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導數及其應用
第八講
導數的綜合應用
2019年
1.（2019全國Ⅲ文20）已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）當0
2.（2019北京文20）已知函數．
（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）當時，求證：；
（Ⅲ）設，記在區間上的最大值為M（a），當M（a）最小時，求a的值．
3.（2019江蘇19）設函數、為f（x）的導函數．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
4.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f
′（x）為f（x）的導數．
（1）證明：f
′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
5.（2019全國Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f
′（x）為f（x）的導數．
（1）證明：f
′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
6.（2019全國Ⅱ文21）已知函數.證明：
（1）存在唯一的極值點；
（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.
7.（2019天津文20）設函數，其中.
（Ⅰ）若，討論的單調性；
（Ⅱ）若，
（i）證明恰有兩個零點
（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.
8.（2019浙江22）已知實數，設函數
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）對任意均有
求的取值范圍.
注：e=2.71828…為自然對數的底數.
2010-2018年
一、選擇題
1．（2017新課標Ⅰ）已知函數，則
A．在單調遞增
B．在單調遞減
C．的圖像關于直線對稱
D．的圖像關于點對稱
2．（2017浙江）函數的導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是
A．
B．
C．
D．
3．（2016年全國I卷）若函數在單調遞增，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
4．（2016年四川）已知為函數的極小值點，則
A．4
B．2
C．4
D．2
5．（2014新課標2）若函數在區間（1，+）單調遞增，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
6．（2014新課標2）設函數．若存在的極值點滿足
，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
7．（2014遼寧）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
8．（2014湖南）若，則
A．
B．
C．
D．
9．（2014江西）在同一直角坐標系中，函數與
的圖像不可能的是
10．（2013新課標2）已知函數，下列結論中錯誤的是
A．
B．函數的圖像是中心對稱圖形
C．若是的極小值點，則在區間單調遞減
D．若是的極值點，則
11．（2013四川）設函數（，為自然對數的底數）．若存在使成立，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2013福建）設函數的定義域為R，是的極大值點，以下結論一定正確的是
A．
B．是的極小值點
C．是的極小值點
D．是的極小值點
13．（2012遼寧）函數的單調遞減區間為
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．
[1,+)
D．(0,+)
14．（2012陜西）設函數，則
A．為的極大值點
B．為的極小值點
C．為的極大值點
D．為的極小值點
15．（2011福建）若，，且函數在處有極值，則的最大值等于
A．2
B．3
C．6
D．9
16．（2011浙江）設函數，若為函數的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是
A
B
C
D
17．（2011湖南）設直線
與函數，
的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為
A．1
B．
C．
D．
二、填空題
18．（2016年天津）已知函數為的導函數，則的值為____.
19．（2015四川）已知函數，(其中)．對于不相等的實數，設＝，＝．現有如下命題：
①對于任意不相等的實數，都有；
②對于任意的及任意不相等的實數，都有；
③對于任意的，存在不相等的實數，使得；
④對于任意的，存在不相等的實數，使得．
其中真命題有___________(寫出所有真命題的序號)．
20．（2011廣東）函數在=______處取得極小值．
三、解答題
21．（2018全國卷Ⅰ）已知函數．
(1)設是的極值點．求，并求的單調區間；
(2)證明：當時，．
22．（2018浙江）已知函數．
(1)若在，()處導數相等，證明：；
(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．
23．（2018全國卷Ⅱ）已知函數．
(1)若，求的單調區間；
(2)證明：只有一個零點．
24．（2018北京）設函數．
(1)若曲線在點處的切線斜率為0，求；
(2)若在處取得極小值，求的取值范圍．
25．（2018全國卷Ⅲ）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：當時，．
26．（2018江蘇）記分別為函數的導函數．若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“點”．
(1)證明：函數與不存在“點”；
(2)若函數與存在“點”，求實數a的值；
(3)已知函數，．對任意，判斷是否存在，使函數與在區間內存在“點”，并說明理由．
27．（2018天津）設函數，其中，且是公差為的等差數列．
(1)若
求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求的極值；
(3)若曲線與直線有三個互異的公共點，求d的取值范圍．
28．（2017新課標Ⅰ）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若，求的取值范圍．
29．（2017新課標Ⅱ）設函數．
(1)討論的單調性；
(2)當時，，求的取值范圍．
30．（2017新課標Ⅲ）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)當時，證明．
31．（2017天津）設，．已知函數，
．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）已知函數和的圖象在公共點處有相同的切線，
（i）求證：在處的導數等于0；
（ii）若關于x的不等式在區間上恒成立，求的取值范圍．
32．（2017浙江）已知函數．
（Ⅰ）求的導函數；
（Ⅱ）求在區間上的取值范圍．
33．（2017江蘇）已知函數有極值，且導函數
的極值點是的零點．（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）
（1）求關于的函數關系式，并寫出定義域；
（2）證明：；
34．（2016年全國I卷）已知函數.
(I)討論的單調性；
(II)若有兩個零點，求的取值范圍.
35．（2016年全國II卷）已知函數.
(Ⅰ)當時，求曲線在處的切線方程；
(Ⅱ)若當時，，求的取值范圍.
36．（2016年全國III卷）設函數．
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）證明當時，；
（III）設，證明當時，．
37．（2015新課標2）已知函數．
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍．
38．（2015新課標1）設函數．
（Ⅰ）討論的導函數零點的個數；
（Ⅱ）證明：當時．
39．（2014新課標2）已知函數，曲線在點（0，2）處的切線與軸交點的橫坐標為－2．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．
40．(2014山東）設函數（為常數，是自然對數的底數）
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍．
41．（2014新課標1）設函數，
曲線處的切線斜率為0
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范圍．
42．（2014山東）設函數
，其中為常數．
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數的單調性．
43．(2014廣東)
已知函數
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，試討論是否存在，使得．
44．(2014江蘇)已知函數，其中e是自然對數的底數．
（Ⅰ）證明：是R上的偶函數；
（Ⅱ）若關于的不等式≤在上恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）已知正數滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結論．
45．（2013新課標1）已知函數，曲線在點處切線方程為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）討論的單調性，并求的極大值．
46．（2013新課標2）已知函數．
（Ⅰ）求的極小值和極大值；
（Ⅱ）當曲線的切線的斜率為負數時，求在軸上截距的取值范圍．
47．（2013福建）已知函數（，為自然對數的底數）．
（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（Ⅱ）求函數的極值；
（Ⅲ）當的值時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值．
48．(2013天津)已知函數．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）
證明：對任意的，存在唯一的，使．
（Ⅲ）設（Ⅱ）中所確定的關于的函數為，
證明：當時，有．
49．（2013江蘇）設函數，，其中為實數．
（Ⅰ）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；
（Ⅱ）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論．
50．（2012新課標）設函數f(x)=－ax－2
（Ⅰ）求的單調區間
（Ⅱ）若，為整數，且當時，，求的最大值
51．（2012安徽）設函數
（Ⅰ）求在內的最小值；
（Ⅱ）設曲線在點的切線方程為；求的值。
52．（2012山東）已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）設，其中是的導數．
證明：對任意的，．
53．（2011新課標）已知函數，曲線在點處的切線方程為．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）證明：當，且時，．
54．（2011浙江）設函數，
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）求所有實數，使對恒成立．
注：為自然對數的底數．
55．（2011福建）已知，為常數，且，函數，（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）當時，是否同時存在實數和()，使得對每一個∈，直線與曲線（∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．
56．（2010新課標）設函數
（Ⅰ）若=，求的單調區間；
（Ⅱ）若當≥0時≥0，求的取值范圍．
專題三
導數及其應用
第八講
導數的綜合應用
答案部分
2019年
1.解析（1）．
令，得x=0或.
若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；
若a=0，在單調遞增；
若a
（2）當時，由（1）知，在單調遞減，在單調遞增，所以在[0,1]的最小值為，最大值為或.于是
，
所以
當時，可知單調遞減，所以的取值范圍是.
當時，單調遞減，所以的取值范圍是.
綜上，的取值范圍是.
2.解析（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲線的斜率為1的切線方程是與，
即與．
（Ⅱ）要證，即證，令．
由得．
令得或．
在區間上的情況如下：
所以的最小值為，最大值為．
故，即．
（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，
當時，；
當時，；
當時，．
綜上，當最小時，．
3.解析（1）因為，所以．
因為，所以，解得．
（2）因為，
所以，
從而．令，得或．
因為都在集合中，且，
所以．
此時，．
令，得或．列表如下：
1
+
–
+
極大值
極小值
所以的極小值為．
（3）因為，所以，
．
因為，所以，
則有2個不同的零點，設為．
由，得．
列表如下：
+
–
+
極大值
極小值
所以的極大值．
解法一：
．因此．
解法二：因為，所以．
當時，．
令，則．
令，得．列表如下：
+
–
極大值
所以當時，取得極大值，且是最大值，故．
所以當時，，因此．
4.解析
（1）設，則.
當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.
又，故在存在唯一零點.
所以在存在唯一零點.
（2）由題設知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.
又，所以，當時，.
又當時，ax≤0，故.
因此，a的取值范圍是.
5.解析
（1）設，則.
當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.
又，故在存在唯一零點.
所以在存在唯一零點.
（2）由題設知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一個零點，設為，且當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.
又，所以，當時，.
又當時，ax≤0，故.
因此，a的取值范圍是.
6.解析（1）的定義域為（0，+）.
.
因為單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，又，
，故存在唯一，使得.
又當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
因此，存在唯一的極值點.
（2）由（1）知，又，所以在內存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.
7.解析（Ⅰ）由已知，的定義域為，且
，
因此當時，
，從而，所以在內單調遞增.
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在內單調遞減，又，且
.
故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則.
當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.
令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時，
，所以.
從而，
又因為，所以在內有唯一零點.又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.
（ii）由題意，即，從而，即.因為當時，
，又，故，兩邊取對數，得，于是
，
整理得.
8.解析（Ⅰ）當時，．
，
所以，函數的單調遞減區間為（0，3），單調遞增區間為（3，+）．
（Ⅱ）由，得．
當時，等價于．
令，則．
設
，則
．
（i）當
時，，則
．
記，則
.
故
1
+
單調遞減
極小值
單調遞增
所以，
．
因此，．
（ii）當時，．
令
，則，
故在上單調遞增，所以．
由（i）得．
所以，．
因此．
由（i）（ii）得對任意，，
即對任意，均有．
綜上所述，所求a的取值范圍是．
2010-2018年
1．C【解析】由，知，在上單調遞增，
在上單調遞減，排除A、B；又，
所以的圖象關于對稱，C正確．
2．D【解析】由導函數的圖象可知，的單調性是減增減增，排除
A、C；由導函數的圖象可知，的極值點一負兩正，所以D符合，選D．
3．C【解析】函數在單調遞增，
等價于
在恒成立．
設，則在恒成立，
所以，解得．故選C．
4．D【解析】因為，令，，當
時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以．故選D．
5．D【解析】，，在（1，+）單調遞增，
所以當
時，恒成立，即在（1，+）上恒成立，
，，所以，故選D．
6．C【解析】由正弦型函數的圖象可知：的極值點滿足，
則，從而得．所以不等式
，即為，變形得，其中．由題意，存在整數使得不等式成立．當且時，必有，此時不等式顯然不能成立，故或，此時，不等式即為，解得或．
7．C【解析】當時，得，令，則，
，令，，
則，顯然在上，，單調遞減，所以，因此；同理，當時，得．由以上兩種情況得．顯然當時也成立，故實數的取值范圍為．
8．C【解析】設，則，故在上有一個極值點，即在上不是單調函數，無法判斷與的大小，故A、B錯；構造函數，，故在上單調遞減，所以，選C．
9．B【解析】當，可得圖象D；記，
，
取，，令，得，易知的極小值為，又，所以，所以圖象A有可能；同理取，可得圖象C有可能；利用排除法可知選B．
10．C【解析】若則有，所以A正確。由得
，因為函數的對稱中心為（0,0），
所以的對稱中心為,所以B正確。由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區間（∞,
）單調遞減是錯誤的，D正確。選C.
11．A【解析】若在上恒成立，則，
則在上無解；
同理若在上恒成立，則。
所以在上有解等價于在上有解，
即，
令，所以，
所以．
12．D【解析】A．，錯誤．是的極大值點，并不是最大值點；B．是的極小值點．錯誤．相當于關于y軸的對稱圖像，故應是的極大值點；C．是的極小值點．錯誤．相當于關于軸的對稱圖像，故應是的極小值點．跟沒有關系；D．是的極小值點．正確．相當于先關于y軸的對稱，再關于軸的對稱圖像．故D正確．
13．B【解析】,,由，解得，又，
故選B．
14．D【解析】，，恒成立，令，則
當時，，函數單調減，當時，，函數單調增，
則為的極小值點，故選D．
15．D【解析】，由，即，得．
由，，所以，當且僅當時取等號．選D．
16．D【解析】若為函數的一個極值點，則易知，選項A，B的函數為，，為函數的一個極值點滿足條件；選項C中，對稱軸，且開口向下，
，，也滿足條件；選項D中，對稱軸
，且開口向上，，，與題圖矛盾，故選D．
17．D【解析】由題不妨令，則，
令解得，因時，，當時，
，所以當時，達到最小．即．
18．3【解析】．
19．①④【解析】因為在上是單調遞增的，所以對于不相等的實數，恒成立，①正確；因為，所以
=，正負不定，②錯誤；由，整理得．
令函數，則，
令，則，又，
，從而存在，使得，
于是有極小值，所以存
在，使得，此時在上單調遞增，故不存在不相等的實數，使得，不滿足題意，③錯誤；由得，即，設，
則，所以在上單調遞增的，且當時，
，當時，，所以對于任意的，與的圖象一定有交點，④正確．
20．2【解析】由題意，令得或．
因或時，，時，．
時取得極小值．
21．【解析】(1)的定義域為，．
由題設知，，所以．
從而，．
當時，；當時，．
所以在單調遞減，在單調遞增．
(2)當時，．
設，則
當時，；當時，．所以是的最小值點．
故當時，．
因此，當時，．
22．【解析】(1)函數的導函數，
由得，
因為，所以．
由基本不等式得．
因為，所以．
由題意得．
設，
則，
所以
16
+
所以在上單調遞增，
故，
即．
(2)令，，則
，
所以，存在使，
所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點．
由得．
設，
則，
其中．
由(1)可知，又，
故，
所以，即函數在上單調遞減，因此方程至多1個實根．
綜上，當時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．
23．【解析】(1)當時，，．
令解得或．
當時，；
當時，．
故在，單調遞增，在單調遞減．
(2)由于，所以等價于．
設，則，
僅當時，所以在單調遞增．
故至多有一個零點，從而至多有一個零點．
又，，
故有一個零點．
綜上，只有一個零點．
24．【解析】(1)因為，
所以．
，
由題設知，即，解得．
(2)方法一：由(1)得．
若，則當時，；
當時，．
所以在處取得極小值．
若，則當時，，
所以．
所以1不是的極小值點．
綜上可知，的取值范圍是．
方法二：．
(ⅰ)當時，令得．
隨的變化情況如下表：
1
+
?
↗
極大值
在處取得極大值，不合題意．
(ⅱ)當時，令得．
①當，即時，，
在上單調遞增，
無極值，不合題意．
②當，即時，隨的變化情況如下表：
1
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極大值，不合題意．
③當，即時，隨的變化情況如下表：
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
在處取得極小值，即滿足題意．
(ⅲ)當時，令得．
隨的變化情況如下表：
?
+
?
極小值
↗
極大值
在處取得極大值，不合題意．
綜上所述，的取值范圍為．
25．【解析】(1)，．
因此曲線在點處的切線方程是．
(2)當時，．
令，則．
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
所以．因此．
26．【解析】(1)函數，，則，．
由且，得，此方程組無解，
因此，與不存在“點”．
(2)函數，，
則．
設為與的“點”，由且，得
，即，（*）
得，即，則．
當時，滿足方程組（*），即為與的“點”．
因此，的值為．
(3)對任意，設．
因為，且的圖象是不間斷的，
所以存在，使得．令，則．
函數，
則．
由且，得
，即，（**）
此時，滿足方程組（**），即是函數與在區間內的一個“點”．
因此，對任意，存在，使函數與在區間內存在“點”．
27．【解析】(1)由已知，可得，故，
因此，=?1，
又因為曲線在點處的切線方程為，
故所求切線方程為．
(2)由已知可得
．
故．令=0，解得，或．
當變化時，，的變化如下表：
(?∞，
)
(，
)
(，
+∞)
+
?
+
↗
極大值
極小值
↗
所以函數的極大值為；函數小值為．
(3)曲線與直線有三個互異的公共點等價于關于的方程有三個互異的實數解，
令，可得．
設函數，則曲線與直線有三個互異的公共點等價于函數有三個零點．
．
當時，，這時在R上單調遞增，不合題意．
當時，=0，解得，．
易得，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
的極大值=>0．
的極小值=?．
若，由的單調性可知函數至多有兩個零點，不合題意．
若即，
也就是，此時，
且，從而由的單調性，可知函數在區間內各有一個零點，符合題意．
所以的取值范圍是
28．【解析】（1）函數的定義域為，
，
①若，則，在單調遞增．
②若，則由得．
當時，；當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增．
③若，則由得．
當時，；當時，，
故在單調遞減，在單調遞增．
（2）①若，則，所以．
②若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為
．從而當且僅當，即時，．
③若，則由（1）得，當時，取得最小值，最小值為
．
從而當且僅當，即時．
綜上，的取值范圍為．
29．【解析】（1）
令得
，．
當時，；當時，；當時，．
所以在，單調遞減，在單調遞增．
（2）．
當時，設函數，，因此在單調遞減，而，故，所以
．
當時，設函數，，所以在單調遞增，而，故．
當時，，，
取，則，，
故．
當時,取,則,．
綜上，的取值范圍是．
30．【解析】（1）的定義域為，．
若，則當時，，故在單調遞增.
若，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.
（2）由（1）知，當時，在取得最大值，最大值為
．
所以等價于，
即．
設，則．
當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減.故當時，取得最大值，最大值為．所以當時，．從而當時，，即．
31．【解析】（I）由，可得
，
令，解得，或．由，得．
當變化時，，的變化情況如下表：
所以，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．
（II）（i）因為，由題意知，
所以，解得．
所以，在處的導數等于0．
（ii）因為，，由，可得．
又因為，，故為的極大值點，由（I）知．
另一方面，由于，故，
由（I）知在內單調遞增，在內單調遞減，
故當時，在上恒成立，
從而在上恒成立．
由，得，．
令，，所以，
令，解得（舍去），或．
因為，，，故的值域為．
所以，的取值范圍是．
32．【解析】（Ⅰ）因為，
所以
（Ⅱ）由
解得或．
因為
x
（，1）
1
（1，）
（，）
-
+
-
↗
又，
所以在區間上的取值范圍是．
33．【解析】(1)由,得.
當時，有極小值.
因為的極值點是的零點.
所以，又，故.
因為有極值，故有實根，從而，即.
時，，故在R上是增函數，沒有極值；
時，有兩個相異的實根，.
列表如下
+
–
+
極大值
極小值
故的極值點是.
從而，
因此，定義域為.
（2）由（1）知，．
設，則．
當時，，所以在上單調遞增．
因為，所以，故，即．
因此．
（3）由（1）知,的極值點是，且，.
從而
記，所有極值之和為，
因為的極值為，所以，.
因為，于是在上單調遞減.
因為，于是，故.
因此的取值范圍為.
34．【解析】
(Ⅰ)
(i)設，則當時，；當時，.
所以在單調遞減，在單調遞增.
(ii)設，由得或．
①若，則，所以在單調遞增.
②若，則,故當時，；
當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.
③若，則，故當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減.
(Ⅱ)(i)設，則由(I)知，在單調遞減，在單調遞增.
又，取b滿足b
則，所以有兩個零點.
(ii)設a=0，則，所以有一個零點.
(iii)設a
又當時，
綜上，的取值范圍為.
35．【解析】（Ⅰ）的定義域為.當時，
，
曲線在處的切線方程為
（Ⅱ）當時，等價于
令，則
，
（i）當，時，，
故在上單調遞增，因此；
（ii）當時，令得
，
由和得，故當時，，在單調遞減，因此.
綜上，的取值范圍是
36．【解析】（Ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為.
所以當時，.
故當時，，，即.
（Ⅲ）由題設，設，則，
令，解得.
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.
由（Ⅱ）知，，故，又，
故當時，.
所以當時，.
37【解析】（Ⅰ）的定義域為，．
若，則，所以在單調遞增．
若，則當時，；當時，．所以在單調遞增，在單調遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在上無最大值；當時，在取得最大值，最大值為．
因此等價于．
令，則在單調遞增，．
于是，當時，；當時，．
因此的取值范圍是．
38．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．
當時,，沒有零點；
當時，因為單調遞增，單調遞增，所以在單調遞增.又，當滿足且時，，故當時，存在唯一零點．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可設在的唯一零點為，當時，；
當時，．
故在單調遞減，在單調遞增，
所以當時，取得最小值，最小值為．
由于，所以．
故當時，．
39．【解析】（Ⅰ）=，.
曲線在點（0,2）處的切線方程為．
由題設得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
設，由題設知．
當≤0時，，單調遞增，，所以=0在有唯一實根．
當時，令，則．
，在單調遞減，在單調遞增，
所以，所以在沒有實根.
綜上，=0在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．
40．【解析】（Ⅰ）函數的定義域為
由可得
所以當時，，函數單調遞減，
所以當時，，函數單調遞增，
所以
的單調遞減區間為，的單調遞增區間為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，在內單調遞減，
故在內不存在極值點；
當時，設函數，，因此．
當時，時，函數單調遞增
故在內不存在兩個極值點；
當時，
函數在內存在兩個極值點
當且僅當，解得
綜上函數在內存在兩個極值點時，的取值范圍為．
41．【解析】（Ⅰ），
由題設知，解得．
（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，，
（?。┤?，則，故當時，，在單調遞增，所以，存在，使得的充要條件為，
即，解得．
（ii）若，則，故當時，；
當時，，在單調遞減，在單調遞增．所以，存在，使得的充要條件為，
而，所以不合題意．
（iii）若，則．
綜上，的取值范圍是．
42．【解析】（Ⅰ）由題意知時，，
此時，可得，又，
所以曲線在處的切線方程為．
（Ⅱ）函數的定義域為，
，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，令，
由于，
①當時，，
，函數在上單調遞減，
②當時，，，函數在上單調遞減，
③當時，，
設是函數的兩個零點，
則，，
由
，
所以時，，函數單調遞減，
時，，函數單調遞增，
時，，函數單調遞減，
綜上可知，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減；
當時，在，上單調遞減，在上單調遞增．
43．【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）
44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函數
（Ⅱ）由題意，，即
，，即對恒成立
令，則對任意恒成立
，當且僅當時等號成立
（Ⅲ），當時，在上單調增
令，
，，即在上單調減
存在，使得，，即
設，則
當時，，單調增；
當時，，單調減
因此至多有兩個零點，而
當時，，；
當時，，；
當時，，．
45．【解析】．由已知得，，
故，，從而；
（Ⅱ）
由（I）知，
令得，或．
從而當時，；當時，．
故在，單調遞增，在單調遞減．
當時，函數取得極大值，極大值為．
46．【解析】（Ⅰ）的定義域為，
①
當或時，；當時，
所以在，單調遞減，在單調遞增．
故當時，取得極小值，極小值為；當時，取得極大值，極大值為．
（Ⅱ）設切點為，則的方程為
所以在軸上的截距為
由已知和①得．
令，則當時，的取值范圍為；當時，的取值范圍是．
所以當時，的取值范圍是．
綜上，在軸上截距的取值范圍．
47．【解析】（Ⅰ）由，得．
又曲線在點處的切線平行于軸，
得，即，解得．
（Ⅱ），
①當時，，為上的增函數，所以函數無極值．
②當時，令，得，．
，；，．
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．
綜上，當時，函數無極小值；
當，在處取得極小值，無極大值．
（Ⅲ）當時，
令，
則直線：與曲線沒有公共點，
等價于方程在上沒有實數解．
假設，此時，，
又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故．
又時，，知方程在上沒有實數解．
所以的最大值為．
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）當時，．
直線：與曲線沒有公共點，
等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：
（*）
在上沒有實數解．
①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．
②當時，方程（*）化為．
令，則有．
令，得，
當變化時，的變化情況如下表：
當時，，同時當趨于時，趨于，
從而的取值范圍為．
所以當時，方程（*）無實數解，解得的取值范圍是．
綜上，得的最大值為．
48．【解析】（Ⅰ）函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝2xln
x＋x＝x(2ln
x＋1)，令f′(x)＝0，得.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
f′(x)
－
＋
f(x)
極小值
所以函數f(x)的單調遞減區間是，單調遞增區間是.
（Ⅱ）證明：當0＜x≤1時，f(x)≤0.
設t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在區間(1，＋∞)內單調遞增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln
et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
（Ⅲ）證明：因為s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，從而
，
其中u＝ln
s.
要使成立，只需.
當t＞e2時，若s＝g(t)≤e，則由f(s)的單調性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以s＞e，即u＞1，從而ln
u＞0成立．
另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.
當1＜u＜2時，F′(u)＞0；當u＞2時，F′(u)＜0.
故對u＞1，F(u)≤F(2)＜0.
因此成立．
綜上，當t＞e2時，有.
49．【解析】：（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；
若，則在上恒成立，在上遞增，
在上沒有最小值，，
當時，，由于在遞增，時，遞增，時，遞減，從而為的可疑極小點，由題，，
綜上的取值范圍為．
（Ⅱ）由題在上恒成立，
在上恒成立，，
由得
，
令，則，
當時，，遞增，
當時，，遞減，
時，最大值為，
又時，，
時，，
據此作出的大致圖象，由圖知：
當或時，的零點有1個,
當時，的零點有2個,
50．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．
若，則，所以在單調遞增．
若，則當時，當，，所以
在單調遞減，在單調遞增．
（Ⅱ）
由于，所以(x－k)
f′(x)+x+1=．
故當時，(x－k)
f′(x)+x+1>0等價于
（）
①
令，則
由（Ⅰ）知，函數在單調遞增．而，所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，設此零點為，則．當時，；當時，，所以在的最小值為，又由，可得，所以
故①等價于，故整數的最大值為2．
51．【解析】（Ⅰ）設；則
①當時，在上是增函數
得：當時，的最小值為
②當時，
當且僅當時，的最小值為
（Ⅱ）
由題意得：
52．【解析】（Ⅰ）由
=
可得，而，
即，解得；
（Ⅱ），令可得，
當時，；當時，．
于是在區間內為增函數；在內為減函數．
（Ⅲ）
=
因此對任意的，等價于
設
所以，
因此時，，時，
所以，故．
設，則，
，，，，即
，對任意的，．
53．【解析】（Ⅰ）
由于直線的斜率為，且過點，故
即,解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考慮函數，則
所以當時，故
當時，
當時，
從而當
54．【解析】（Ⅰ）因為
所以
由于，所以的增區間為，減區間為
（Ⅱ）【證明】：由題意得，
由（Ⅰ）知內單調遞增，
要使恒成立，
只要，解得
55．【解析】（Ⅰ）由
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而
，故：
（1）當；
（2）當
綜上，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為（0，1）；
當時，函數的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為。
（Ⅲ）當時，
由（Ⅱ）可得，當在區間內變化時，的變化情況如下表：
－
+
單調遞減
極小值1
單調遞增
2
又的值域為[1，2]．
由題意可得，若，則對每一個，直線與曲線
都有公共點．并且對每一個，
直線與曲線都沒有公共點．
綜上，當時，存在最小的實數=1，最大的實數=2，使得對每一個，直線與曲線都有公共點．
56．【解析】（Ⅰ）時，，
。當時;當時，;當時，。故在，單調增加，在（1，0）單調減少．
（Ⅱ）。令，則。若，則當時，，為減函數，而，從而當x≥0時≥0，即≥0．
若，則當時，，為減函數，而，
數列
第十八講
數列的綜合應用
一、選擇題
1．(2018浙江)已知，，，成等比數列，且．若，則
A．，
B．，
C．，
D．，
2．(2015湖北)設，．若p：成等比數列；q：，則
A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
C．p是q的充分必要條件
D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
3．（2014新課標2）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前項和=
A．
B．
C．
D．
4．（2014浙江）設函數，，
，記
，則
A．
B．
C．
D．
二、填空題
5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為
．
6．（2015浙江）已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則
，
．
7．（2013重慶）已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則．
8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________．
三、解答題
9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列．
(1)設，若對均成立，求的取值范圍；
(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．
10*．（2017浙江）已知數列滿足：，．
證明：當時
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
*根據親所在地區選用，新課標地區（文科）不考．
11．（2017江蘇）對于給定的正整數，若數列滿足
對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”．
（1）證明：等差數列是“數列”；
（2）若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列．
12．（2016年四川）已知數列的首項為1，為數列的前項和，，其中，
(Ⅰ)若成等差數列，求數列的通項公式；
(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．
13．（2016年浙江）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（I）求通項公式；
（II）求數列{}的前項和.
14．(2015重慶)已知等差數列滿足，前3項和．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設等比數列滿足，，求前項和．
15．（2015天津）已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設，，求數列的前項和．
16．(2015四川)設數列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列的前項和為，求．
17．（2015湖北）設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，已知，，，．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）當時，記=，求數列的前項和．
18．(2014山東）已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令=求數列的前項和．
19．（2014浙江）已知數列和滿足．若為等比數列，且
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）設．記數列的前項和為．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求正整數，使得對任意，均有．
20．（2014湖南）已知數列{}滿足
（Ⅰ）若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；
（Ⅱ）若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式．
21．（2014四川）設等差數列的公差為，點在函數的圖象上（）．
（Ⅰ）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和；
（Ⅱ）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列
的前項和．
22．(2014江蘇)設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是“H數列”．
（Ⅰ）若數列的前n項和(N)，證明:
是“H數列”；
（Ⅱ）設
是等差數列，其首項，公差．若
是“H數列”，求的值；
（Ⅲ）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得(N)成立．
23．（2013安徽）設數列滿足，，且對任意，函數
，滿足
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數列的前項和．
24．（2013廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足
且構成等比數列．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數，有．
25．（2013湖北）已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，
且.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；
若不存在，說明理由．
26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是其前項和.
記，，其中為實數.
（Ⅰ）
若，且，，成等比數列，證明：；
（Ⅱ）
若是等差數列，證明：．
27．
(2012山東)已知等差數列的前5項和為105，且．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）對任意，將數列中不大于的項的個數記為.求數列的前m項和．
28．（2012湖南）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第年年底企業上繳資金后的剩余資金為萬元．
（Ⅰ）用表示，并寫出與的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經過（≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知數列的前項和為，且=，，數列滿足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求數列的前項和．
30．（2012山東）在等差數列中，，
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）對任意的，將數列中落入區間內的項的個數為，求數列的前項和．
31．（2012江蘇）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．
（Ⅰ）設，求證：數列是等差數列；
（Ⅱ）設，且是等比數列，求和的值．
32．（2011天津）已知數列滿足，
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，證明是等比數列；
（Ⅲ）設為的前項和，證明
33．（2011天津）已知數列與滿足：，
，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，證明：是等比數列；
（Ⅲ）設證明：．
34．（2010新課標）設數列滿足
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，求數列的前項和．
35．（2010湖南）給出下面的數表序列：
其中表（=1,2,3
）有行，第1行的個數是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．
（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；
（Ⅱ）每個數列中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，，記此數列為，求和：
．
專題六
數列
第十八講
數列的綜合應用
答案部分
1．B【解析】解法一
因為()，所以
，所以，又，所以等比數列的公比．
若，則，
而，所以，
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
解法二
因為，，
所以，則，
又，所以等比數列的公比．
若，則，
而，所以
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
2．A【解析】對命題p：成等比數列，則公比且；
對命題，
①當時，成立；
②當時，根據柯西不等式，
等式成立，
則，所以成等比數列，
所以是的充分條件，但不是的必要條件．
3．A【解析】，，成等比數列，，即，解得，所以．
4．B【解析】在上單調遞增，可得，
，…，，
=
在上單調遞增，在單調遞減
，…，，，
，…，
==
=
在，上單調遞增，在，上單調遞減，可得
因此．
5．27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列
中，前面有16個正奇數，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=
441
+62=
503
+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．
6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．
7．64【解析】由且成等比數列，得，解得，故．
8．【解析】設，則，由于，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由條件知：,．
因為對=1，2，3，4均成立，
即對=1，2，3，4均成立，
即11，13，35，79，得．
因此，的取值范圍為．
(2)由條件知：,．
若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，
即(=2，3，···，+1)，
即當時，滿足．
因為，則，
從而，，對均成立．
因此，取=0時，對均成立．
下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．
①當時，，
當時，有，從而．
因此，當時，數列單調遞增，
故數列的最大值為．
②設，當時，，
所以單調遞減，從而．
當時，，
因此，當時，數列單調遞減，
故數列的最小值為．
因此，的取值范圍為．
10．【解析】（Ⅰ）用數學歸納法證明：
當時，
假設時，，
那么時，若，則，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
記函數
函數在上單調遞增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因為
所以得
由得
所以
故
綜上，
．
11．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，
從而，當時，
，
所以，
因此等差數列是“數列”.
（2）數列既是“數列”，又是“數列”，因此，
當時，，①
當時，.②
由①知，，③
，④
將③④代入②，得，其中，
所以是等差數列，設其公差為.
在①中，取，則，所以，
在①中，取，則，所以，
所以數列是等差數列.
12．【解析】（Ⅰ）由已知，
兩式相減得到.
又由得到，故對所有都成立.
所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.
從而.
由成等差數列，可得，所以，故.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率.
由解得.所以，
13．【解析】（1）由題意得：，則，
又當時，由，
得，
所以，數列的通項公式為.
（2）設，，.
當時，由于，故.
設數列的前項和為，則.
當時，，
所以，.
14．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則由已知條件得
化簡得
解得，．
故通項公式，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
設的公比為，則，從而．
故的前項和
．
15．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為q，數列的公差為d，由題意，由已知，有
消去d，整數得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數列的通項公式為.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有
,設的前n項和為，則
，
，
兩式相減得，
所以．
16．【解析】(Ⅰ)
由已知，有
=(n≥2)，即(n≥2)，
從而，．
又因為，+1，成等差數列，即＋＝2(＋1)，
所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．
所以，數列是首項為2，公比為2的等比數列，故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以＝．
17．【解析】（Ⅰ）由題意有，
即，
解得
或
故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
，
①
．
②
①－②可得
，
故．
18．【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），
當為偶數時
．
19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，
知，又由，得公比（舍去），
所以數列的通項公式為，
所以，
故數列的通項公式為，；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，
所以；
（ii）因為；
當時，，
而，
得，
所以當時，，
綜上對任意恒有，故．
20．【解析】（I）因為是遞增數列，所以。而，
因此又成等差數列，所以，因而，
解得
當時，，這與是遞增數列矛盾。故.
（Ⅱ）由于是遞增數列，因而，于是
①
但，所以
.
②
又①，②知，，因此
③
因為是遞減數列，同理可得，故
④
由③，④即知，。
于是
.
故數列的通項公式為．
21．【解析】（Ⅰ）點在函數的圖象上，所以，又等差數列的公差為，所以
因為點在函數的圖象上，所以，所以
又，所以
（Ⅱ）由，函數的圖象在點處的切線方程為
所以切線在軸上的截距為，從而，故
從而，，
所以
故．
22．【解析】（Ⅰ）當時，
當時，
時，，當時，，是“H數列”．
（Ⅱ）
對，使，即
取得，
，，又，，．
（Ⅲ）設的公差為d
令，對，
，對，
則，且為等差數列
的前n項和，令，則
當時；
當時；
當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，
因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．
的前n項和，令，則
對，是非負偶數，
即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”
因此命題得證．
23．【解析】（Ⅰ）由，
所以，
是等差數列.
而，，，，
（Ⅱ）
24．【解析】（Ⅰ）當時，，
（Ⅱ）當時，，
,
當時，是公差的等差數列.
構成等比數列，，，
解得．
由（Ⅰ）可知，
是首項,公差的等差數列.
數列的通項公式為.
（Ⅲ）
25．【解析】（Ⅰ）設數列的公比為，則，.
由題意得
即
解得
故數列的通項公式為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
.
若存在，使得，則，即
當為偶數時，，
上式不成立；
當為奇數時，，即，則.
綜上，存在符合條件的正整數，且所有這樣的n的集合為．
26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，
，，
是等差數列，首項為，公差為，，又成等比數列，
，，，，，，
，（）．
（Ⅱ）由題，，，若是等差數列，則可設，是常數，關于恒成立．整理得：
關于恒成立．，
．
27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得,
所以通項公式為.
（Ⅱ）由，得，即.
，
是公比為49的等比數列，
．
28．【解析】（Ⅰ）由題意得，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由題意，
解得．
故該企業每年上繳資金的值為繳時，經過年企業的剩余資金為4000元．
29．【解析】（Ⅰ）由=，得
當=1時，；
當2時，，.
由，得，.
（Ⅱ）由（1）知，
所以，
，
，．
30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則
，，
于是，即.
（Ⅱ）對任意m∈，，則，
即，而，由題意可知，
于是
，
即.
31．【解析】（Ⅰ）由題意知，
所以，從而
所以數列是以1為公差的等差數列．
（Ⅱ）．所以，
從而
(*)
設等比數列的公比為，由知下證．
若，則．故當，，與（*）矛盾；
若，則．故當，，與（*）矛盾；
綜上：故，所以．
又，所以是以公比為的等比數列，若，
則，于是，又由，得，
所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，
所以．
32．【解析】（Ⅰ）由，可得
又，
當
當
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
②-①，得
所以是等比數列。
（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，
故對任意
由①得
因此，
于是，
故
33．【解析】（Ⅰ）由可得
又
當時，，由，，可得；
當時，，可得；
當時，，可得；
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
③
②—③，得
④
將④代入①，可得
即
又
因此是等比數列.
（Ⅲ）證明：由（II）可得，
于是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，
此式當k=1時也成立.由④式得
從而
所以，對任意，
對于=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
34．【解析】（Ⅰ）由已知，當n≥1時，
．而
所以數列{}的通項公式為．
（Ⅱ）由知
①
從而
②
①-②得
．
即
．
35．【解析】（Ⅰ）表4為
1
3
5
7
4
8
12
12
20
32
它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別為4,8,16,32.
它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將結這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列.
將這一結論推廣到表，即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．
簡證如下（對考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數列，其平均數為；其次，若表的第行，，…，是等差數列，則它的第行，，…，也是等差數列．由等差數列的性質知，表的第行中的數的平均數與行中的數的平均數分別是
，．
由此可知，表各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．
（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數是
由（Ⅰ）知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列（從而它的第行中的數的平均數是），于是表中最后一行的唯一一個數為.因此
．(=1,2,3,
…,
一、考后反思概念的界定
作為一個日常概念，人們容易將“反思”等同于“反省”，在這個意義上，反思就是對自己的思想、心理感受的思考，對自己體驗過的東西的理解或描述.反思是一種思維的形式，是個體在頭腦中對問題進行反復、嚴肅、執著的沉思.考后反思是學生以自己的考試過程為思考對象，對自己所做出的行為、決策以及由此所產生的結果進行審視和分析的過程，是一種通過提高學生的自我覺察水平來促進能力發展的途徑.
二、考后反思的理論基礎
從認識論的角度看，人的有目的的實踐活動都是受知識、觀念支配的.學習反思亦是主觀見之于客觀的實踐活動，它遵循辯證唯物主義“實踐――認識――再實踐――再認識”的認知規律.如果不反思實踐活動，實踐者可能不會清晰地認識其實際所使用的理論知識及其行為的合理性.建構主義認為知識的學習并非是對客觀世界的被動反映，而是學習者能動選擇、主動建構的過程.建構主義指出學習的實質是學習者積極主動地進行意義建構的過程，意義建構是雙向的.考后反思是學生積極主動地進行意義建構的過程，是學生對考試的結果進行審視和分析后再建構，以期待下一次能考出更好成績，特別期待高考能考出理想成績.
三、指導學生進行考后反思
進入高三總復習，學生要參加多次的綜合性考試，如果他們能不斷反思，就可以明確自己存在問題并加以克服，進一步提高學習成績.《普通高中數學課程標準》（實驗）指出：數學學習評價應關注學生能否不斷反思自己的數學學習過程，并改進學習方法；教師要注意肯定學生在數學學習中的發展和進步、特點和優點.我們老師要充分利用綜合性考試機會，指導學生進行考后反思，讓他們總結復習的成功和不足之處.以下筆者結合自己的實踐，談談如何指導學生進行考后反思，從反思考試心理、反思考試策略、反思失誤原因三個方面進行指導.
（一）反思考試心理 心理學家王極盛曾對74名全國高考狀元做過《各種因素在高考成功中的作用》調查，結果顯示，考生們普遍認為，考場心態排在第一位，他們最大感慨就是考試中保持一顆平常心至關重要.我們可以這樣指導學生對考試心理進行自我反思：考試是否緊張？是否正常發揮？按老師考前指導進行心理調節哪些對自己有效？再比如進行心理暗示：平常訓練有素，考試心里有數，不要去想后果如何，專心做好每一題.高考緊張在所難免，適當緊張是件好事，可以提高答題的興奮度，但是過度緊張會影響答題；可以通過深呼吸，把注意力集中在答題，安慰自己：大部分題我會做，沒啥好怕的等.遇到一時想不起來，盡量多聯想相關的知識點和方法，也可以先跳過去，做完后面題再來思考.
（二）反思考試策略 指導學生對考試策略反思，從以下幾個方面進行：1.是否合理定位？2.考試時間是否合理安排？3.答題速度是否正常？有否被他人干憂？4.對選擇題作答是否“小題大做”？是否用到特殊法？如排除法、代入驗證法、特值檢驗法、直覺估算、最值要想到最特殊的位置、對抽象函數要具體化、一般問題要特殊化等.5.對填空題作答是否準確？是否留心答案唯一？求解析式時是否寫上定義域？解不等式、求單調區間、求值域、判斷奇偶性等有否先求定義域？6.對解答題是否能“大題小做”？是否利用前面小題的結論？步驟是否簡潔、規范？
關鍵詞：高中數學；高考；復習；學習
中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）23-041-01
高中數學對于很多同學來說都是一個十分頭疼的科目，有些同學無論多么努力都不能夠在高中數學科目上面取得理想的成績。因為高三的時間本來就很緊迫，同學們為了高考艱苦奮斗，奈何高中數學是久攻不破，最后很多同學只好繳械投降，干脆放棄高中數學的學習，將時間和精力全部都用到其他的科目上面。
其實這些繳械投降的同學們在高中數學上面已經下了很多功夫，但就是不能取得應有的成績，到底是什么原因？在學校中不乏那些在高中數學上面花費的時間很少，但是成績卻非常好的同學們，難道是這些學生的智力高于其他人？其實未必吧。這些同學的成績之所以好過其他人，應該是他們找到了自己的學習方法。
學習方法對于同學們的學習來說是十分重要的。好的學習方法可以讓同學們事半功倍，而壞的學習方法只能夠讓學生們事倍功半。只是在浪費同學們的學習時間，所以找對自己的學習方法對于同學們來說十分重要。
一、復習要掌握方法，好的復習才能夠獲得好的成績
1、課后及時復習
每天課后，同學們要及時進行復習，將課上老師所傳授的知識點進行總結和概括，仔細回想老師傳授的重點。閱讀書本，仔細的看書本中的知識點，將書本中的內容吃透，弄懂，另外還要整理出自己的筆記，好的筆記對于同學們的學習和復習都是十分有益的。
2、單元總體復習
每個單元學習完后，同學們要做好單元復習。整理、串聯這一個單元所學習的知識點，形成單元的理論體系，構建出自己的知識點網絡。歸納單元理論，這個單元主要學習的數學理論，數學思想和學習方法，達到更高層面的理解。篩選這個單元中的典型例題和習題，做好筆記，做一套單元的試卷，總結出自己的疑點，將不會的地方弄懂，如果自己思考不出解題方法或是沒有解題思路的話，及時和老師溝通。
3、考前總復習和考后總結
考前復習和考后總結對于同學們來說十分關鍵，但是很多同學都找不到正確的方法，考前沒有合適的復習，只是一味地做題，記題型。這樣沒有套路的復習根本沒有效率，只能是讓同學們偶爾碰到運氣，遇到剛剛做過的題，僥幸獲得一次好成績。正確的復習應該要整理出知識體系，對知識點進行系統全面的復習，不要丟三落四。爭取在考試中做對會做的，能夠聯想出不會做的解題思路，盡可能的在試卷上面答題?？记暗膹土暫苤匾?，同學們通過考前復習要能夠發現知識點之間的內在聯系，做到自主學習，弄懂理解知識點。
考后總結也十分重要，同學們在考試之后一定要做好總結?？梢詫ｉT準備一個本子，做錯題的收集。剛開始時同學們的錯題可能有一大堆，但是在整理一些之后，同學們就會發現錯題是越來越少，到最后基本上是沒有了。而數學成績也會較大提高。錯題本可以讓同學們總結做錯的題。在進行總結的時候，同學們一定要能夠將做錯的題再仔細地做一遍，做到真正的弄懂，這樣錯題本才沒有失去意義。這個錯題本對于高三的學生來說更為關鍵，要參加高考的同學們一定心中十分慌亂，如果能擁有一個錯題本，本上面積累了自己曾經做錯的很多題目，這對于同學們數學成績的提高很有幫助。
二、認清自我，認清學習狀態
1、心理素質
同學們即將面臨高考。高考是對同學們多年以來學習的一次大檢驗。其中考察的不僅是同學們的學習成績，還有同學們的心理素質。在平常考試中同學們要積極勇敢的面對挫折，冷靜分析問題，找出克服困難和走出困境的方法。一個好的心態對于同學們來說是十分重要的。積極的心態可以讓同學們在挫折之中不后退，不畏懼，勇往直前。而很多同學在高中數學的學習中都沒有這樣積極的心態。有的同學在多次考試失利后，只會更加的消極，畏懼數學，缺乏自信，不相信自己可以學好數學，這都是十分可怕的心理。因為害怕，同學們對數學也就失去興趣了，這樣也就更加不能學好數學了。所以同學們一定要擁有一個積極向上樂觀的心態。
2、了解自己的學習方式和學習習慣
習慣決定命運，這是一位名人流傳千古的名言。而學習習慣決定學習成績，這同樣也是真理。好的學習習慣可以讓同學們戰無不勝攻無不克，在任何一個學科上面都能夠獲得優異的成績，而壞的學習習慣只能讓同學們喪失學習動力，失去學習興趣，不能收獲好的成績。所以同學們一定要擁有好的學習習慣。高中數學的學習需要同學們積極主動地進行探索，不要過分依賴老師。同學們要結合自身實際的情況，結合老師的授課進度，制定自己的學習計劃，不能夠完全依賴于老師的授課。課上要有效率。不能夠顧此失彼，因為沒有做好預習，就在老師講課的時候看書，或者是盲目地做筆記，完全沒有弄懂老師所傳授的內容，忽視了真正的聽課任務，顧此失彼，完全是處于被動學習的狀態。
————100以內數的認識(二)
內容：教科書6—9頁
教學目標：
1、在能讀寫100以內數的基礎上對數的讀寫規則進行概括。
2、 在將現實問題轉化為數學問題（天上的鳥多還是冰上的鳥多，實際上是求47大還是32大） ，并經歷用數學符號表示數的大小關系（數學思考、數感）的過程中，正確進行100以內數的大小比較（知識）。
3、感受數學與日常生活的密切聯系，體驗學習數學的作用。
學生知識經驗分析：
20以內數的大小比較是100以內數的大小比較的知識基礎。
100以內數的讀寫是學生在生活中積累的經驗。
重難點關鍵分析：
本節課重點使學生學會將現實問題轉化成數學問題來解決，體會數學在人們生活中的作用。100以內數的大小比較的方法的掌握以及用符號來表示是本節課的難點和關鍵。
教學設計：
（一） 創設情境，提出問題
師：上一節課我們隨著小科學家們來到南極參觀考察，這一節課繼續我們的南極之行好嗎？。
出示情境圖（把文字遮蓋），學生獨立觀察情境圖。
師：說說你看到了什么？
師：根據這些信息你能提出哪些數學問題？
引導提出以下問題：天上有多少只海鷗？冰上有多少只海鷗？一共有多少只海豹？左邊有多少只企鵝？右邊有多少只企鵝？天上的海鷗多還是冰上的海鷗多？或天上的海鷗比冰上的海鷗多多少？左邊的企鵝比右邊的企鵝多多少？
師：同學們提的問題可真多，這些問題正好是小科學家想知道的，我們來幫他們解決吧！
（二） 合作探究 解決問題
1、估數、數數
師：大家都很想知道海鷗、海豹、企鵝的只數，現在就請大家來估計一下，它們各有多少只？
學生獨立思考后，說出估計數，并簡單說說是怎樣估計的。
師：為了得到準確的數據，靠估計是不行的，我們還是要認真的數一數才行。
教師引導學生用喜歡的方法數出天上的海鷗（四十七只）、冰上的海鷗（三十二只）、海豹（二十五只）企鵝（三十九只）、數并在情境圖上出示（用大寫）。
2、寫數、讀數
（1）師：對于這次南極考察，這可都是重要的數據，趕緊幫小科學家記下來吧！
找一名學生寫在黑板上，其余寫在練習本上，共同訂正時，可以糾正一下寫法。
（2）請板演同學讀出寫的數，評價后全體同學齊讀。
在計數器上撥出以上各數。按老師要求一個數一個數撥出，注意訂正反饋，每撥完一個數就大聲讀出來。
3、概括讀寫法則
師：（指板書）這些數同學們既會讀又會寫，真了不起，那你發現我們在讀數和寫數時有什么規律嗎？
小組討論，可以讓學生在計數器上撥數，先讀出，再寫出，然后總結。（學生可能會答讀寫都是從左向右，也可能答先讀寫十位上的數，再讀寫個位上的數，）先肯定學生以上的說法，然后用計數器演示使學生明白，左邊這一位是十位，十位上一個珠子表示“十”；右邊這一位是個位，1個珠子表示“1”，左邊這一位十位對于個位來說就叫“高位”）。所以我們讀寫時都是從高位起。
4、數的大小比較
（1）師：小科學家們還想弄清是天上的海鷗多還是冰上的海鷗多？是企鵝多還是海豹多？大家還能幫助解決嗎？
學生獨立思考后回答。
師：你是怎么知道的？
學生可能回答：47比32大，所以天上的海鷗比冰上的海鷗多。39比25大，所以企鵝比海豹多。
師：噢！只要比一比這兩個數的大小就知道誰多誰少了。
教師板書47和32 25和39
（2）師：那你又是怎樣比較47和32的大小的呢？
學生獨立思考后回答。學生答案可能為：47比40大，以40為支點比較說明，32比40小，32不夠40，加上一些才夠，所以47大，32小。
以數的組成說明：47比4個十要多，32不夠4個十。
可能根據數的順序來比較：47排在32后面，所以47比32大。
對以上說法，都給予肯定表揚。并用同樣的方法比較25和39的大小。
（3）師：怎樣用符號把47和32連接起來，還能看出哪個數大哪個數??？
引導學生用“＞”和“＜”連接。教師板書：
47＞32 32＜47
師：你能用符號連接25和39嗎？
學生回答后，教師板書：
25＜39 39＞25
（5）拓展延伸
師：（指板書）能否寫出幾個這樣的式子？
學生口述，教師板書。
師：（指板書）仔細觀察，看能發現什么？
引導學生用語言簡單總結大小比較的規律。
（三） 自主練習
1、做課本第1題寫出計數器上表示的數，并讀一讀。
先讓讓學生表述出計數器每個數位上珠子的個數。獨立填寫，匯報答案。共同訂正時注意糾正學生出現的錯誤，最后把所填數讀出來。
2、做課本第3題填一填，比一比。
先表述出計數器每個數位上的珠子數，然后寫出每個計數器上表示的數，比較出數的大小，最后填上“＞或＜”。
（四） 概括總結及評價
師：這一節課你有哪些收獲？
引導學生梳理一下本節課所學知識。
關鍵詞：考試 講評 注意 問題
在教學活動中，考后的講評工作作為教師工作的一個組成部分，是提高教學質量的不可缺少的一個重要環節，對于澄清學生的模糊觀念、校正錯誤、提高分析問題的能力以及查缺補漏、激發求知欲，起著不可低估的作用。甚至可以說，考后講評比考試本身更有意義。如何做好考后的講評工作，考后講評應注意哪些問題，筆者談一點粗淺的看法。
1. 認真閱卷，掌握第一手材料
試卷講評最重要的是做到對癥下藥、有的放矢，最忌諱的是教師從頭到尾將試題講解一遍，教師一題一題報答案，學生一題一題對答案、抄答案。如何對癥下藥？首先要找到“癥結”，掌握第一手材料。這就要求教師必須認真閱卷，并在閱卷中有選擇、有重點地將卷面情況，如一些典型性、普遍性的錯誤，學生中普遍存在的審題不清、概念模糊造成的失分較多的題目記錄下來，以備課堂講解、糾正和提高。最好是列舉典型問題，師生共同分析得分點、扣分點，目的就是讓學生能動腦，拓寬思路多方尋找答案。當然也只有在認真閱卷、掌握第一手材料的基礎上，教師在講評中才能胸有成竹，才能真正解決問題，提高考試效果，考試后做出試卷答案。教師自己僅看看分數，就草草去講評的做法是不足取的。
2. 講評要有啟發性，注重復習與運用知識
試卷講評，不應僅僅局限于幫助學生把個別錯誤答案糾正過來，而且應善于通過對某一問題的分析，使與此相關的一塊或一片知識得到復習鞏固和提高，通過講評更好地發揮數學習題的“教學功能”和“發展功能”。所以教師在講評試卷時要注意知識的橫向和縱向的聯系，注意區別容易混淆的問題，要根據學生答題的實際情況，精心設計、巧妙提問、恰當引導、耐心啟發，讓學生通過獨立認真的思考獲取知識和方法。例如，對y= 型的函數值域的求法，是一道解法比較靈活的題目，雖然解決此類問題的方法很多，但學生得分率還是很低，其關鍵是學生對解決此類問題思路方法沒有真正的理解和掌握。我在講評“求函數y= 的值域”一題時，先與學生共同分析解析式的結構特點，尋找解決問題的有效途徑，經過教師的指導與點撥，學生們發現可以通過三種途徑解決此題：一是通過恒等變形，將原式化為Asinx+Bcosx=C的形式，再利用弦函數的有界性來求解；二是根據題目解析式的結構特點以及直線的斜率公式，采用數形結合的方法，將問題轉化為兩點連線的斜率來確定最值；三是利用三角中的萬能公式將問題轉化為關于tan 的二次方程，再利用判別式求解。通過這樣的師生互動使學生積極思考，變被動為主動，培養了學生認真思考的習慣，更重要的是通過一道三角函數的最值問題的討論，學生對數學中三角變換、三角函數的性質及化歸與轉化、數形結合、函數與方程等教育思想都進行了有針對性的復習，從而達到舉一反
三、講解一題復習一片的目的。
3. 講評要有重點，注重學法和解法指導
試卷講評課與其他課型一樣，同樣要有目的、有步驟、有重點，注意提高針對性和實效性，切忌面面俱到。一份考卷不僅要將知識點分散考查。如果采取逐題講評的方式，學生思維跳躍頻繁，同類知識重復出現，勢必造成學生的厭倦情緒，難以達到預期效果，因此教師應按試卷考查的知識點和數學思想方法，根據學生的“常見病”和“多發病”適當進行歸類講評，針對學生的實際情況和反饋的信息，區分好普遍性和傾向性問題，抓住問題的癥結，突破熱點和難點?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM行講評：
(1) 抓“通病”與典型錯誤
數學中常見到涉及函數的圖象問題，這是學生比較薄弱的一個環節。函數圖象的作法、函數圖象的變換、函數圖象的應用，都是近幾年高考的熱點。很多學生都會產生錯誤，原因就在于對反函數的概念和函數的圖象的基本變換沒有掌握，理解不到位。因此對這類問題就要在講評試卷時認真分析錯誤的原因，幫助學生糾正偏差，使學生掌握正確的思考方法和解題方法。
（2） 抓“通法”與典型思路
數學中有很多問題是考查基礎知識和基本技能的，解題也有“通法”和“特法”之分，根據高考的知識能力要求，學生要熟練掌握解決某些問題的“通法”。因此，在講評試卷時要注意向學生介紹解決一類問題的基本方法，也就是我們所說“通法”，講清楚一些題型的解題思路，使學生真正理解和掌握數學的思想方法。例如：“已知兩等差數列
實現轉化，從而解決問題。通過這一題的講解，使學生學會靈活運用等差數列的公式和性質，有效地進行轉化，使問題得到解決。
4. 講評要有激勵性，注重反思和總結的引導
一堂好的講評課，首先應發現和肯定學生的成績規律和表揚學生的進步，以期使學生處于愛學數學的最佳狀態，激發學生的學習積極性。一位德國教育家說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞?！彼钥荚嚭蟮闹v評要注意肯定和激勵，特別是對學困生，更要因人而異，要從解題思路、運算過程、運算結果和書寫格式上細心尋找他們的“閃光點”，并給予充分的表揚和肯定，使他們感到自己已有進步，從而增強他們的上進心。總之，通過講評，要充分調動學生學習數學的情感、意志、興趣、愛好等多方面的積極因素，促進智力因素與非智力因素的協調發展，以提高數學教學質量。
通過一節講評課，研究了哪些問題，用了哪些數學思想方法，應及時引導學生回顧與反思，進行總結，納入知識系統，做到糾正一例，預防一片；講評一法，會解一類。教師要在講評后有針對性地布置作業，讓學生鞏固和練習，使學生牢固地掌握所學知識；同時要求每一個學生準備一個糾錯記錄本，將平時作業、試卷中出現的錯誤記載下來，并進行訂正。這樣，日積月累的每一本糾錯本，就是一個學生的高考兵法，考前復習時再回顧以前易出錯的問題，就能做到有的放矢，收到成效。實踐表明，引導學生反思與總結不僅能有效地糾錯、防錯，而且對于升學學生的解題能力有事半功倍之效。
關鍵詞：目標；教學；案例
教學內容：人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》七年級上冊第10頁—11頁“相反數”.
教學目標：
1． 知識與技能：借助數軸理解相反數的概念，會求一個數的相反數，會用相反數的定義進行化簡．
2． 過程與方法：培養學生分類討論和數形結合的思想，提高觀察、歸納與概括的能力．
3． 情感態度價值觀：培養學生嚴謹的治學態度并初步感受數學文化的教育價值，認識對立統一的規律．
教學重點、難點：
重點：了解相反數的意義．
難點：多重符號的化簡．
教學過程實錄：
創設情境，導入新課
師生互動：教師請兩位學生到講臺的課桌前，背靠背站好（分左右）后，聽教師口令：“向前走兩步”，并立正．
教師：同學們，現在我們規定向右為正（正號可以省略），那么向右走2步，向左走2步各記作什么？
學生：向右走2步記作2步；向左走2步記作-2步．
教師：同學們，現在我們規定兩個同學未走時的點為原點，那么，能否用上一節課所學的知識（數軸）將上述問題情境中的2和-2表示出來？
學生：畫數軸，在數軸上標出表示2和-2的點．
教師：多媒體展示圖1并問：從數軸上觀察，這兩位同學各走的距離都是2步，但方向相反，可用2和-2表示，這兩個數具有哪些意義？
學生1：2和-2這兩個數具有相反意義．
教師：回答很好． 還有其他說法嗎？
學生2：2和-2的數字相同（都是2），但性質符號不同．
學生3：2和-2這兩個數表示距原點都是兩個單位（距離相等）．
教師：在代數中，把具有上述特點的兩個數稱為互為相反數，今天我們就來學習相反數的概念．
教師板書課題：“相反數”．
評析：本節課的導入，教師通過生動有趣的情景互動和引導學生借助數軸的直觀性，抓住了學生的注意力，激發了學生的學習興趣． 學生在教師的引導下將實際問題數學化，體會出2和-2這兩個數互為相反數的意義，感受到數學與生活密切相關，在輕松愉悅的活動中獲得了知識，從感性上初步感知互為相反數的意義．
啟發思考，學習新課
1． 互為相反數的概念的引出
教師：畫一數軸如圖2所示，請學生觀察、討論并回答：
圖2
（1）在數軸上分別與1，－3，5到原點距離相等的點是哪些？
（2）在數軸上與原點距離都為1，3，5的點有幾個？
（3）利用數軸說出與原點距離相等的點的兩個數的位置特征和符號特征．
學生：利用已畫出數軸，先描點，然后觀察、討論上述問題．
教師：巡視學生學習情況并及時對個別學生進行輔導．
教師：抽學生回答上述兩個問題．
學生1：在數軸上與1，－3 ，5到原點距離相等的點分別是－1，3，－5．
圖2
教師：板書并在數軸上標出到原點與1，－3 ，5距離相等的點．
學生2：在數軸上與原點距離相等的點有2個．它們表示的數分別是：1和－1，－3和3，5和－5．
學生3：這些點在數軸上的位置特征分別是：
①在原點的兩旁；
②到原點的距離相等，
③關于原點對稱．
學生4：1和－1，3和－3，5和－5這些數中每一對數的特點是數字相同，符號不同．
教師：根據上面對“1和－1”、“3和－3”、“5和－5”這三對數的特征的理解，怎樣給相反數下一個定義？
眾生：像1和－1、3和－3、5和－5這樣只有符號不同的兩個數叫做互為相反數
教師：板書（略）并強調“只有符號不同的兩個數”中的“只有”指的是除了符號不同以外，其他的完全相同．不能理解為只要符號不同的兩個數就是互為相反數，比如－3和2就不是相反數．
評析：在演示活動后，已出現了2、－2這兩個數，教師及時闡明它們就是互為相反的兩個數，這時不急于總結互為相反數的概念，而是提供了一個讓學生經歷利用數軸找一組互為相反數的兩個數，先觀察這兩個數在數軸上的位置關系，再觀察這兩個數本身的特點，更形象直觀地引導學生理性得出相反數的概念和培養學生嚴謹的治學態度，有效地落實了情感態度價值觀的教學目標．
互為相反數的概念的理解
教師：（出示投影）請學生思考后解答下面的問題：
（1）根據相反數的意義，判斷下列語句的正誤，并說明理由．
①的相反數是（ ）
②和互為相反數（ ）
③0既非正數也非負數，所以它沒有相反數（ ）．
師生活動：學生思考后并回答上述問題，教師講評（過程略）．
評析：根據學生判斷的結果加深對一個正（負）數都對應一個負（正）數，這兩個數互為相反數中“互為”兩字的理解，同時明確“0的相反數仍是0”，這也是相反數定義的一部分．
（2）解答下列問題：
①在前面畫的數軸上任意標出4個數，并標出它們的相反數；
②分別說出9，－7，－0.2的相反數．
③指出－2.4，－1.7，1各是什么數的相反數？
④0的相反數是什么？
⑤a的相反數是什么？
師生活動：學生分成許多小組后，討論解答上述題目，并選代表準備回答教師的檢查提問． 教師巡視學生分組學習情況和提問，講評（此過程略）．
評析：通過此組題目的解答，使學生再一次感知相反數的意義． ①題注意培養學生運用數形結合的方法理解相反數的概念，讓學生深知：數軸上，在原點兩旁，離開原點相等距離的兩個點所表示的兩個數互為相反數；②③④題是對相反數的概念的直接運用，由特殊的數到一般的字母，緊扣“只有符號不同的兩個數叫做互為相反數”這一概念． 最后得出結論“a的相反數是－a”． 這一環節使“理解相反數的概念”這一教學目標得到落實．
教師強調：“a的相反數是－a”還可說成“a和－a互為相反數”， “a”可表示任意數（正數、負數、0），求一個數的相反數就是在這個數前加一個“－”號．
教師問：把a分別換成＋5，－7，0時，這些數的相反數怎樣表示？
學生思考后答：求任意一個數的相反數可以在這個數前加一個“－”號，即：＋5的相反數表示為－（+5），－7的相反數表示為－（－7），0的相反數是－0．
教師再提出問題：在一個數的前面加上“－”號表示這個數的相反數，那么－（＋1.1）表示什么意思？－（－7），－（－9.8）呢？它們的結果應是多少？
學生活動：討論、分析、思考后回答：
學生1：－（＋1.1）表示＋1.1的相反數，結果是－1.1．
學生2：－（－7）表示－7的相反數，結果是+7．
學生3：－（－9.8）表示－9.8的相反數，結果是+9.8．
教師引導：在一個數前面加上“－”號表示這個數的相反數，如果在這些數前面加上“＋”號呢？
學生思考后回答：在一個數前面加上“＋”仍表示這個數，因為“＋”號可省略．
教師：通過前面的學習交流，我們基本了解了相反數的有關概念，請同學們思考后用自己的話說出相反數的意義？
學生1：相反數是指只有符號不同的兩個數．
學生2：互為相反數的兩個點到原點的距離相等．
學生3：還有在數軸上，互為相反數（0除外）的兩個點位于原點的兩旁，并且關于原點對稱．
教師：同學們說得很好，對于相反數的概念理解得十分深刻． 怎樣確定一個數的相反數呢？
學生4：由正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0來確定．
學生5：在一個數的前面添一個負號就能確定這個數的相反數．
評析：通過此環節，加深了對相反數概念的理解，學生在愉悅的課堂氣氛中感悟學習數學的美好境界． 既體現了知識與技能、過程與方法目標的落實，又滲透情感態度價值觀教學目標．
例題交流、總結方法
例1 求5、－4.5、的相反數．
教師：請幾名學生根據相反數的意義到黑板上求出例題1這幾個數的相反數． （學生解題過程略）
教師講評后強調：求一個數的相反數，可以在這個數的前面添一個“一”號． 如－5的相反數可表示為－（－5），我們知道－5的相反數是5，所以－（－5）=5．
例2 化簡：①+（+3），②+（－3），③－（+2．7），④－－，⑤-［-（-9）］ ．
教師：讓學生先在練習本上試著做一做，指名學生說說化簡的理由（學生答，教師板書過程略）．
評析：由于利用相反數的概念化簡符號是這節課的難點．在例題的教學中，教師在講評時緊緊抓住學生的心理及時提問：“既然a的相反數是－a，那么例1中的各數的相反數怎樣表示呢？”在學生理解表示一個數的相反數的一般方法后，再引導學生由一般到特殊的思維得出例2各小題的結果，抓住了關鍵，突破了難點．
嘗試練習，鞏固提高
1． 填空
－（－2.8）=________；?搖+（－7）=________；
－（+3.4）的相反數是________；－（－2.6）是________的相反數；相反數等于本身的數是________．
2． 根據a+（－a）=0，由（－8）+x=0，可得x=________；由y+3.75=0可得y=________．
學生解答，教師講評略．
總結經驗，評價所學
教師：通過這節課的學習，你們對相反數的意義理解了些什么？還有什么缺憾？評價一下自己這節課的學習情況．
一部學生談自己對相反數的意義的理解和這一節課的收獲． 然后大家共同分享成功（略）．
教師：作業（略）
綜述：本節課的教學內容對學生來說并不缺乏認識基礎，學生已經掌握正數、負數和數軸的有關知識，如何借助數軸理解互為相反數的意義，具體地說，就是要解決這樣兩個層次：什么樣的數叫互為相反數？怎樣確定一個數的相反數？本節課緊緊圍繞借助數軸理解互為相反數的意義這一教學目標，以教學生如何分析問題為突破口，以提升學生歸納能力為重點，以讓學生形成積極探求新知的欲望為情感目標，成功設計出層層遞進的“問題鏈”，用問題激活學生思維，用問題推進教學進程，用問題引導學生探究，最終以問題的解決落實教學目標．
