越強。在高中，學生要能自主學習，具體建議是以下四個環節。
1.預習。在上課之前要預習，預習的好處在于有的放矢，看過要講的課程之后，你就能知道哪些是你的薄弱點，哪些是你很輕松就能掌握的，對你要學的知識有一個大致的認識以后，帶著問題去聽課，收獲會更大的。
2.聽課。這是一個非常關鍵的環節。最好的聽課方式是頭腦的參與，就是要積極主動地思考，要勤動腦、勤動手、勤動筆。數學一般不是空想而來的，要動手去運算。
3.復習與作業。復習這個環節很多同學是做不到的。一般都是回家就開始寫作業，但是在完成作業之前加一個復習是很重要的。先對今天課上所學知識進行簡單的回顧，當我們做作業時不再翻書、查書，而是獨立自主地去做作業，那樣效果會更好。
4.總結。這個總結不是每天進行的，可以是一章或一小節之后，周末做一周的小結也可以，可以根據知識框架去進行。如果能自行地對其進行梳理、類比、總結，那么這些知識在你的頭腦中是一個框架，掌握的會更牢固。
二、高中數學框架
數學1：集合、函數的概念；基本初等函數Ⅰ
數學2：立體幾何初步；解析幾何初步
數學3：算法初步、統計、概率
數學4：基本初等函數Ⅱ；平面向量、三角恒等變換
數學5：解三角形、數列、不等式；必修一；必修二；必修三；必修四；必修五；選修一；選修二；選修三；選修四
無論是文科還是理科，必修都學，必修共五本教材，文科選修一，理科選修二，文理都選修四中的一部分內容。
三、初高中銜接的知識
（一）因式分解。因式分解是中學數學中最重要的恒等變換之一，具有一定的靈活性和技巧性。這里主要是在初中教材已經介紹過基本方法的基礎上，重點補充十字相乘。
1.因式分解的概念
2.因式分解的方法
（1）提公因式法，即把各項的公因式提出來；
（2）運用公式法，即逆用乘法公式。
（3）分組分解法，即將多項式的項適當的分組，提出各組的公因式或應用公式分解，下一步能再進行分解，這種方法才可行。
（二）十字相乘，在分解時，把二次項，常數項分別分解成兩個數的積，并使它們交叉相乘的積的和等于一次項。
（三）一元二次方程，一元二次函數，一元二次不等式。
1.一元二次方程的根與系數關系
2.求根公式、判別式
3.二次函數的圖象
關鍵詞：等差數列； 前 項和公式； 思想
許多國內外有名的數學教育家都指出：“無論從歷史的發生還是系統的角度看， 數的序列都是數學的基石. 可以說，沒有數的序列就沒有數學”. 所以， 數列在數學中有著極其重要的地位， 我們更需要進一步的了解數學. 高中的新課標也指出， “研究數列問題的文化背景， 可以增強學生對數學學科與人類社會發展之間的相互作用的認識， 讓學生體會到數學的科學價值、應用價值、文化價值開闊學生的視野， 從而提高學生的文化素養， 同時也能夠激發學生的創新意識”.
如何使用這兩個公式解決問題呢？下面我們通過舉例來探析.
一、具有函數方程思想的公式一
在高中數學新課程標準指出， 數學教材內容的編寫是按照“螺旋上升”式原則編制的， 因此， 人教版新課標數學必修5 第二章《數列》的安排并不是突然的. 由于在數列的概念和表示方法中提到“按照一定順序排列的一組數稱為數列”， 我們可知在小學和初中的時候學生都已經接觸過類似題目， 但在此之前學生沒有系統的學習這一類的知識， 所以對它感覺比較陌生. 高中數學的必修5第二章中數列以單獨的形式體現出來可以看到它的重要性， 還在選修的4-3中再次出現， 更加說明他在中學教材的地位 .
（一）方程思想
在數學思想方法方面， 數列這部分內容中涉及到了函數與方程、等價轉化、分類討論、遞推、歸納類比、整體代入、猜想、數學建模等重要的數學思想方法. 故我們可運用方程思想， 將題目條件用前 項和公式表為關于首項 和公差 的二元方程組來解決問題.
總結：
在新課標的教材中，雖然只是簡單的介紹了數列的基本概念和通項以及前 項和，但在數學題目中它常結合實際問題，還與函數、不等式、解析幾何、導數等的靈活結合，使它在高考中的地位在不斷的上升. 因此， 求數列的通項公式與求和將成為高考對數列知識主要的考點.
對于新課標下的數列教學，我們不僅要滿足最基本的課本知識傳輸，更要讓學生對這些知識產生興趣，而不是機械般的接受教師強制給予，更要變成學生主動去獲數列的知識， 并且培養學生獨立思考的能力和研究精神，這樣有助于學生更好的學習 .
參考文獻
[1]中學課程教材研究開發中心. 普通高中課程標準實驗教科書數學必修5[M]. 北京： 人民教育出版， 2015.
[2]任志鴻. 十年高考分類解析與應試策略[M]. 北京： 知識出版社， 2016.
