高等數學中極限思政教學研究

序論：在您撰寫高等數學中極限思政教學研究時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的1篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。

人類文明從生產力的角度可以分為以鋤頭為代表的農耕文明、以大機器流水線作業為代表的工業文明、以計算機為代表的信息文明.數學在這三次文明中發揮的都是深層次的動力，其作用一次比一次明顯.數學可以鍛煉人們的思維，其抽象性利于人們抓住事物的本質.偉大導師馬克思在完成《資本論》的撰寫中也有用到數學知識，從１９世紀４０年代中期到６０年代初期，為了推動政治經濟學原理的研究，避免計算的錯誤對研究進展的阻礙，馬克思重新系統地復習了初等數學，并且從初等數學發展史的角度展開了探討.在此期間，馬克思在他的筆記本中，做了大量的關于初等數學的札記并對代數加以練習、演算，為研究初等數學打下了牢固的基礎.《馬克思數學草稿》的第七章詳細記載了馬克思關于初等數學的札記.并且后面他又深入地研究了函數、微分、泰勒定理、曲邊形面積等問題，尤其是對微分的歷史發展過程及其本質特征做了詳盡地考察［１］.

數學家克萊因說過，課本中字斟句酌的敘述，未能表現出創造過程中的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的道路，學生一旦認識到這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻的問題的勇氣，并且不會因為自己的工作并非完美無缺而感到頹喪，實在說，敘述數學家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進，并且如何零零碎碎地得到他們的成果，應使研究工作的任一新手鼓起勇氣.因此我們在教學中適當地增加數學史的介紹，會使學生感受到數學的魅力，起到事半功倍的效果.有位數學家說過，數學能喚起熱情而抑制急躁，凈化靈魂而使之杜絕偏見與錯誤.惡習乃是錯誤、混亂和虛偽的根源，所有的真理都與此抗衡，而數學真理更有益于青年人摒棄惡習.數學教學中我們也希望通過加入一些思政元素，達到潤物細無聲的教育效果.極限的學習是高等數學入門必修之路，但極限對學生來講并非是初學，那我們大學中教學與中學的區別在哪里？讓學生達到什么學習程度？如何為后續的學習做好鋪墊打好基礎呢？教學的邏輯安排是什么樣的？帶著這樣的疑問，我們必修挖掘數學史中的有關極限的內容，并試圖加入思政元素，打通學生通往高數學習大門的壁壘，讓他們能夠堅持不懈地學習下去.

一、極限實際上是在導數出現之后才逐漸完

善起來的———一項事業的發展需要前前后后無數人的貢獻和努力

１．中國歷史上的極限思想

首先是割圓術求解圓周率的方法.３世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，所謂割圓術：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.第二個是截丈問題，出自《莊子天下篇》，是由莊子提出的：一尺之捶，日取其半，萬世不竭.這兩個案例的極限，以及其它一些簡單數列的極限，是通過觀察得到的，那么要問，觀察到的是否就一定是它們的極限呢？結論可靠嗎？如何科學地證明呢？

２．第二次數學危機促使極限的發展和完善［２］

歷史上微積分的誕生產生了第二次數學危機，危機的解決是柯西等人完善了極限.下面舉例說明，一個小球做自由落體運動，我們已知其位移是ｓ＝１２ｇｔ２，我們想求小球在任意時刻ｔ０的瞬時速度ｖｔ０，牛頓等物理學家的辦法是，先讓小球飛一會，經過Δｔ時間，大家知道Δｔ越小，平均速度越接近ｔ０的瞬時速度ｖｔ０，然后令Δｔ＝０，結果得到ｔ０的瞬時速度ｖｔ０＝ｇｔ０，這樣的處理對于求得結果是有幫助的，但是在數學邏輯上就講不通了，因為Δｔ作為分母是不能為０的.這就是第二次數學危機，這次危機的化解促進了數學家對極限理論的研究，出現了柯西、維爾斯特拉斯等一批數學家創立了極限的定義.同時我們也會教育學生，書本上的內容有時候更多地是以知識的邏輯過程為排列原則的，實際上有些東西先講，但誕生完善卻晚于后篇章的知識點，課本上并沒有體現出來其歷史過程，所以我們在教學中以數學史為切入點，從歷史的角度分析知識點發現完善的過程，讓學生感受到數學家的工作歷程有利于培養其學習興趣，激發學習動機.

二、無窮小量和代表虛無的零密切相關———要用歷史的眼光看待事物

無窮小量的定義如下：在某個過程中，以０為極限的變量叫做無窮小量.這一點要和負無窮大量進行區別，我們知道數軸上的點越往左邊走代表的數字越小，當往左邊無窮遠處走時，實際上代表的數字是非常非常小的，教學中發現學生很容易將無窮小量直觀理解為很小很小的數，因此認為無窮小量是數軸左邊無窮遠處代表的負無窮大量.這在教學中提醒我們，無窮小量概念的提出應該是有一定的歷史原因的.通過觀看由ＢＢＣ拍攝的紀錄片《數學的故事———神奇的東方數學》，知道了阿拉伯數字是由印度人發明的，但起初只有１到９這９個數字，０是后面才發明的，據說印度人喜歡冥想，當沙地上的石子被拿走后，地上就留下了一個小窩坑，這代表著沒有了、代表著虛無，所以直到公元９世紀，０才被發現，０代表著虛無、沒有.如此一來，無窮小量的本身的含義也是在某個過程中越來越接近于虛無，接近于沒有的變量，因此人們把在某個過程中以０為極限的變量叫做無窮小量.通過給學生看視頻介紹資料，學生比較好的理解了無窮小量的定義，并且能夠區分無窮大量和無窮小量了.這個知識點提示我們要注意研究細枝末節的問題，注意從學生的角度看待知識點，學生容易混淆的地方肯定有其原因存在的，并不能填鴨式的直接教給學生，而是要去研究知識點的來龍去脈，以達到更好的教學效果.

三、講好數學故事，與學生專業相結合，提高教學效果

１．有關知識點的數學故事會提高學習興趣

比如求極限的很重要的方法洛必達法則實際上是洛必達的老師約翰.伯努利發現的.在學習導數的應用時我們都會介紹一個非常好用的求極限的方法－洛必達法則，這里我們可以跟學生講一下洛必達法則的歷史故事［３］：法國數學家洛必達，１６６１年出生于法國的貴族家庭，１７０４年卒于巴黎.１６９１年秋天，約翰·伯努利到達巴黎見到了洛必達，并為其講授微積分，二人成為親密的朋友，建立了長達數十年之久的通信聯系.約翰提出了現在微積分中的一個著名定理，它是用導數求一個分式當分子和分母都趨于零（或無窮大）時的極限的.這個定理是由洛必達在１６９６年編寫的一本非常有影響的微積分教材《無窮小分析》中引入的，后稱為洛必達法則.這個故事跟阿拉伯數字的來歷差不多，學生會很快記住這個定理，也能認識到這個定理的重要性.

２.結合學生的專業知識引入極限的知識點，可以提高學生學習興趣，感受前人探索過程，備受鼓舞

在給心理學專業的同學講極限時，我總會引入艾賓浩斯遺忘曲線［４］，我會問學生艾賓浩斯遺忘曲線是如何得到的？反映了一個什么樣的遺忘規律？隨著時間的推移，人們會遺忘掉所有東西嗎？也就是說隨著時間軸無限增大，人們記憶的數量是趨向于０還是其它？通過這個遺忘曲線的研究，一方面讓學生了解了數學在心理學中的應用：即保持和遺忘是時間的函數，另一方面讓學生直觀感受到了當自變量趨向于無窮大時函數的極限是否存在，有的話是多少等等.減少了抽象的講解，多了具體的參照.在給藥學等專業的學生講解極限時，我會引入藥時曲線［５］，即吃藥后血藥濃度的變化曲線，一般來說大家都會直觀地感受到隨著時間的推移，藥物殘留會趨向于０，但在此過程中，殘留的藥物對人體會造成什么樣的影響？是不是趨向于０就不需要在意藥物殘留了呢？在這個教學過程中學生會參與討論，用自己專業的知識去解釋藥時曲線，這時候藥時曲線就變得立體起來，生動無比.總之，極限的思想方法作為人類發現數學問題并解決數學問題的一種重要手段，它解決了一次數學危機，鞏固了微積分的發展，并在將來，隨著科學技術的發展，必將發揮更大的作用.本文拋磚引玉，如果各位同行能在不同的專業教學中找到合適的思政元素結合點的話，也將會起到事半功倍的教學效果.

參考文獻

［１］張雪琴．當馬克思遇上數學，

［２］莫紹揆．數學三次危機與數理邏輯［Ｊ］．自然雜志．１９８０，（０６）：４０３４０９．

［３］崔艷．高等數學“故事教學”探析［Ｊ］．科教文匯，２０１４，（１０）：４２４４．

［４］艾賓浩斯著．記憶的奧秘［Ｍ］．王迪菲編譯．北京：北京理工大學出版社，２０１３．

［５］周永治，嚴云良．醫藥高等數學［Ｍ］．４版．北京：科學技術出版社，２０１０．

［６］周鋼．在一元函數微積分教學中融入經濟專業知識的探索［Ｊ］．中國科教創新導刊，２０１０，（３２）：９０．

作者:易穎 單位:廣州中醫藥大學 公共衛生與管理學院