時間：2023-02-20 16:43:19
序論：在您撰寫離散數學論文時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
我們經常會碰到一些好像不知如何解答的問題，而用假設法分析和推理往往可以使問題迎刃而解。比如有這樣一道題：
某商店A、B、C三種商品單價分別是10元、6元、4元，小王買了這三種商品各若干件，共付錢40元。后來，小王覺得其中一種商品買多了，想退還其中兩件商品，但是營業員只有20元面值的人民幣，沒有零錢退。小王只好調整其他兩種商品的購買數量，使總價保持不變。小王買得B商品多少件？初看這題，一時不知從什么角度思考，而從假設開始分析，層層推理，思路慢慢就清晰。
1．假設想退還的兩件是A商品。10×2=20（元），營業員有20元面值的人民幣，可以退還。與題意不符。
2．假設想退還的兩件是B商品。6×2=12（元），不可退還，而12÷4=3（件）正好可以調整3件C商品，符合題意。
3．假設想退還的兩件是C商品。4×2=8（元），要是總價保持不變，就不能調整其他商品，不符合題意。
從而，可以得出：想退還的商品是B商品。
下面繼續用假設法分析。
1．假設原來A商品買了3件，還剩40-10×3=10（元），10=6+4，則B與C商品就只能各買一件，與前面分析的結論不符。
2．假設原來A商品買了2件，還剩40-10×2=20（元），20=（6+4）×2，則B與C商品就只能各買兩件，與前面分析的結論和題意不符。
則A商品只買了一件，買B商品與C商品的總價是40-10=30（元），再根據B商品要退還2件再列表分析：
從而得出B商品原來買了3件，現退還2件，只購得1件商品。
可見用學會用假設法分析、推理，對思考解決問題是很有幫助的。下面我出一題，同學們可用這種方法思考解答。
排球的單價是58元，足球的單價是85元。學校買了排球和足球共14個，一共用去1028元。學校買來的排球和足球各有多少個？
二、“騙人的”余數
“叮咚”門鈴一響，媽媽回來了，“生日快樂!”話音剛落，媽媽從背后拿出了一盒包裝精美的蛋糕。哦，我差點忘了！今天是我的生日呀！正當我迫不及待地想打開蛋糕盒時，發現還有一張小巧彩色卡片。我抬頭望了望媽媽，只見媽媽神秘地說：“先答題，答對了才能吃蛋糕哦！”??！媽媽簡直變成了“開心辭典”里的王小丫了，我只能先咽下口水，沉著“應戰”了。
我看了看卡片，上面是一道應用題：2010年上海世博會前夕，一家學生旅行團來上海預訂房間，酒店有三種房間：三人間每間135元；二人間每人100元；四人間每人120元，這個團男生15，女生12人，要求男女生分開住，他們怎樣預訂更省錢呢?我思考了一會兒,決定用列表法解題：
從表中就能很清楚地看出四人間是最省錢的，每人只要付30元，那就再分別計算男、女生各需多少錢。
女生：12÷4×120=360元
男生：15÷4=3（間）…3（人）
則男生要花：3×120+135元=495元
共需360+495=855元
正當我自鳴得意時，媽媽提醒我這樣預訂房間是不是最省錢?。课易屑殭z查了一下,這才發現做錯了，在計算男生房間時被那討厭的余數蒙騙了，其它剩下的3個人完全可訂最便宜的四人間，那男生只需花：3×120+120=480（元）
則共花：360+480=840（元）是最省錢的
這道題的余數就象是一個陷阱，容易誤導人，一不小心就錯了，看著媽媽的贊許的目光，我吃著香甜的蛋糕，覺得今天的生日蛋糕是最好吃的。
三、計算“魔術師”
每一次考試，基本上都要考到計算，同學們肯定都厭煩計算，特別是四則混合運算，再加上分數、小數，真是煩上加煩。但是，考試終究是要考到計算，那怎樣讓計算不那麻煩，不容易出錯呢？那就要用上簡便計算的定律了它可以像一個魔術是一樣讓我們的混合運算更加的簡便！
常見的簡便計算的定律有：乘法分配律（也就是提取公因數）比如說下面一題就是在我們看過的一道題目：0.88×93+0.88×7如果這道題目列豎式計算的話會很麻煩，也有可能算錯。如果要簡便計算的話就可以把97和3相加，然后就可以簡便計算了：
0.88×97+0.88×3
=0.88×（97+3）
=0.88×100
=88
這樣計算就簡便多了，不用再去死算，而且不容易出錯。
在計算中，雖然可以用計算公式但是有一些題目還需要一步一步地算，比如說有兩組很容易就上當的四則運算：12×48÷12×48和12×48÷（12×48）。第一個看上去可以很快的算出來，其實，這只是一個陷阱，如果非要在第一個上簡算，也可以用×12和÷12抵消，轉化成48×48。而第二個的運算順序和第一個是相反的，先算括號里的12×48，然后按照運算順序把前面的12×48算出來，就可以轉化成1÷1結果等于1。
關鍵詞：離散數學；實驗教學；實踐能力
離散數學課程所涉及的概念、理論和方法，大量地應用在計算機科學體系中，數理邏輯是計算機中的邏輯學、邏輯電路、人工智能的基礎課程，集合與關系是數據結構、數據庫系統的理論基礎，而代數系統則是現實世界的縮影，直接模擬了現實系統，圖論知識更是直接應用在計算機網絡、數據結構、編譯原理等專業課程中。但傳統教學中過于注重理論教學而忽略實踐，學生普遍認為枯燥難懂，認為是純粹的數學課程，對計算機編程用處不大。因此教師在授課過程中要注重理論聯系實踐，培養學生的專業素養，我們將從以下方面循序漸進加強教學理論與實踐。
1課程教學注重教學方法與教學實踐的改革與創新
加強理論聯系實際，從提高計算機編程思想的角度對學生展開教學，教師在講解理論的同時，要注重其實際應用與算法描述。例如在講解最短路徑時，就要介紹Dijkstra算法，單源最短路徑的基本思想如下：設S為最短距離已確定的頂點集(看作紅點集)，V-S是最短距離尚未確定的頂點集(看作藍點集)。
①初始化：只有源點s的最短距離是已知的(SD(s)=0)，故紅點集S={s}，藍點集為空。
②重復以下工作，按路徑長度遞增次序產生各頂點最短路徑：在當前藍點集中選擇一個最短距離最小的藍點來擴充紅點集，以保證算法按路徑長度遞增的次序產生各頂點的最短路徑。當藍點集中僅剩下最短距離為∞的藍點，或者所有藍點已擴充到紅點集時，s到所有頂點的最短路徑就求出來了。
我們通過實例給學生模擬算法執行過程，驗證算法的正確性，但細心的學生會發現前面加進去的點并不一定是后期考察路徑的必經點，例如有三個點A，B，C，AB、BC、AC間權值分別為1，2，4，如果設A為源點，則第一次加進來的點是B，到C的最短路徑應該是A-B-C，如果BC權值為4，則到C的最短路徑應該是A-C，這里就要注意紅點集加入的點不是其他點必經點，這是因為集合元素是無序的，不是聯結已有的點作為最后點的路徑的。
我們給出求解的動畫演示過程，加深學生的認識，實際多應用在交通網絡中路徑的查詢中，兩地之間是否有路徑以及如果有多條路徑時找最短路徑等，最后再對算法進行擴展解決單目標最短路徑問題、單頂點對間最短路徑問題等，擴展學生對算法的理解等。
在講解邏輯推理時，建議學生使用Prolog語言可以輕松實現命題和聯結詞表示以及邏輯推理，代數系統則是無處不再，自動售貨機、電梯系統、自動取款機等都是一個代數系統，有自己的運算關系，鼓勵學生定義一些運算，完成一個具有輸入輸出的可交互的系統。
2建設完善實驗課程體系，加強學生實驗實踐能力
挖掘課程內容，建設完善的實驗課程體系，實驗課程的主要目的是，培養學生的數學建模能力、算法設計能力、編寫程序能力和應用創新能力，使學生養成良好的數學素質。學生可以有選擇地做。
(1)基礎實驗如表1所示，基礎實驗設計一些離散數學基本問題，要求學生利用所學基礎知識，完成相應的算法設計和程序實現。如在集合論部分，設計有限集基本運算算法設計實驗，要求學生利用熟悉的程序設計語言完成有限集合的數據結構、集合間的交、并、差、迪卡爾積、子集判斷等基本運算。學生可以在每部分中自由選部分題，完成一定的基礎實驗。這樣的設計使得學生學會基本操作，鞏固程序設計基本調試方法的掌握。
(2)綜合性實驗如表2所示，設計一些比較復雜的離散數學問題，要求學生綜合運用各章知識或多學科知識，完成問題的分解與求解、綜合和整體實現。例數理邏輯部分的命題真值表計算實驗中，要求學生設計實現命題數據結構、五種基本邏輯運算的代數運算轉換、表達式求值等；學生需要綜合運用命題邏輯、數據結構等知識，完成實驗各個環節，實現運算結果的顯示?？捎蓭讉€同學組成一個學習小組完成實驗。
(3)設計性實驗如表3所示。這一層次要求較高，對那些學有余力、興趣濃厚的學生，給出一些難度較高的課題，要求他們自行設計問題描述模型和實驗方案，開發實現小型應用軟件。例如，要求學生針對某景區內景點的分布情況，設計可滿足旅游者不同需求(如費用最省、線路最短、重復較少、景點最全等各種要求)的實用小軟件。教師檢查實驗現象和實驗結果。學生對實際程序的運行結果應能進行分析并提出改進方法，每完成一個實驗，都要求寫一份實驗報告，挑選出好的作品，做成精品演示系統。
3發現實際應用點，擴大學生知識面
讓學生了解離散數學在現實生活中的主要應用，有意識地引導學生運用所學理論去分析問題、解決問題，從而讓學生充分感受到離散數學這門課程的魅力和實用價值。部分實際應用如表3所示。鼓勵學生按照如下流程操作：發現問題，然后構思一個可能求解該問題的算法過程，再設計算法并將其表達為一道可執行程序，最后精確地評價這個程序，考查其作為一種工具去求解其它問題的潛能，鍛煉學生數學建模能力，提高分析問題，解決問題的能力。
4建設開放式教學環境，豐富網絡教學資源
充分利用網絡學堂、課程學習網站等豐富的教學資源，構建了開放式的教學環境，我們開發了離散數學教學網站，模塊包括：實驗、實驗申請、已審核實驗、成果展示、精品展示、在線解答(前臺如圖1所示，后臺如圖2所示)、資料下載等模塊，實驗項目可選或自擬，增強了師生間互動，也為學生個性化學習提供了良好的條件。
學生可以在任何時間遠程登陸，發表咨詢，下載資料，參與實驗項目，申請實驗項目，獲得批準后，我們開放實驗室免費提供設備，實驗項目結題后提交成果，我們從中提煉出精品，做成精品演示系統，學生還可以對已有成果做深入研究。
總之，鼓勵學生吃透書本，挖掘理論的應用領域，鼓勵學生改進算法、挖掘應用點，從抽象的理論到實際應用，再擴大應用，抽象到一般情況，讓學生感覺到學習離散數學的重要性，理論與實踐相結合，互相促進，切實提高大家學習離散數學的興趣，能夠達到學生積極主動為了實現應用而吃透理論，發揮主觀能動性。采用項目訓練為主的教學理念，切實提高學生的實際動手能力、創新能力和自學能力。
參考文獻：
[1]耿素云，屈婉玲.離散數學[M].北京:高等教育出版社.
1.1教學內容改革
1.1.1精選部分章節詳細講解我認為應該詳細講述數理邏輯、集合論、圖論三大部分，數理邏輯部分主要講述命題邏輯推理的形式規則，學好此章節有利于培養學生的推理能力，此部分內容廣泛應用于人工智能之中，早期的智能系統主要應用的是數理邏輯中的推理規則，將自然語言進行符號化，而語言的符號化就是數理邏輯部分要研究的內容。集合論中有一部分關于集合方面的知識，學生在高中的時候已經接觸過，所以不用對此部分進行深入教學，但是集合論中有一部分關于二元論的知識，二元論知識是數據庫知識的基礎，關系數據庫的邏輯結構是由行和列構成的二維表，表之間的操作需要用到離散數學中的笛卡爾積的知識。圖論是數據結構的基礎，如數據結構中的線性表、棧、隊列等都要用到圖論的知識，數據結構中的一些算法也會用到此部分的知識，如求最小生成樹，最短路程，二叉樹的遍歷等，同時圖論也可以應用到計算機網絡中，如求節點間最短路徑。所以我認為應在眾多的內容之中，重點掌握這三部分知識，讓學生在短課時深入理解這三部分內容。其余部分的內容，如果學生在以后的學習與研究中需要利用到離散數學中的知識，就可以再對其他部分的內容進行深入學習與研究。
1.2.2增加實驗教學內容目前大多數院校的離散數學教學都是采用純理論上課的形式，很少有實驗部分，從而導致學生認為此門課程無關緊要。為了改變學生的這種錯誤認識，我認為可以在離散數學的教學中增加實驗內容。計算機專業的大一學生已經開始學習C語言課程，有了一定的編程基礎，可以設計一些與離散數學有關的題讓學生進行編程實現。命題邏輯部分涉及公式的判定類型，可以讓學生編寫程序實現公式的判定算法；圖論中涉及最短路徑，可以讓學生編寫求帶權最短路徑算法；二元關系中關系的性質具有自反、反自反、對稱、反對稱、傳遞五種關系，可以讓學生嘗試通過編程實現判定關系的算法。通過實驗部分增強學生的動手能力，不但可以讓學生對所學的內容理解得更好，而且可以讓學生將理論與實踐相結合學有所用，更與我們院校朝應用型轉型相符合。
1.2教學方法改革
為了達到改變學生對待離散數學的錯誤態度，培養出具有創新能力的學生，我認為很有必要對教學方法進行改革，引導學生自主學習，培養學生的自學能力，達到最終的教學目的。
1.2.1趣味教學教師是教學的主導者，對教學起著重要作用。由于離散數學是一門偏數學的教學，難免會有些枯燥，學生的興趣度不是很高，因此如果教師能在教學過程中做到幽默風趣，給學生在傳授知識的同時，能夠把有些同生活密切相關的知識講得生動具體形象，從而提高學生的學習熱情。數理邏輯部分中的命題邏輯部分的知識就有很多和生活密切相關，在講課的時候，可以告訴學生，我們在生活中每天都會涉及推理，我們判定他人講的話是真是假的過程，其實就是一個推理的過程。判定一個人是否成熟、講話是否經過深思熟慮，也可以從他講話的嚴謹程度進行判斷，這還是一個推理的過程。同時可以告訴學生邏輯推理在我們的公務員考試行政職業能力與測驗中經常要用到，如果有對考取公務員感興趣的同學能深入學習和理解這部分內容，對邏輯推理部分有很大的幫助，從而提高學生對此門課程的關注度。教師在教學過程中應該展現自己的個人魅力，讓學生喜愛教師的講話風格、教態等，從而提高學生的學習興趣。
1.2.2板書與多媒體相結合目前高校教學普遍采用多媒體進行教學，利用PPT教學可以節約板書時間，更高效地進行教學，但是離散數學與其他學科相比有自己的特點，定理多、概念多、推理多，如果完全采用多媒體教學，則學生難以跟上老師的思路。建議定理和推理采用板書形式，一步一步進行演算，幫助學生理解。一些概念和定義采用多媒體教學，節約板書時間。同時對于一些難以理解的內容如圖論中求最短路徑可以采用動畫的形式進行演示，使其更形象、具體，提高學生的學習熱情。
1.3教學手段改革
鑒于離散數學課程不易理解、比較難學的特點，因此我們有必要改革教學手段，使得離散數學的教學更具體形象，讓學生更易理解所講內容，提高學生的學習熱情。當今是互聯網時代，大家都可以利用網絡獲取信息資源。建設一個離散數學學習網站，可以幫助學生利用課余時間學習。此網站可上傳教師的教學視頻，學生可以在課余時間根據自己的學習情況進行有針對性的學習，同時教師也可以將課后習題上傳到網站上供大家練習，管理員給每個學生分配一個賬號，讓學生進行登錄觀看教學視頻、做習題、建立討論區共同學習探討，也可以在留言板上給教師留言，等待教師就相關問題作出回答。同時在網站上把離散數學中的一些比較經典的算法和方法，鼓勵學生編程實現，學生可以上傳其實現的算法，供大家共同學習和探討，提高大家的動手能力，這也是和目前院校轉型為應用型本科是相符合的。通過網絡這樣一個平臺，在課余時間增加同學、師生之間的交流和互動，帶動學生學習。
2結語
那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：
⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。
⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。
⑶推理過程因果關系模糊不清。
針對以上的原因，我們在教學中采取了一些自救對策。
一、教學環節
對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設計如下：
基本要求重新建立表象推理模式組合定理聯想定理
二、操作分析和說明
⒈定理的基本要求
我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。
例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
一劃：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。
如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。
二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。
如：
三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達，允許采用等同條件。
如：ABC是Rt，CDAB于D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。
學生在書寫時果然出現了一些問題：
①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對條件太簡單的不會寫（如定理3）；或者把條件當成結論（如定理12把三線都當成結論）。
②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個定理中出現××，又××，××的錯誤。
③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件（如定理7出現∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；條件重復（如定理49，結論∠APO＝∠BPO已經包括過圓心O，學生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。
⒉重新建立表象
從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則?！氨硐蟆本褪侨藗儗^去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實例引導學生，下面是一段經整理后的課堂教學主要內容：
⑴問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？
答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子里就會浮現出垂徑定理。
目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。
繼續問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？
答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學生想到了兩條平行弦……
目的：通過表象，進行聯想，使學生理解定理間的聯系。
⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯系的定理嗎？
答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化，加深定理間的聯系。
⑶下面的步驟，我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯系和區別。從學生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯系，在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段，也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯系起來。
下面摘錄的是學生自主思考后，得到的富有創意性的結論。
①定理16（延長中線成矩形）定理24（作矩形的外接圓）定理34。
②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）定理36（一線平移成切線）定理47、48（繞切點旋轉）定理50。
③如下圖，把EF向下平移（或繞A點旋轉），使定理37和50聯系起來（有同結論∠α＝∠D）：
⒊推理模式
從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三種基本推理模式。
具體教學分三個步驟實施：
⑴精心設計三個簡單的例題，讓學生歸納出三種基本推理模式。
①條件結論新結論（結論推新結論式）
②新結論（多個結論推新結論式）
③新結論（結論和條件推新結論式）
⑵通過已詳細書寫證明過程的題目讓學生識別不同的推理模式。
⑶通過具體習題，學生有意識、有預見性地練習書寫。
這一環節我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。
但教學表明學生仍然出現不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結為對推理的因果關系不明確、定理是推理的依據和單位不明白。因而我們根據需要，又設計了以下一個環節。
⒋組合定理
基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環節，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合后構造圖形，進一步強化學生“用定理”的意識。
下面通過一例來說明這一步驟的實施。
例1：已知如圖，四邊形ABCD外接O的半徑為5，對角線AC與BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面積。（2001年嘉興市質量評估卷六）
證明：連結OB，連結OA交BD于F。
學生從每一個推測符號中找出所對應的定理和隱含的主要定理：
比例基本性質S/AS/證相似相似三角形性質垂徑定理勾股定理三角形面積公式
由于學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務：給出勾股定理，你能再結合一個或多個定理，構造圖形，并編出證明題或計算題嗎？
實踐表明：經過“模式＋定理”書寫方法的熏陶后，學生基本具備了完整書寫的意識。
⒌聯想定理
分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創造條件。圖形固然可以引發聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對于識圖或想象力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的“已知、求證”上給學生以支招，即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想象。
例：如圖，O1和O2相交于B、C兩點，AB是O1的直徑，AB、AC的延長線分別交O2于D、E，過B作O1的切線交AE于F。求證：BF∥DE。
討論此題時，啟發學生由題設中的“AB是O的直徑”聯想定理“直徑所對的圓周角是90°”，因而連結BC；“過B作O的切線交AE于F”聯想定理“切線的性質”，得出∠ABF＝90°。從而構造出基本圖形②③。
由命題的結論“BF∥DE”聯想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質結合在一起，學生就易于思考了。
這一環節我們的引導語有：“由已知中的哪一個條件，你能聯想起什么定理？”、“條件組合后能構成哪個定理？”、“有無對應的基本圖形？”、“能否構造出基本圖形？”等。目的是讓學生樹立起“圖形＋定理”的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。
三、幾點認識
復習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳復習途徑，因此在復習時，我們始終堅持主體性原則。在組織復習的各個環節中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規律讓學生體會，創造性的解答共同完善。
“沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答后讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生盡快形成一種解題思路、書寫方法。
集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反復滲透。
參考資料：
魯迅先生的《從百草園到三味書屋》，無論就課文的結構安排，篇幅比例，還是思想立意，“百草園”和“三味書屋”二者的描寫比重，都有著嚴格均衡的對照作用。而且，作者寫百草園中的自然之美、自在之趣、自由之態，大多是為了襯托三味書屋中毫無生命力的封建啟蒙教育，借以表明作者嚴肅的批判態度，因此，從作家的創作意圖分析，全文的描寫重心在于“三味書屋”。
但是，由于當代中學生和年輕的語文教師對舊式私塾教育方式與內容的陌生，也由于魯迅對百草園景象與生活的依戀更容易引發中學生活潑的興致，因此，通常采用的教學安排都有重前輕后的偏向，即重點閱讀分析百草園一段的描寫，對三味書屋的重頭描寫則一帶而過，這種處理方法表面似乎突出了重點，但卻有避重就輕的偏向。
只要我們略微深入地想一下便不難發現，百草園一段中的景物描寫，表現的是一種直觀的感受，切近孩子的生活與心理，學生一讀便能理解，教師反復講解分析實在不很必要。作家對三味書屋內毫無生氣的學習生活描寫，則并非單純的記實，而是作家內心的獨特感受和批判態度的深刻表露。不突破這個教學難點，課文深刻的思想內涵就無法講透。況且，魯迅先生行文中的批評態度表現得十分含蓄、深沉，其中也不乏幽默，最具“魯迅風格”，如果不領會三味書屋一段的深刻描寫，抓住全文的對比和照應關系，進而領悟魯迅散文獨特的批判精神和藝術風格，那么勢必舍本逐末，降低了這篇精典散文在思想與知識兩個方面的教育功能。
要深入領會三味書屋一段描寫中所蘊涵的豐富意味，教師需要了解以下知識，細致把握描寫中隱伏、照應的多重細節聯系。
何為“三味”，古人有兩種說法：其一是前人對讀書感受的一種比喻，“讀經味如稻粱，讀史味如肴饌，讀諸子百家味如醯醢，”三種體驗合稱為“三味”。其二是借用佛教語言，“三味”即“三昧”，是梵文samadhi的音譯，原指誦讀佛經、領悟經義的三重境界：一為“定”，二為“正受”，三為“等持”，意思是說，誦經之前要止息雜念，做到神思安定專注；領悟經義態度必須端正，具有百般恭敬的虔誠；學習過程中要專心致志，保持始終如一的精神。隨著佛教思想與漢民族文化的融合，“三昧”逐漸引申為對事物本質精神意義的概括，有“個中三昧”，“得其三昧”等說法，用來比喻領悟學問的精確與深刻。由此可知，私塾的主人壽鏡吾先生將私塾命名為“三味書屋”，本意是要創立一種最佳的教育境界。
但是，正如封建沒落時期的其他精神文化產品一樣，總是有著既相互包容、又互相對立、沖突的特征，書屋講壇的安排正隱含了這一特征：“中間掛著一塊匾道：三味書屋；匾下面是一幅畫，畫著一只很大的梅花鹿伏在古樹下，沒有孔子牌位”。魯迅先生為什么要憑空添一句“沒有孔子牌位”呢？從這個簡潔的暗示中，我們可以領悟到更深刻的意味。
作家對三味書屋的描寫，已經不像描寫百草園那樣純粹用孩子的直觀方法了，而是介入了作為思想家的魯迅的文化審視，這種審視首先發現的是三味書屋中“名”與“實”的矛盾。匾上大書“三味”，有鮮明的佛教特色；畫中是“梅花鹿伏在古樹下”，有一種清空消遙的自然情趣，十足的道家風味；可偏偏“沒有孔子牌位”，這對正統的儒家文化無疑是一種嘲諷，它暗示了晚清時期封建思想無法抗拒的衰落。
的確，在18世紀末期，封建思想的神圣地位不僅被帝國主義的堅船利炮所動搖，并且也由于自身教育的貧乏與空泛而無力振作。這種神圣與貧乏的強烈對照，表現了魯迅對封建教育制度的批判與諷刺。
書屋稱作“三味”，先生的外表也有三個特征：“他是一個高而瘦的老人，須發都花白了，還戴著大眼鏡”；先生的德行也有三個長處：“極方正，質樸，博學”；他的教學安排每天都一樣：“早上讀書”，“正午習字”，“晚上對課”；教學過程也分為三步：“從三言到五言，終于到七言”……總之，作家對于書屋生活的每一個細節描寫，處處都與“三”字相照應。連孩子們偷跑到園子里玩游戲也是三種玩法：有的“爬上花壇去折臘梅花”，有的“在地上或桂樹上尋蟬蛻”，還有的是“捉了蒼蠅喂螞蟻”。先生的教育方法也有三個招數：“他有一條戒尺，但不常用”；“也有罰跪的規則，但也不常用”；“普通總不過瞪幾眼，大聲道——‘讀書’！”。甚至連先生的教學用語也只記述了三句，一曰“不知道”！二曰“人都到哪里去了”！三曰“讀書”！如此而已，整個三味書屋中的一切，簡直如同一部固定僵化的《三字經》！
作家不惜疊床架屋的關于“三”的排列，絕非無意中的巧合。筆者認為，魯迅如此精心安排，其目的正是要揭示這樣的思想意義：三味書屋中僵化的教學程式、死板的教育方法、毫無用處而又不知所云的教學內容，同孩子們來自百草園的自由天然的童趣反差太大，不可調和；孩子們對毫無生命力的封建教育，只能報之以無味的興趣，無聊的情緒，無盡的懷疑；而只有當先生進入“個中三昧”、得意忘形、忘記了身邊的孩子的時候，孩子們才能重歸于自由，恢復童心、童趣，做點于自己很相宜的事情：講講有趣的話語，畫幾張自己喜愛的畫片，做點自己需要的小交易。大約這才正是孩子們讀書生活中真正屬于自己的“個中三昧”吧！
在《從百草園到三味書屋》這篇課文中，對百草園的景物描寫是外在的，直觀的，是用童心直接感受的；對三味書屋的場面描寫和人物描寫則是內在的，隱含的，是童心感悟與思想家的審視相交織的；百草園和三味書屋的對比是鮮明的，均衡的，是相輔相成的，教學中顧此失彼的方法是不可取的。
關鍵詞：思維三元理論、高中數學
隨著社會信息化的加速，復雜多變的社會對人的思維能力提出了更高的要求，給教育教學也提出了更大的挑戰。知識經濟時代強烈呼喚學校教育學科教學滲透思維能力的培養，然而學習和思維不是彼此獨立的，而是緊密聯系在一起的。學生應該在思維活動中學習，并且也學習思維本身。斯騰伯格的思維三元理論為教學提供了新的理論基礎。
一、斯騰伯格的思維三元理論
思維三元理論是美國耶魯大學教授斯騰伯格提出的，根據思維三元理論，思維可以劃分為三個層面：分析性思維、創造性思維和實用性思維。分析性思維涉及分析、判斷、評價、比較、對比和檢驗等能力，創造性思維包含創造、發現、生成、想象和假設等能力，實用性思維涵蓋實踐、使用、運用和實現等能力。這三種思維能力對于所有人來說都很重要，其實，每個人的思維都是分析性、創造性和實用性思維按不同比例合成的產物。擅長于分析性思維的人善于解決熟悉的問題，通常是學術性問題；強于創造性思維的人善于解決相對新奇的問題，善于提出自己的見解，采用獨特的策略解決問題；長于實用性思維的人則善于解決日常生活中的問題，能夠很好地適應社會和工作的要求。我們的教育需要培養具備三種思維模式的綜合思維的人才，而不是僅僅重視其中某一種。當然，對于最具智慧的人，并不需要在這三種類型的思維模式上都具有非常高的水平。真實生活中的聰明意味著能夠最大限度利用自己所擁有的資源，而不是必須符合其他任何人對聰明所抱有的刻板定義。
思維三元理論不同于傳統智力理論，傳統智力理論側重于學業智力的發展，重視分析性思維，強調學生在學校中的智力發展和成績表現，而思維三元理論不僅強調IQ式的智力，同時強調情境性智力，情境性智力指個體在現實生活中，有效地適應環境、改造環境并從中獲得有用資源的能力。思維三元理論認為脫離情境考察智力是不正確的，有時會的出極端錯誤的結論，在現實生活中實用性思維能力非常重要，但在學校中卻得不到充分的重視。因此思維三元理論強調分析性思維、創造性思維和實用性思維協調發展，健全人格完善智力。
思維三元理論也不同于多重智力理論。加德納的多重智力理論詳細闡述了天賦的領域，而且在應用上，多重智力理論強調這些領域（如音樂的和身體動覺的）應該融入學校課程；而思維三元理論詳細闡述了人類知識的用途，即為了分析的、創造的或實用的目的，思維三元理論可以應用在所有的學科和領域。當然，這兩大理論也并不抵觸，兩者往往被結合起來研究。
二、應用思維三元理論進行高中數學教學的必要性
1、傳統智力理論下的高中數學教學現狀
首先，傳統智力理論內涵過于狹窄，把智力局限于學業智力，把思維局限于分析性思維，同時傳統教育理念下把數學視為培養邏輯思維能力的工具性學科，忽視了數學的應用價值、人文價值和美學價值。因此，數學教學與評價包括考試，側重于分析性思維能力培養及測試，一定程度上忽略了對實際工作也同樣需要甚至更需要的創造性思維能力與應用性思維能力。其次，傳統智力理論下數學教學忽略了數學知識與現實世界的聯系。數學跟現實不在于空間上的距離，更在乎教學內容和教學方式上的距離。比如，數學教學中的題目是結構良好的問題，而實際工作生活中真正的問題大多是結構不良的問題。所謂結構良好的問題，就是可以清晰而具體地列出一步步的解決方案，而在現實生活中，結構不良的問題則是無法列出這些具體步驟的，解題條件是復雜的，答案未必是唯一的。一個人適應解決結構良好的問題，未必適應解決實際生活中結構不良的問題。
可見，傳統智力理論下的數學教學現狀總的缺陷就在于缺乏對學生思維能力的培養，特別忽視思維能力的平衡性。分析性思維能力、創造性思維能力和應用性思維能力各有各的用處，不能相互替代，卻可相互促進。每個人所具有的這三種能力是不一樣的，有人強于分析性思維能力，弱于創造性思維能力或應用性思維能力，有人卻相反。過分關注分析性思維能力的培養和評價，而忽略創造性思維能力和應用企思維能力的培養和評價，造成分析性思維能力強而創造性思維能力或應用性思維能力弱的學生在學校中得寵而在實際生活中失寵，創造性思維能力強或應用性思維能力強而分折性思維能力弱的學生在學校中失寵而在社會上出類拔萃，這樣的現象就不難理解了。
2、高中數學新課標的要求
高中數學新課標要求教師注重提高學生的數學思維能力，這是因為數學思維能力在形成學生的理性思維中發揮著獨特的作用，而理性思維能力恰是一個生活在信息時代的現代人所必須具備的素質之一。因此在教學中應該體現“以學生為本”“貼近生活實際”的現實要求，努力實現“人人學有價值的數學”“人人都能獲得必需的數學”“不同的人在數學上得到不同的發展”。
“人人學有價值的數學”是指作為教育內容的教學，應當是適合學生在有限的學習時間里接觸、了解和掌握的數學。有價值的數學應滿足素質教育的要求；應有助于健全人格的發展；應對未來學生從事任何事業都有用。“人人都能獲得必需的數學”是指作為教育內容的數學，首先要滿足學生未來社會生活的需要，這樣的數學無論是出發點和歸宿都要與學生息息相關的現實生活聯系在一起?！安煌娜嗽跀祵W上得到不同的發展”指每個學生都有豐富的知識和生活積累，每個學生都會有各自的思維方式和解決問題的策略，每個學生在思維教學中在三種思維能力上能夠得到不同程度的發展。
三、數學教學中應用思維三元理論的實踐
1、數學思維技巧的培養
根據思維三元理論，每種思維都是不可或缺的，因此在教學中必須使學生的思維獲得全面的發展。當教學和評價著重分析性能力時，就要引導學生比較和對比，分析，評價，批評，問題為什么，解釋為什么，解釋起因，或者評價假設。當教學和評價強調創造性能力時，就要引導學生創造，發明，想象，設計，展示，假設或預測。當教學和評價強調實用性能力時，就要引導學生應用，使用工具，實踐，運用，展示在真實世界中的情形。但不管三種思維過程如何高級和復雜，其背后的思維技巧只有一套。在高中數學教學中無論采用何種教學策略，都必須從七個學習技巧方面培養學生的思維能力。
一是問題的確定，在這個階段在這個階段，不僅要確定問題的存在，還要定義這個問題到底是什么。數學測驗中，答錯的學生經常是因為他們確定的問題并不是題目中所包含的問題，而干擾選項卻是這些錯誤問題的正確答案，于是他們按自己界定的問題選擇了這些選項，于是答錯了題目。二是程序的選擇，要想順利地解決一個問題，必須選擇或找出一套適當的程序。學生首先必須確定從哪些地方可能找到與主題有關的信息，并排除那些無關的信息，再分析各種信息的可信度等。學生為了解答測驗問題，必須選擇恰當的步驟，以便最終得出正確的答案。三是信息的表征，運用智力解決問題的時候，個體必須把信息表述為有意義的形式，這種表述可以是內部的（在頭腦中），也可以是外部（以書面的形式呈現）。如果對信息進行了有效的外部表征，經常會提高問題的解決速度，比如在解數學題時畫圖，僅用符號是無法做到這一點的。四是策略的形成，在選擇程序和表征信息的過程中，必須同時形成一些策略，策略按照信息進行表征的先后，把一個個程序按順序排列起來，形成步驟。如果步驟缺乏效率，那么不僅浪費時間和精力，還會影響最終的成果。在數學測驗中，運用普通的策略也可以解決這些問題，但花的時間就長了，要是稍微馬虎一點，最后是對是錯還說不定。聰明的學生會用一些創新性的策略來解決這些問題，但要找到這些創新性策略，考生必須花很多時間在策略的選擇上，而不是腦子里冒出一個策略，就盲目地采納這個策略開始答題。五是資源的分配，在實際解決問題時，時間與資源都是有限的。執行任務時，最重要的決策就是決定如何恰到好處地把時間分配給各個部分。時間分配得不合理，本來會很優秀的成果最終會變的平淡無奇。六是問題解決的監控，解決問題的進程中，我們必須隨時留意：已經完成了什么、正在做什么和還有什么沒做。七是問題解決的評價，它包括能夠覺察反饋，并且把反饋轉化為實際行動。在執行任務時，經常會遇到各種來源的反饋，包括內部的個體的主觀感受和外部的他們的看法。能覺察反饋，個體才有改進其工作和學習的可能。
2、創設情境，在用中學，學以致用
思維三元理論非常重視情境的作用，強調在情境中培養思維，特別是創造性思維和實用性思維。促進思維的教學策略有很多種，可以采用照本宣科策略，或采取以事實為基礎的問答策略，或采用最適合培養思維的對話策略。這些教學策略適合不同的教學內容、不同風格的教師和不同的學生，只要適當，每一種策略都是教學的好方法。但有一點不可忽視，培養思維最好的策略必然是創設情境，讓學生深入現實的問題中學習科學知識，培養邏輯思維能力和提出自己獨特的見解，能夠自如地解決生活中的問題。在用中學，學以致用，這是思維教學的一大目的，也是數學教學改革的一大宗旨。
（1）創設情境，拉近數學知識與現實應用之間的關系，解決數學在哪里，數學是什么，數學有啥用的問題。數學內容通過問題情景引入，強調讓學生經歷解決問題的過程，使數學的運用，從傳統上數學課程內容的終端，一下子置換到了起點。以前是把知識學完了再應用，現在是通過用來學、在解決問題的過程中學。創設情境，同時也促進了社會發展與數學課程之間、現代數學進展與數學課程之間的關系及相互影響。
離散數學課程中要點的離散性、知識點的分散性和探討問題的特殊性，使相當大的一部分學生在剛剛接觸該類課程時，對其中涉及到的一些概念和處理問題的方法往往感到疑惑.若僅僅采用傳統的理論教學方法，會造成學生對該課程的學習興趣不高，將會極大的影響教學效果。為此，在離散數學課程中運用復雜系統模型相關知識，實施系統化教學，以系統觀、大局觀、創新思維和綜合能力的培養為目標實施教學活動，將有助于學生掌握好該類課程.
2、復雜系統基本特征
近幾十年來，以具體應用的系統工程開始，逐步發展了一門新的現代科學技術---系統科學。對于一個系統，根據組成子系統以及子系統種類的多少和它們之間的關聯復雜程度，可分為簡單系統、簡單巨系統和復雜巨系統。其中，子系統種類很多并有層次結構，且關聯關系很復雜的，稱為開放的復雜巨系統（或簡稱復雜系統）。
雖然目前關于復雜系統的認識與定義尚未統一，但是對復雜系統的基本特征的認識卻比較一致.一般認為復雜系統具有以下特征：
（1） 自適應性/自組織性（self-adaptive/ self- organi-zation）。
（2） 不確定性（uncertainty）。
（3） 涌現性（emergence）。
（4） 預決性（Finality）。
（5） 演化（Evolution）。
（6）開放性（opening）。
3、離散數學課程中的知識關系
對于以有限或可數個元素為研究對象的離散數學課程而言，它以研究離散量的結構、離散數據模型以及它們之間的相互關系為主要目標.計算機科學與技術領域中的許多離散量模型，需要采用離散數學所涉及的內容、方法以及理論做出深入的描述和優化處理.
同時，離散數學課程中所涉及到的的知識要點體系，有助于學生概括抽象能力、邏輯思維能力以及歸納構造能力的提高，強有益于學生的嚴謹、完整、規范的科學態度的培養.離散數學課程所包含的多個要點分支，如邏輯推理、集合關系論、圖論、代數系統等，都與計算機科學與技術專業的后續核心專業課程有緊密的關系。表 1給出了離散數學課程同計算機專業后續課程相關核心知識要點之間的對應關系。
由于離散數學課程分類為四大模塊，模塊之間的知識點分散，有的模塊理論性強且高度抽象如代數系統模塊，若僅僅采用傳統的教學方法來完成教學任務，學生將難于理解和掌握，不能達到預期的教學效果.為此，在傳統的離散數學教學過程中引入一些經典有意義的復雜系統相關知識模型，用系統的方法實施教學，既可達到對離散數學的基本理論作驗證的目標，也有助于鞏固先導的學習內容，同時實現為后續課程的學習打下基礎的目的。此法，不僅能夠有效的激發學生對該類課程學習的積極性、主動性，也有助于培養學生的創新意識及創新能力。同時也可以達到鍛煉學生的大局觀、系統觀分析解決實際問題的目標.
4、離散數學課堂融入系統理論模型的過程分析
（1）天氣預報、大氣模型成因等系統模型在邏輯推理相關模塊中的作用分析.
若單純采用傳統的教學手段，講解邏輯推理相關知識模塊，很難達到理想的教學效果.為此，在實際的教學過程中我們結合采用倒推式系統模型，如大氣成因模型、天氣預報模型，將有效結論作為推理問題處理的核心要點，進而拋出范式問題求解的必要性，最后引出命題公式中的一系列零碎知識要點.法此，可快速有效的將命題邏輯相關問題掌握。
（2）百度推廣公交換乘等系統模型在集合關系模塊中的作用分析。
關系的本質是集合，關系問題講解的要點及學習的難點，在于關系性質的判斷以及關系閉包問題的求解，而關系的傳遞性以及傳遞閉包問題講解的一大突破口在于掌握好關系的冪運算，有效采用百度推廣公交換乘等系統模型，講實關系運算中的合成運算，可以有效突破關系的冪運算，進而解決關系的傳遞性及傳遞閉包這一教學難點。
（3）信息安全群論模型系統在代數系統教學中的應用分析.
通信過程中錯誤不可避免，快速的發現錯誤并及時的改正錯誤，是一急需解決的問題。良好的代數系統結構可以提供這一問題的解決方案。因此，在代數系統相關內容的講解過程中，及時將典型的代數系統結構，以安全系統模型為出發點，對學生有效地掌握好該模塊知識點起到良好的促進作用.
（4）動態規劃圖模型在圖論教學中分析。
馬航客機動態規劃搜索方案、房屋中介買賣關系中的二部圖背景，為在圖模塊中采用系統教學提供了真摯而有效的應用案例。在圖論相關內容的學習過程中，系統方法也為學生提供了探索、解決身邊新問題的機會。
