時間：2022-04-24 02:46:20
序論：在您撰寫數學分析論文時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的1篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
摘要：企業的規?；l展是企業的經營格局達到了一定的水平和標準，要想實現企業規模化發展的不斷優化，理論指導必不可少，其中數學分析又是理論指導的重要組成部分，為此，將以邊際成本和機會成本為例淺析數學分析對于企業規?；l展的優化作用。
關鍵詞：邊際成本；機會成本；數學分析；企業規模化發展；優化發展
0引言
隨著我國經濟的飛速發展，各個行業的迅速崛起，企業面臨的競爭和壓力越來越大，想要在眾多的企業當中脫穎而出力爭上游，必須實現企業的規模化發展，并在發展中不斷優化自己的經營模式和格局。而企業的規模化發展和優化離不開正確的理論指導，這時通過正確的數學分析來降低成本和增加收益是一條很重要的途徑，下面本文將以邊際成本和機會成本為例簡單介紹數學分析在實現企業的規?；l展中的優化作用。
1邊際成本和機會成本概述
1.1邊際成本概述
所謂邊際成本，是指在經濟學和金融學范圍內，每個企業或者單位生產新產品或者購買新產品所造成的總體成本的增加量。這樣的概述表明每個企業或者單位生產或者購買的新產品的成本和總產品量是直接相關的。比如，某個電子產品公司僅僅設計和生產一部手機的成本是極其巨大的，而如果設計和生產一萬部手機的話，成本就會大大降低，收益卻比設計和生產一部手機增加了很多，這就是規模化生產所帶來的效益。
1.2機會成本概述
在經濟學和金融學中，所謂機會成本，就是指想要得到某種東西而所要放棄的另一種或者另外幾種東西中的最大價值，或者說在對多種方案進行決策時，所舍棄的方案中的最高價值就是這次決策的機會成本；還指廠商把相同的生產投入到其他的行業當中時可以獲得的最高收益。比如，一袋面粉如果用來做饅頭就不能做面包，做饅頭的成本就是放棄做面包的收益。在企業的發展過程中，當利用一定的資源或時間來生產一種產品時，就失去了一定的機會，利用這些時間和資源來生產其他的能產生收益的另外的產品的機會，這就是機會成本。
1.3邊際成本和機會成本的關系
企業想要高收益，于是想增加產量來降低邊際成本，但是在降低邊際成本的同時，機會成本卻有可能增加。比如，生產一部新的手機時，所使用的材料可能有更好的用處，這時機會成本就會增加，所以要盡量用最少的材料生產出最多的手機，這樣才能在降低邊際成本的同時也減少了降低機會成本。
2數學分析在企業規?；l展中的優化作用
每個領導者都希望自己的企業能越做越大，效益越來越好，因此在企業發展到一定水平時就要考慮企業的規?；l展及其優化了，這時就應該對企業的發展進行規劃，實現邊際成本和機會成本的最小化和收益的最大化，即經濟學中常說的規模經濟，通過擴大生產規模而引起經濟效益增加的現象。
2.1邊際成本法中的數學分析在企業規模化發展中的優化作用
利用邊際成本法對企業的生產和銷售進行規劃時，更有利于企業的管理者對企業的短期產量進行決策，避免操縱短期利潤，克服了完全成本法的缺點。下面用一個實例進行說明：
在某企業的生產過程中要制造一種零部件產品，其中生產用費用包括：每件12元的材料使用費，每件7元的人工加工費，每件8元的變動制造費用（水電等能源），固定制造費（機器的折舊與損耗）6000元，額外的非生產性附加費用包括：管理費用（保險公積金等）800元，該零件的銷售費用包括：每件6元的變動費（促銷），以及1000元的廣告固定費用。期初庫存0件，本月生產3000件，銷售2800件，售價為每件50元。
2.1.1用完全成本法計算該件商品的利潤
單位生產成本：12+7+8+6000/3000=29元
銷售收入：2800件×50=140000元
減去銷售成本：2800×29=81200元
毛利：58800元
減去期間成本：2800×6+800+1000=18600元
凈利：40200元
在該算法下，虛增了資產和當期的利潤。而且不難看出在該算法下，該零件生產廠商無法判斷出是否應該增產或者應該減產，因為該零件的吸收成本中有著固定的成本要素，而且固定成本的多少與企業的產量并無關聯。
2.1.2用邊際成本法計算該件商品的利潤
12+7+8=27元
銷售2800×50=140000元
減：2800×（22+6）=78400元
貢獻毛益：61600元
全部固定6000+800+1000=7800元
凈利潤53800元
由此可見，利用邊際成本法計算某件產品的利潤時，利潤與該產品的產量沒有直接關系，而與該件產品的銷售量直接相關。利用這兩種方法對產品的利潤進行計算所得的差額剛好是完全成本下庫存產品中所含的固定費用數。由這兩種計算的比較可以知道，因為固定成本和產量的增減沒有直接的關系，在短期內要進行增減產量的決策時，不需要考慮固定成本這個因素。由此可見邊際成本法能更準確地反映出短期內企業的實際利潤，邊際成本法中的數學分析對于企業的短期規?；a有著至關重要的優化作用。
2.2機會成本遞增法則中的數學分析在企業規模化發展中的優化作用
在經濟學和金融學中，所謂機會成本的遞增法則，
指的是在某企業的生產資源和生產技術條件一定的情況下，每生產一件產品就意味著要放棄生產另一種產品，那么每生產一件這種產品所產生的機會成本就會增加。從機會成本角度來看企業的生產和發展能更準確地從社會觀點出發看到把有限的Y源用于某項經濟活動時所產生的代價，促使企業的決策者把有限的資源合理地分配和應用，實現效益最大化。下面用一個實例說明機會成本的遞增法則：
某企業生產A、B兩種產品。生產A產品每件總成本為5元，銷售價格為9元，凈利潤4元；生產B產品每件總成本為3元，銷售價格8元，凈利潤5元。該企業每月可生產A、B兩種商品共10000件，原每月生產A產品4000件，B產品6000件。A產品的機會成本為30000元，B產品的機會成本為16000元。每月可盈利46000元；現每月增加B產品產量2000件，A產品的機會成本增加為40000元，B產品的機會成本減少為8000元，每月可盈利48000元。
由上述例子可見，當該企業產能優化改革后，總盈利額上升2000元，所以合理利用機會成本的遞增法則，可以使企業將資源分配應用的更加合理，獲取最大的經濟效益。
2.3利用數學分析降低邊際成本和機會成本實現企業的規模經濟
實現企業的規模經濟是每個企業發展的目標，要想實現規模經濟必須把握好生產要素的集中程度和企業的經濟效益之間的關系。隨著產量的增加，產品的生產邊際成本就會越來越低，但是這并不意味著產量越大生產規模越大越好，企業追求的經濟效益的最大化，在產量增加的同時產品的機會成本也會越來越大。當產量增加到一定的程度，企業的邊際效益就會開始下降，甚至趨向于零，乃至變為負值，導致規模不經濟現象，如圖1所示。圖1凈利潤增長率由此可見，要想實現企業經濟的規?；l展并不斷優化，必須要有正確的數學分析做理論指導，降低邊際成本和機會成本。根據上文的分析，擴大生產規模的同時會降低邊際成本，但是也會增加機會成本，所以不能一味地增大企業的生產量，應根據企業的實際狀況，對企業的規模進行如上文提到的數學分析，確定它的最佳濟規模，降低企業的邊際成本，但是也使生產資源得到合理地配置和使用，同時降低了機會成本，按照這樣的經濟規模進行企業的生產經營活動，實現企業的經濟效益最大化。
3結束語
降低生產的邊際成本和機會成本，增高企業的經濟效益，在規?；l展過程中越做越強，并不斷優化，增強企業的競爭力，是每個企業的目標。綜合上文的闡述，這時企業應從邊際成本和機會成本的角度出發，通過正確的數學理論分析，降低企業生產的邊際成本和機會成本，找到企業的最佳經濟規模，使企業獲得最高經濟效益，實現企業的規模經濟。
摘要：在高校數學分析課程的教學中，融入數學文化，使學生可以更好地掌握數學分析的知識體系和思維方法。文章首先敘述了數學文化的內涵，之后論述在教學中融入數學文化的意義，最后以教學案例的方式，從四個不同的角度闡述在數學分析課程中融入數學文化的方法。
關鍵詞：教學改革；數學分析；數學文化；教學案例
高校數學分析課程，作為數學、統計學、金融學、保險精算學等專業一門重要的專業基礎課，是學生后續課程的基礎，對于培養學生良好的專業素養非常重要。進行高校數學分析課程的教學改革，在教學中融入數學文化，既可使學生體會到數學的獨特文化內涵，又可激發學生的學習興趣，更好地掌握數學分析的知識體系和思維方法，更為高效地完成學習。
一、數學文化的內涵
所謂數學文化，狹義的是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言以及它們的形成和發展。廣義指除這些之外，還包含數學史、數學家、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系[1]。
數學文化是一個開放、多元、動態的系統。研究學者視角的多元化，導致數學文化的界定并不一致。Wilder R.L.[2]指出數學家擁有的文化內含一個共享的帶有數學特征的部分；Bishop A.J.[3]認為數學文化是文化視角下的數學，既包含Wilder精英主義的數學亞文化，即數學知識背后的隱性成分或觀念性成分，也包含人類文化中的數學成分。張奠宙[4]認為數學知識不是數學文化的內容，背后隱性存在的觀念才是；王憲昌[5]認為數學文化是數學現象背后的文化傳統流變的文化分析；孫宏安[6]認為數學文化是人類適應數學活動的環境與創造數學活動自身及其成果的綜合。
二、在數學分析課程中，融入數學文化的意義
1.數學分析理論體系完整，邏輯思維嚴密，課程具有無窮魅力。在這些有趣的數學知識和數學現象之外，數學分析還蘊含著數學思維，蘊含著“有限與無限”“變中有不變”等數學哲學，有著微積分發展中豐富的歷史故事，有著數學先驅勇攀科學高峰的精神。數學分析課程實質上也是在傳播一種文化，一種有趣的數學文化。在教學過程中應當有效地體現其文化價值。
2.著名數學教育家張奠宙先生在《數學文化的一些新視角》[7]中指出：“數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中使得學生在學習數學的過程真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位和世俗的人情味。”在傳統的數學分析教學中，只是局限于其知識成分，抽取了理性的定理、公式、結構等骨架，而舍去了其中數學文化、實踐創新等豐富血肉。這種“繭氏”的課程文化丟失了數學的思想、精神，也丟失了課程的許多精華和其中的樂趣。數學分析課程不但具有科學的價值，而且還具有文化的價值。數學文化有其獨立思考、勇于批判的理性精神；有其濃厚的文化積淀，以及踏實細微的人文精神；有其在生產生活中的實際應用性；有其相對穩定性和延續性，有其世界性等[8]。在教學過程中，從教學內容、教學方式、評價方式等諸方面體現數學的文化價值，將數學文化滲透到數學分析教學的全過程之中。
3.數學分析課程理論性強，其邏輯推理的嚴密嚴謹性，需要教師和學生投入很多的精力。而且，作為大學入學的第一門數學專業課，學生需從初等數學向高等數學轉變，學習和適應不同的思考和解決問題的角度與方法，這也進一步增加了教學和學習的難度。教學中在嚴謹推導的同時，融入數學文化，一方面讓學生了解數學文化，另一方面，增強教學的趣味性，提高學生學習的興趣，使學生可以更好地汲取知識。
三、在數學分析課程中融入數學文化的方法
數學文化的滲透。學生理解與感悟數學是一種自然滲透、逐步深化的過程。不可將知識孤立、零散地分割開，最終只讓學生學到了一個個孤立的知識點，卻無法學到縱橫聯系的知識結構與網絡，這也無法使學生最終獲得數學理性觀的升華直至感悟。
在將數學文化融入數學分析教學的過程中，需要教師與學生一起感受數學文化的內涵、領會數學文化的真諦。更需要教師在深刻而豐富的數學文化觀的引導下，引發課堂教學行為的改變，從而提高教師的教學質量和學生的學習水平。
1.以數學文化作為課程新知識的引入點。以有趣的數學現象、數學史料等作為數學分析課程新知識引入時的切入點。
教學案例：以“無窮悖論”這一“奇怪”的數學現象，作為數項級數收斂和發散，以及條件收斂時數項級數的加法交換律和結合律不成立這兩個知識點的引子。
捷克哲學家Bolzano在《無窮悖論》（1781-1848）中提到一個例子：1和-1交替出現的級數，即1-1+1-1+1-1+…。為了計算這個級數，通過三種不同的方法會得出三種不同的答案。方法一：一開始就進行相鄰兩數的歸納計算，則有1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0，答案是0。方法二：牡詼個數開始再進行相鄰兩數的歸納計算，則有1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1，答案是1。方法三：Grundy用代數方法，設級數和為x，則有x=1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-…）=1-x，解方程知x=1/2，因此答案是1/2。
利用這一悖論首先激發學生的好奇心和興趣，之后自然引出數項級數的和，以及數項級數的收斂和發散?？挛靼l現，無窮級數的求和運算也可能沒有答案。若以方法三假定它存在，其結果必會引起混亂。從而引出數項級數的斂散性。
另外，有限個數相加時，不管相加的順序如何變化，答案相同。但柯西發現這一加法法則在無窮個數的加法運算中已經不成立了，這便是方法一和方法二悖論產生的原因之一。從而引出無窮級數的加法交換律和結合律不一定成立這一知識點，進而引出數項級數條件收斂的知識。
2.以“項目”為導向，加強“問題解決”的教學設計。數學文化中一個重要的方面，就是數學在生產生活中的應用。為了增強學生學習的自主性，采用以項目為導向，加入讓學生研究實際案例、解決問題這一教學環節，進行數學分析知識的講授。所謂項目，在夏德斯的教學方法體系下是指：為了解決技術與實踐中的生活問題而設計的問題解決過程。在數學分析的教學中，融入數學應用，這樣既可以體現數學分析課程的應用價值，讓學生理解數學的產生背景與發展，體會生活中的數學，揭開數學的神秘面紗，又可在應用中進一步滲透數學分析的思想方法，幫助學生加深理解。
教學案例：在數學分析“多元函數極值問題”的教學中，提出有實際應用背景方面的例題，比如銷售收入和廣告費用支出之間的關系。學生通過數學建模的方法，發現這一問題所對應的模型為一元線性回歸模型參數的最小二乘估計問題，也就是數學分析中的多元函數極值問題。之后，我們再開始進行課程相關知識點的教學。
3.以數學史為載體，體現數學分析的人文性。我國老一輩數學家余介石等人主張“歷史之于數學，不僅在名師大家之遺言軼事，阻生后學高山仰止之思，收聞風興起之效，更可指示基本概念之有機發展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調劑，不至相背，反可想成，誠為教師最宜留意體會之一事也?！盵9]將數學史融入數學分析的教學中，激發學生學習興趣，以及對數學史知識的渴求，加深對數學相關知識的理解。另外從數學史的整個發展趨勢中，學生可以初步了解微積分知識的基本框架。
而且，在教學中，談談數學界的名人軼事，使其成為課堂上嚴謹的證明推導之余的興奮劑。通過在知識點處閃現數學家為了追求真理，堅持不懈的精神，幫助學生正確看待學習過程中遇到的困難，執著追求。
教學案例：三次數學危機。在數學史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決，當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。
在教學中，引入數學發展的三次關于基礎理論的危機。以華東師范大學版《數學分析》教材為例，在第一章“實數集與函數”的教學中，引入第一次數學危機的故事：有理數。危機的產生――希帕索斯悖論（邊長為1的正方形，其對角線長度為多少呢）；危機的緩解――兩百年后，歐多克索斯建立的比例論，巧妙地避開無理數這一邏輯上的危機；危機的解決――直到19世紀下半葉，實數理論的建立，無理數的本質被徹底搞清。通過了解第一次危機，既可提高學生的學習興趣，鼓勵學生開展創新，又使學生對無理數有了更深刻的理解，增加了對實數性質學習的興趣。
在“無窮小量”的教學中，引入第二次數學危機的故事：無窮小是零嗎。危機的產生――貝克萊悖論（無窮小量在牛頓的理論中一會兒是零，一會兒又不是零）；危機的緩解――實數理論基礎上，建立起極限論的基本定理；危機的解決――在實數論的問題，導致了集合論的誕生。通過第二次數學危機，學生可以加深理解：無窮小是一類趨向于零的常數，而常數零數列是一類特殊的無窮小量。
之后，可繼續給學生講第三次數學危機的故事：集合論中自相矛盾的理發師問題。危機產生――羅素悖論（理發師只給所有不給自己理發的人理發，不給那些給自己理發的人理發，那么他要不要給自己理發呢）；危機的緩解――哥德爾不完全定理的證明結束了關于數學基礎的爭論，宣告了把數學徹底形式化的愿望是不可能實現的。
4.在教學中體現數學分析之美。大數學家克萊因說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈獨特的創作。音樂能激發或撫慰人的情懷，繪畫使人賞心目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切?！痹诮虒W中，利用圖案、錄像，讓學生以數學欣賞為切入點，發現數學之美，為數學的魅力所吸引，增強學習動力。
教學案例：在定積分、重積分的應用中，輔以圖形加以講解，在教學中讓學生感受數與形的調和，感受幾何學的優雅。在傅里葉級數的教學中，如果按傳統方式教學，傅里葉公式及其推導證明的嚴肅復雜性，會使學生望而生畏。我們配以生動的圖像來講解，既使學生易于理解，又可增加學生學習的興趣和樂趣。
總之，通過將數學文化融入數學分析的教學之中，讓學生可以更好地掌握數學分析的知識體系和思維方法，了解數學文化，激發學習興趣，使其更為高效地學習。
【摘 要】高中數學有著較強的邏輯性和嚴謹性，幫助學生掌握數學思考方式，能拓寬學生的數學思維，豐富學習方式。高中數學常用的數學分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種，研究分析這四種數學分析思想，加強數學思想教育，幫助學生將其實踐運用到解題中，能有效提高學生解題效率，提升學生數學學習效果，促進高中數學教育的進步。
【關鍵詞】高中數學；數學分析思想；解題技巧；應用研究
數學分析思想是高中數學解題教學的關鍵，能夠幫助學生合理運用數學知識解決實際問題，逐漸形成完善的認知結構，培養學生數學觀念和創新思維。高中數學的學習離不開解題，而目前很多高中學生只會做題，對題目背后的數學思想和數學方法理解不夠透徹，同一題型盲目套用同一種解題方法，缺乏創新能力。所以，為了提高學生數學能力，培養有創新意識、邏輯思維能力強的人才，必須加強對學生數學分析思想的教育。
一、高中數學解題中運用數學分析思想的意義
（一）開拓學生的思維潛能
通過運用數學分析思想，充分發散思維，靈活運用數學知識，解決引申、變通出來的習題，真正將知識為己所用，從而拓寬學生的解題思路，開發學生的思維潛能，讓學生的思維更靈活，更有創造性。
（二）提高學生的觀察能力
數學學習也需要學生要有較強的觀察能力，數學分析思想能讓學生養成好的觀察習慣，透過數學習題表面，挖掘其中潛藏的數學原理，將理論知識與實踐聯系起來，繼而解決實際問題，認清事物的本質。
（三）提高學生的數學學習效果
在高中數學解題中運用數學分析思想能夠激發出學生學習數學的興趣，有效促進學生解題效率的提升和數學學習效果的進一步提高。
二、數學分析思想在高中數學解題中的實踐運用
高中數學解題常用的數學分析思想有類比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種。
（一）類比與歸納思想
類比與歸納思想是指在解題時通過對比形式或本質相近的事物，從中歸納、總結出共同點，訓練解題技能，是高中數學解題最常用的一種數學思想。函數題計算中運用類比與歸納思想，可以讓學生發現其中隱含的數學規律，避免學生盲目做題。比如題目cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n），分析題目可以發現，等式的左邊有一定規律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根據規律進一步分析，發現左邊等式可以變形為2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，繼續替換、計算后，等式左邊與原等式右邊一樣，都是sinx/（2n?sinx/2n），可以證明出cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n）。
（二）逆向思維
逆向思維是數學思維中最重要的思維方式之一，適用于題型比較復雜，正面解題困難，運算量較大的題目中。以題目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”為例，學生在解這道題時往往會通過配方消元的方法來解出c的值，但這道題目含有許多未知元素，用配方消元來解的話需要大量運算，運算過程也相對比較復雜，這時可以運用逆向思維分析題目，提高解題效率。題目中已經有了a，b，c的等量關系，從逆向思考一元二次方程的定義，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通過韋達定理可以得出a與b的和為1，a與b的積為-c/2，題干中已經給出條件a-b=c，此時就能快速計算出這道題的答案。高中數學題中也比較常遇見這種題型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的結果，在計算此類型題目時，一個數一個數的計算既浪費時間，也很容易算錯，而運用逆向思維， 從右到左利用5n-5n-1=5n-1的規律來計算，可以快速得出結果，大大提高做題效率。
（三）化歸思想
化歸思想是指在解題時將一些復雜的、難解決的問題轉化成容易解決的問題，其核心觀點就是化難為易，將未知的問題轉換為已知的。化歸思想最重要的就是如何尋求化歸方法，確定明確化歸目標，以2010年江蘇理科高考數學題“設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”為例，直接解題時會發現問題形式不易構造，計算很花時間，所以需要等價轉化，將x3/y4轉換為（x2/y）2?1/xy2，由題目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值為27。也就是指，化歸思想要將高次轉為低次，多元轉為一元，三維轉向二維，以實現由難到易的轉換。
（四）整體思想
高中數學題經常會整合課本知識，從另一角度考察學生對知識的掌握情況，整體思想就是讓學生立足整體，綜合運用已經學到的知識解決未知問題。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，課本沒有直接給出tan15°的值是多少，但根據三角函數公式，可以計算將題目整體變形，計算出答案。
三、總結
高中數學題看似復雜，計算困難，但歸根究底仍是對課本知識的變相考察，這就需要學生充分掌握數學分析思想，并在解題時能綜合運用整體思想、化歸思想、類比與歸納思想、逆向思維等數學分析思想，加快解題速度，提高學習效率。
分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確地加以表述。分析和解決問題的能力是邏輯思維能力、運算能力、空g想象能力等基本數學能力的綜合體現。高考數學科的命題原則是在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重數學能力的考查，強調綜合性。這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求，也使試卷的題型更新，更具有開放性。下面筆者就分析和解決問題能力的組成及培養策略談幾點看法。
一、分析和解決問題能力的組成
（一）審題能力
審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質的能力；分析、發現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力。要快捷、準確地解決問題，掌握題目的數形特點，能對條件或所求進行轉化和發現隱含條件是至關重要的。由此可見，審題能力是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。
（二）合理應用知識、思想和方法解決問題的能力
高中數學知識包括函數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何等內容；數學思想包括數形結合、函數與方程思想、分類與討論和等價轉化等；數學方法包括待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、配方法等基本方法。只有理解和掌握數學基本知識、思想和方法，才能解決高中數學中的一些基本問題；而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。
（三）數學建模能力
近幾年來，在高考數學試卷中，都有幾道實際應用問題。這給學生分析和解決問題的能力提出了挑戰。而數學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心。
二、培養和提高分析和解決問題能力的策略
（一）重視通性通法教學，引導學生概括、領悟常見的數學思想與方法
數學思想較之數學基礎知識，有更高的層次和地位。它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，它是一種數學意識，屬于思維的范疇，用于對數學問題的認識、處理和解決。數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有概括了數學思想與方法，才能在分析和解決問題時得心應手；只有領悟了數學思想與方法，書本上的、別人的知識技巧才會變成自己的能力。
每一種數學思想與方法都有其適用的特定環境和依據的基本理論。如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，像等比數列的求和公式中對公比口的分類和直線方程中對斜率k的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數的討論，解不等式組中解集的討論等，又如數學方法的選擇，二次函數問題常用配方法，含參問題常用待定系數法等。因此，在數學課堂教學中應重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識一種思想或方法的個性，即認識一種數學思想或方法對于解決什么樣的問題有效，從而培養和提高學生合理、正確地應用數學思想與方法分析和解決問題的能力。
（二）加強應用題的教學，提高學生的模式識別能力
高考是注重能力的考試，特別是學生運用數學知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點。而高考中的應用題就著重考查這方面的能力。這從新版的《考試說明》與舊版的《考試說明》的對比中可見一斑（新版將“分析和解決問題的能力”改為“解決實際問題的能力”）。
數學是充滿模式的。就應用題而言，對其數學模式的識別是解決它的前提。在高中數學教學中，教師不但要重視應用題的教學，同時要對應用題進行專題訓練，引導學生總結、歸納各種應用題的數學模型。這樣學生才能有的放矢，合理運用數學思想和方法分析和解決實際問題。
（三）適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面
要分析和解決問題，必先理解題意，才能進一步運用數學思想和方法解決問題。近年來，社會的飛速發展要求數學教育培養出具有更高數學素質、更強創造能力的人才。這一點體現在高考中，就是一些新背景題、開放題的出現，更加注重能力的考查。由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，而新背景題的背景新，這給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導致學生失分率較高。因此，在高中數學教學中適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面，是提高學生分析和解決問題能力的必要補充。
（四）重視解題的回顧
解決問題以后，再回過頭來對解題過程加以回顧與探討、分析與研究，是解題教學非常重要的一個環節。這是數學解題過程的最后階段，也是對提高學生分析和解決問題能力最有意義的階段。解題教學的目的并不單純為了求得問題的結果，而是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的創造精神。而這一教學目的恰恰主要通過回顧解題教學來實現。所以，教師在數學教學中要十分重視解題的回顧，與學生一起對解題的結果和解法進行細致的分析，對解題的主要思想、關鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，幫助學生從解題中總結出數學的基本思想和方法，并將它們用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器。
【內容摘要】與其他課程相較，高中數學的邏輯性較強，且對學生自身的要求較高，要想做到準確、快速的解題，較強的分析能力與扎實的數學基礎缺一不可，同樣靈活的應用能力及多角度思維能力也十分關鍵。分析是解題的首要前提，通過學生分析問題的過程可很好的反映出其自身的數學能力，因此提升學生數學分析能力非常必要。以下本文將簡單分析提高高中學生數學分析能力的關鍵因素，重點就提升高中學生數學分析能力的有效途徑展開詳細論述。
【關鍵詞】高中學生 數學 分析能力 提升途徑 關鍵因素
高中數學具有較為鮮明的特點，如復雜性、關聯性、邏輯性等，作為一名高中生具備較強的分析能力可以幫助其提高學習效率，做到舉一反三、一題多解，反之，則會出現解題效率低、數學難等不良情緒。大部分的數學學困生在分析能力上都比^弱，究其根本與數學基礎薄弱、應用能力不強有著直接的關聯，為了更好的幫助學生積極應戰高考，提升高中學生數學分析能力勢在必行，需要學生從自我做起，有意識的進行改進。
一、提高高中學生數學分析能力的關鍵因素
影響高中學生數學分析能力非常之多，要想提升學生的分析能力應抓住主要因素進行強化，這樣可起到較強的促進作用。
首先，培養思考習慣。數學學困生其最明顯的特點是思維懶惰，對數學知識的理解僅停留在表面上，稍微提高點難度就會望而卻步，長此以往，數學成績將遠遠落后于他人。具備良好思考習慣的學生會積極主動去解決問題、思考問題，通過長期持續性的問題思考，其自身的分析能力將會明顯提高。其次，培養分析觀察能力。在數學學習中，較強的分析觀察能力可以幫助學生快速提煉重要信息，分析解題的效率也會大大提升。第三，注重基礎知識累積。數學知識學習是一個逐步遞增的學習過程，基礎不牢靠必然會影響到后續能力的提升，扎實的數學基礎也是進行數學問題分析的重要影響因素。第四，學會靈活應用。數學題目分析的途徑多種多樣，敢于創新、勤于思考對學生分析能力的提升意義重大。上述幾種因素都會影響到學生分析能力的形成，需要學生自發的進行改進。
二、提升高中學生數學分析能力的有效途徑
1.轉變學習觀念，主動積極參與課堂活動
數學是一門應用型學科，學生只有做到真正理解才能提升學習效率及質量。新課標實施背景下，教師普遍認可學生的主體地位，學生自身也要充分把握機會，在課堂上積極主動參與，充分發揮出自身的主體作用去學習和探討，提升自身的綜合素養。數學分析能力的提升是一個循序漸進的過程，首先學生應從基礎做起，由淺入深的去提高學習的自信心，養成鍥而不舍的解題意識，積極去解決、克服學習中的困難，從學習中找到學習的樂趣，真正愛上數學。
2.明確自身的優缺點
數學分析能力提升需要學生自發的去培養和重視，作為一個獨立的個體――學生在學習中應充分認知自我，抓住自己的學習特點去進行管理，認真聽取教師的講解及分析，去模仿和分析教師的解題思路，從中找尋出適合自己的解題途徑，通過日積月累學生自身的分析能力必然有所提高。學生可以從例題分析開始，抓住各知識點之間的內在聯系，靈活運用解題方法，有意識的提升自己的分析理解能力。
3.重視基礎，逐步深化學習難度
數學知識內在聯系較強，分析能力提升不可急于求成，學生和教師都應正視這一點，慢慢的去改進和提升。如在二次函數的復習中，學生可采用逐層深化難度的方式去實現。
第一階段：求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x -1）2+1；（2）y=（x+1）2+1；（3） y=（x-4）2+1。
第二階段：求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。
第三階段：求函數y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
通過層層遞進，每做完一題，學生應正確說出分析這類問題的要點，如此既可檢驗自己基礎能力，同時還能提高學習的效率。
4.在理解題意上下工夫，把已知條件與所學知識點聯系起來
由數學學科特點所決定，要學好數學，需以“理解”二字為先，只有把題意理解清楚了，才能找到合適的解題思路。同時，理解的過程，也就是把新知識納入舊知識體系，在推理中結合新舊知識的運用條件，順利地由條件轉化得出結論的過程，隨著理解能力的增強，數學分析能力也有所提高。
5.總結規律，有利于提高分析能力
任何一門知識的獲取，都遵循認識規律，即由淺入深，由簡單到復雜，邏輯思維的推理也遵循一定的規律，這些規律蘊涵于已知與求證之間，因此，在學習過程中，要不斷地總結規律，從千變萬化的圖形變換中，分析找出一般的、常用的推理方法，為解答綜合性題目打下基礎，通過不斷地總結，使數學分析能力進一步加強。
總結
新時期，高中學生需要時刻提高自我要求，積極主動的參與到數學學習中，轉變不良思想，努力克服學習中的困難，力求通過與教師的及時溝通、自我分析及提升來提高數學學習質量，真正做到學以致用。數學分析能力提升的途徑多種多樣，學生應正視自身的不足與優勢，正確選擇適合自己的途徑去提升和改進，從根本上強化自己的數學素養，為高考儲蓄更多的能量。
（作者單位：山東省濱州市惠民縣第一中學2014級部）
【摘要】本文分析了本科院校數學專業基礎課“數學分析”緒論在課程教學中的重要地位和重要性.針對地方本科院校數學專業學生的特點，給出了“數學分析”緒論的教學過程設計.該教學過程設計一方面能夠給學生初步搭建起“數學分析”課程體系的框架，讓學生明白這門課要學習的主要內容及其相互關系；另一方面，該課程設計從數學發展史的角度給學生闡述高等數學和初等數學的聯系與區別，使學生能夠盡快從高中的公式恒等變形的初等數學思方式轉換到以變化的觀點分析和研究問題的高等數學思維方式中來.
【關鍵詞】數學分析；緒論；教學設計；地方院校
一、引言
“數學分析”是數學專業的最重要的必修基礎課，“數學分析”中體現的數學思想、數學方法、數學能力是數學在實際中應用和進行數學理論研究的基石，通過數學分析課程教學要使學生受到基本和嚴格的數學訓練[1].“數學分析”緒論的教學是整個數學分析教學過程的序幕，其重要性不言而喻.一方面，“數學分析”緒論是“數學分析”課程的第一次課，其重要作用在于給學生初步搭建起“數學分析”課程體系的“森林”，讓學生明白這門課要學習的主要內容及其相互關系，讓學生先見到“森林”，能夠縱觀數學分析的大致面貌，這樣在以后認識“樹木”，也就是學習各章節的知識點的時候，學生心里才會知道這個知識點表示的“樹木”處于森林中的什么地位，這樣才能做到“既見樹木又見森林”.另一方面，“數學分析”緒論也是學生由初等數學（從幼兒園到高中所學的數學）階段進入高等數學（大學所學的數學）階段的第一堂課，因此，“數學分析”緒論也承擔著從數學發展史的角度給學生闡述高等數學和初等數學的聯系與區別的重要任務.
然而，很多地方高校對于“數學分析”緒論的教學重視程度遠遠不夠.有的教師在緒論課上只介紹了“數學分析”課程的主要內容，而忽略了初、高等數學的區別與聯系.有的教師側重于介紹數學發展史，而忽略了給學生搭建“數學分析”課程體系的框架.更有甚者，只把對學生的要求簡單說罷便開始單個知識點的講解，完全忽略了“數學分析”緒論的重要性，這樣教出來的學生對“數學分析”的體系框架根本沒有了解，學完課程也不知道學了些什么，只有各知識點，但是缺乏一條串起這些知識點的主線.本文作者多年從事“數學分析”課程教學，對“數學分析”緒論的重要性有深刻的認識，經過多年的探索，已經形成了“數學分析”緒論教學的特色，既給學生搭建起笛Х治齙目蚣芴逑擔讓學生了解數學分析各部分之間的關系，又讓學生明白從幼兒園開始到高中所學的數學課程與進入大學中要學的高等數學課程的區別，使學生在學習過程當中不至于感到迷茫.以下詳細給出“數學分析”緒論的教學過程.
二、“數學分析”緒論教學過程
同學們來到大學，選擇了數學專業，要學習很多數學課程，“數學分析”就是其中第一門，同時也是最重要的數學基礎課之一.在開始學習這門課的時候，大家自然要問，數學分析與中學已經學過的初等數學有什么不同？它的研究對象與基本思想方法是什么？下面就來簡要地講一講這些問題.
總的說來，初等數學研究的是離散量的運算體系，包括加法與乘法以及它們的逆運算――減法與除法.而“數學分析”提供的是連續量的運算體系及其數學理論.“數學分析”的主要內容是微積分，研究對象是函數，立論數域是實數連續統，采用的研究工具是極限.
大家知道，現實世界中的萬事萬物，無一不在一定的空間中運動變化，在運動變化過程中都存在一定的數量關系.按照恩格斯的說法，數學就是研究現實世界中數量關系與空間形式的科學.簡略地說，就是研究數和形的科學.時至今日，雖然數學的內容更加豐富，方法更加綜合，應用更加廣泛，但是關于數學的上述說法大體上還是正確的.只是隨著人們對事物認識的逐漸深化，作為研究對象的“數”和“形”，在數學發展的不同階段，它們的內涵和表現形式也不相同罷了！
歷史上，數學的發展可以劃分為三個階段.
第一階段是從古希臘時代（公元前5世紀―公元前3世紀）到17世紀中葉.在這長達兩千多年的時期內，由于生產力的落后，人們把客觀世界中各種事物看成是孤立的、靜止不變的，因而，數學中研究的“數”基本上是常數或常量（即在某一運動變化過程中保持不變或相對保持不變、可以看作取固定值的量），研究的“形”也主要是簡單的、不變的、規則的幾何形體（例如，直線段、直邊形與直面形等）.研究常量間的代數運算和規則幾何形體內部及相互間的關系，分別形成了初等代數和初等幾何，統稱為初等數學.因此，這個階段常被稱為初等數學階段或常量數學階段.
第二階段是從1637年法國著名哲學家、數學家笛卡爾（R.Descartes，1596―1650）建立解析幾何到19世紀末.在這個階段中，由于工業革命的興起，推動了機械、造船、采礦、航海和修建鐵路等新興工業的建立和發展，大大拓寬了人們的視野.加深了人類對自然界的認識.意大利數學家、現代物理學奠基人伽利略（G.Galileo，1564―1642）和德國天文學家開普勒（J.Kepler，1571―1630）的一系列發現，導致了數學從古典數學向現代數學的轉折.在25歲以前，伽利略就開始做了一系列實驗，發現了許多有關物體在地球引力場運動的基本事實.開普勒在1619年前后歸納出著名的行星運動三定律.這些成就對后來的絕大部分的數學分支都產生了巨大影響.伽利略的發現導致了現代動力學的誕生，開普勒的發現則產生了現代天體力學.物理、力學和天文學等學科的迅速發展，產生了以下四類問題：
1.已知物體運動的路程與時間的關系，求物體在任意時刻的速度和加速度.反過來，已知物體運動的加速度和速度，求物體在任意時刻的速度和路程.
困難在于17世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化.計算平均速度可用運動的時間去除運動的距離.但對瞬時速度，運動的距離和時間都是0，這就碰到了0比0的問題.這是人類第一次碰到這樣的問題.
2.求曲線的切線.這是一個純幾何的問題，但對于科學應用具有重大意義.例如，在光學中，透鏡的設計就用到曲線的切線和法線的知識.在運動中也遇到曲線的切線問題.運動物體在它的軌跡上任一點處的運動方向，是軌跡的切線方向.
3.求函數的最大值和最小值問題.在彈道學中涉及炮彈的射程問題.在天文學中涉及行星和太陽的最近和最遠距離問題.
4.求積問題.求曲線的弧長、曲線所圍區域的面積、曲面所圍的體積、物體的重心等.這些問題在古希臘就已經開始研究，但他們的方法缺乏一致性.
這些問題要求建立新的數學工具研究物體的運動變化規律，研究曲線和曲面的性質.在這種形勢下，天才的英國物理學家、理學家、天文學家和數學家牛頓（I.Newton，1642―1727）和德國數學家、哲學家萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646―1716）總結并發展了前人的成果，建立了連續量變化率的直觀概念和計算方法，發現了求連續量累積綜合的問題剛巧是求變化率的逆運算，從而各自獨立地創立了微積分的運算體系.
牛頓建立了微積分的演算體系以后，受開普勒三定律和重力的啟發，想到了行星間所受的力為萬有引力.他最后成功地運用微積分，從開普勒三定律推導出萬有引力定律，又反過來從萬有引力定律推導出開普勒三定律，這就是人類歷史上最偉大的自然科學著作之一――牛頓的《自然哲學的數學原理》的主要內容.從此，微積分逐漸應用到一切科學技術領域.像達朗貝爾（DAlembert，1717―1783）、拉格朗日（Lagrange，1736―1813）、歐拉（Euler，1707―1783）、拉普拉斯（Laplace，1749―1827）、高斯（Gauss，1777―7855），都是運用微積分在開拓新領域方面最卓越的數學家的代表.
牛頓與萊布尼茲當時建立的微積分概念與演算，是以直觀為基礎的，概念并不準確，推導公式有明顯的邏輯矛盾.在微積分廣泛應用的17―18世紀，人們沒顧得及（也許是還不可能）解決這些題.到19世紀，矛盾已積累到非解決不可的程度，這就是第二次數學危機.經過人們的長期努力，最后由柯西（Cauchy，1789―1857）、波爾查諾（Bolzano，1781―1848）、威爾斯特拉斯（Weierstrass，1815―1897）等人，用極限把微積分的概念澄清.但隨后極限的存在性問題開始出現，最終，戴德金（Dedekind，1831―1916）、康托（Cantor，1845―1918）、威爾斯特拉斯等人，又給出了連續量的數學表示，建立了實數連續統的理論，把極限理論建立在堅實的基礎上.微積分基礎的建立，和群論、非歐幾何一起，被譽為19世紀數學的三大發現，它們改變了整個數學發展的進程，形成了近代數學與現代數學.
此后，數學的發展呈現出一日千里之勢，形成了內容豐富的高等代數、高等幾何與數學分析三大分支，并出現了一些其他的相關分支，它們被統稱為高等數學.在這個階段，數學中研究的“數”是變數或變量（即在某一運動變化過程中不斷變化、可以取不同數值的量），研究的“形”是復雜的不規則的幾何形體（例如，曲線、曲面、曲線形與曲面形等）.而且，由于Descartes直角坐標系的引入，使“數”與“形”緊密地聯系起來，平面上的點可以用有序數偶表示，平面曲線（動點的軌跡）可以用代數方程來表示，因此，“運動和辯證法便進入了數學”（恩格斯著《自然辯證法》）.這個階段被稱為高等數學階段或變量數學階段.同學們在大學本科階段學習的數學課程大多屬于這個階段的內容.
第三個階段是從19世紀末開始，即現代數學階段.至今，這個階段還在發展之中.由于集合論的創立，不但為數學的發展奠定了堅實的基礎，而且使得數學的研究對象――“數”與“形”，具有了更豐富的內涵和更廣泛的外延，表現形式也更加抽象.
從研究常量到研究變量，從研究規則的幾何形體到研究不規則的幾何形體，是人類對自然界認識的一大飛躍，是數學發展中的一個轉折點.由于研究的對象不同，研究的方法也不同.初等數學主要采用形式邏輯的方法，靜止地、一個一個問題孤立地進行研究，而數學分析卻不然，它是以極限為工具對連續量進行研究.
連續量在生活中隨處可見，時間和位移是最基本的兩個連續量，其他當然還有許多.一天中，氣溫隨時間（連續）變化，這就是（連續）函數的概念.我們研究連續量，還要進一步研究一個連續量隨另外一個連續量連續地變化的規律，這里涉及兩個最基本的問題，即微分運算和積分運算.
問題之一是一個連續量隨另一個連續量變化的“瞬時”變化率，這就是微分運算.
牛頓是以力學為背景來研究微積分的，他所建立的導數計算法則稱為“流數術”.按照這種方法，我們來求自由落體運動在某一時刻的瞬時速度.
摘 要：最近幾年，隨著我國教育體制的不斷變革，高校越來越重視高等數學教育問題。數學文化是人類文化的一個重要組成部分，也是數學教育與人文思想的總和。高校要想提高自身的數學教育水平，就必須重視數學文化特征。本文主要分析了數學文化概念和特征，并重點講述了基于數學文化觀視角的高校數學教育有效措施，以期能夠提高高校數學教育的水平。
關鍵詞：數學文化；高校數學教育；特征；有效措施
0 引言
目前，隨著我國社會經濟的不斷發展，我國高等數學教育也發生了很大的變化。高等數學教育不僅是高校教育中的重點，也是高校教育中的難點，高等數學屬于基礎性的一個重要學科，它對高校其他課程都有一定的影響。數學文化對高等數學教育有著非常重要的影響作用，它能夠為高等數學教育提供一個嶄新的視角。但是，從目前我國高校數學教育的現狀來看，高等數學教育中依然存在很多問題亟待解決。因此，高校應該充分認識到高等數學的重要性，認真把握數學的文化特征，并改進教學方法，激發學生學習興趣，不斷提高數學教師的綜合素質，從而提高高等數學教育的效率和質量[1]。
1 數學文化的概念和特征
1.1 數學文化的概念
數學文化主要指的就是在數學的教學過程中，把數學理論、思維等多方面知識進行的有效整合，然后用文化的觀點來強調數學存在的文化價值。在數學文化中，它還注重對數學人文特點的分析，對高等數學教育的開展具有非常重要的意義。與此同時，與其他文化相比，數學文化具有獨特性，它不受到任何國家和語言的限制，并且在我們的實際生活中發揮著不可替代的作用。除此之外，據相關數據調查顯示，我國的數學發展是比較漫長的，而且數學也隨著時間的變化也有了很大的進步[2]。最后，高校要想提高數學教育水平，就應該讓學生熟練掌握數學基本知識，加深學生對數學知識的理解，從而提高學生的綜合素質水平。
1.2 數學文化的特征
1.2.1 數學文化的系統性
針對數學文化來說，數學文化具有系統性特點。首先，數學知識沒有民族限制，也沒有國家限制，它屬于全世界人類的文化財富，具有統一性。其次，數學文化是一種傳遞人類思想的方法，它有著獨特的語言，比如，物理學科中的真理大都是通過數學語言以及系統來表達的，數學是其他學科的重要基礎。由此可見數學文化的系統性。
1.2.2 數學文化的個性
數學文化是各個民族共同努力才形成的，是人類文明的重要組成部分。眾所周知，不同的民族有著不一樣的語言、文化、風俗等，從而使得數學文化具有很強的差異性和個性。與此同時，數學文化是人類文化發展中一項非常重要的內容，數學文化在各個民族中都有廣泛的體現，由此可見數學文化的重要性[3]。
1.2.3 數學文化的再造性
要想保證數學文化能夠長久穩定地發展下去，各大高校就應該重視數學教育活動。經過多年的實踐經驗可以看出，數學文化具有穩定性和再造性，我們能夠通過數學教育活動來影響下一代人，把數學文化傳承下去，從而體現數學文化的再造性。
2 基于數學文化觀視角的高校數學教育意義
2.1 有利于激發學生學習數學的興趣
眾所周知，數學學科是一個比較難懂的學科，如果教師不采用一些合理的方法，那么就會使得學生缺乏對高等數學的學習興趣。因此，很多高校的數學教師都在授課時，引用數學文化知識，通過講數學小故事或者展示數學圖片的方法來提高課堂學習的氣氛，從而使得數學的公式、內容都不顯得很枯燥[4]。總之，引用數學文化知識，能夠有利于激發學生學習數學的興趣，從而提高高等數學的教育質量。
2.2 有利于培養學生欣賞美的能力
數學文化的內涵是豐富多彩的，教師在傳授數學知識時，應該不斷挖掘數學文化，給學生展現出數學的美，讓學生都能夠充分認識到高等數學的重要性，不斷培養學生的審美意識，從而提高學生的綜合素養。
2.3 有利于促進學生素質教育的發展
從以往傳統的高等數學教育來看，在高等數學教育的過程中，很多數學教師都只是重視學生的知識成分，重點培養了學生的高等數學分析能力，但是，忽視了數學文化素質的培養，沒有傳授給學生使用數學知識解決實際生活問題的能力，從而使得很多大學生都缺乏數學人文精神的教育。因此，為了改變這一現狀，越來越多的高校注重數學文化的教育，給數學課堂教育帶來了很多的生機和活力，有利于促進學生素質教育的發展。
3 基于數學文化觀視角的高校數學教育有效措施
3.1 轉變教學觀念，提高數學教師素質
要想保證數學文化繼續傳承下去，高等數學教師就應該轉變教學觀念，不斷提高自身的綜合素質。高等數學教師是數學文化的主要傳播者，數學教師的思想管理直接影響著高等數學的教育質量，只有提高了數學教師的數學文化知識水平，才能在具體的教學中把文化知識滲透到學生思想中。因此，高校應該重視高等數學教師綜合素質的提高，不斷轉變教學觀念，重視學生文化知識的滲透。
3.2 充實教學內容，滲透數學文化知識
針對高等數學教育來說，充實教學內容，滲透數學文化知識具有非常重要的意義。因此，高等數學教師在授課時，應該重點講解數學知識，在數學知識中滲透數學文化，不斷豐富高等數學文化背景知識，讓所有學生能夠得到笛文化的熏陶，從而提高學生學習高等數學的興趣，最終提高高等數學的教學效果[5]。
3.3 改進教學方法，激發學生學習興趣
學習數學的目的就是要把數學知識運用到實際生活中，因此，高等數學教師應該改進教學方法，把數學教學的內容和學生的日常生活有效地結合在一起，不斷拓展數學文化知識，改進教學方法，從而激發學生學習興趣。比如，在進行微積分等內容的講解時，高等數學教師應該讓學生提前做好課前預習，根據數學內容查找與之對應的數學文化知識，充分體會到數學計算的重要性，從而提高高等數學課堂教學的效率。
3.4 利用信息技術，全面展示數學文化
現如今，隨著我國科學技術的不斷發展，各行各業都在使用信息化技術，高校也不例外。很多高校都在逐漸使用多媒體技術，多媒體技術能夠使得數學文化知識變得豐富多彩，高等數學教師可以使用視頻、圖片等方法來把數學知識傳授給學生，提高學生對數學學習的主動性，保證教學內容變得更加生動形象，全面展示數學文化，從而提高數學教學的質量。
3.5 開設選修課程，提高學生文化素養
數學知識比較煩瑣，所以學生學習數學的任務也比較繁重，因此，高校應該開設選修課程，學生可以根據自身的興趣愛好進行選擇。選修課程能夠在很大程度上彌補課堂上遺留的數學文化知識，保證學生能夠及時掌握課外知識，從而提高學生的數學文化素養。
4 結束語
總而言之，高等數學教育從整體上來說就是數學文化教育，它也是高校教育的一個難點。高校應該通過引入數學文化教育，讓學生都能夠在學習中熟練掌握數學知識，并能夠運用數學知識解決生活中遇到的問題，同時，高校還應該不斷提高數學教師的綜合素質，改變數學教育方法，利用信息技術，全面展示數學文化，從而使得數學教育工作取得更好的效果。
【摘 要】研究性學習是一種受到廣泛關注的學習模式，本文探討了網絡環境下數學分析研究性學習的優勢，并提出了一種基于網絡的數學分析教學改革的實踐模式。
【關鍵詞】網絡環境 研究性學習 數學分析
研究性學習是指學生在教師指導下，從自然現象、社會現象和自我生活中選擇和確定研究專題，并在研究過程中主動地獲取知識，應用知識解決問題的學習活動。數學分析教學旨在培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，以逐步形成運用數學知識來分析和解決實際問題的能力。本文旨在探索如何利用網絡技術開展研究性學習的方法，力求開辟一條數學分析教學的改革新路。
一、網絡環境下數學分析的研究性學習
研究性學習是為學生構建的一種開放的學習環境，提供一個多渠道獲取知識，并將學到的知識加以綜合和應用于實踐的機會。這種教學方式是把學生置于一種動態開放、主動、多元的學習環境中，積極發掘學生的潛力，充分發揮學生的主動性，這也是改變傳統的數學分析教學模式的全新教學理念。計算機網絡是巨大的知識與信息的資源庫，它為數學分析教學改革提供了一個平等的、自由的、開放的環境，容易激發學生積極參與各個教學環節的主動性。網絡的智能化、交互性特點使學生可以控制信息、改變信息組織過程，從而激發學生的想象力和創造力。因此，網上豐富的資源與多媒體網絡環境為實施數學分析的研究性學習提供了重要的條件，其優勢主要表現在：
1．網絡為數學分析的研究性學習提供了豐富的信息資源
開放性是研究性學習內容選擇上的主要特點。在同一主題下，研究視角的定位、研究目標的確定、切入口的選擇、過程的設計、方法手段的運用以及結果和表達等，均有相當大的靈活度，為學習者（學生）、指導者（老師）留有巨大的個性特長和發揮才能的巨大空間。在數學分析學習過程中，伴隨著情境性問題的產生和研究學習的深入，學生需要了解更多的、相關的、具體的信息，借助網絡的巨大搜索引擎功能，學生可以快速查尋相關的信息，可以大大節省學習時間，提高學習效率。
2．網絡虛擬環境為數學分析研究性學習提供了在現實中無法體驗的情景
研究性學習的內容是通過需要探究的問題來實現的，大量的學習內容是學生在主動探究中或在教師的啟發幫助下通過自主選擇獲得的，研究性學習強調學生的親身經歷，要求學生參與到各項教學活動中的每一個細節，在活動中自主選擇問題進行探究，發展實踐能力和創新能力。網絡虛擬現實與虛擬的交往為研究性學習提供了一個豐富的信息世界，它匯集人工智能、計算機圖形學等多項技術，通過多媒體技術與仿真技術相結合完成視、聽、觸覺一體化的虛擬環境，學習指導中把數學分析問題融合于具體的情境中，學生以自然方式與虛擬環境中的客體進行交流，從而給學生以逼真的感受與體驗。
3．網絡為數學分析研究性學習提供了交流平臺
研究性學習的過程正是一個溝通與協作的過程。網絡正好為研究性學習提供了一個交流的空間。
4．網絡環境下的數學分析研究性學習有利于辯證思維和橫縱思維的培養
橫縱思維包括“橫向搜索”和“縱向搜索”兩方面。橫向搜索用于解決“橫向復雜性”，縱向搜索用于解決“縱向復雜性”。辯證思維從哲學上為解決高難度復雜問題提供指導策略，橫縱思維則從心理學角度為解決復雜問題提供具體的操作策略。網絡平臺使得學生與學生之間、學生與教師之間、學生與相關專業人員之間進行交流，互相從問題的不同側面進行辯論與探討，可以使學生進行充分的研究、探索事物的來龍去脈，更加全面認識問題。網絡環境為學生與學生之間、學生與教師之間、學生與其他社會力量的溝通協作提供了平臺，通過對問題多方面的探究，可以使學生進行充分的調查研究，探索事物的來龍去脈，進而培養學生的辯證思維和橫縱思維。
5．網絡環境下的數學分析研究性學習有利于發散思維的培養
發散思維又叫求異思維、逆向思維或多向思維，它強調思維內容和思維成果應與傳統觀念或原有概念不同，甚至相反，其思維事先不能確定，可以是一個，也可以是多個。它是指人們沿著不同方面思考，得出大量不同或相同結論的思維。發散思維在數學分析學習上具有十分重要的作用。要想學到更多的知識，就必須強調發散思維，沒有發散思維，就沒有任何創造性的萌芽和創造性的成果?？梢哉f，一切創造都起源于發散思維，數學分析學習中若沒有發散思維，則容易造成學生對書本對教師對權威的迷信，使學生的認識停留在書本上，不敢提出半點懷疑，而沒有疑問，是學不好數學分析的。網絡上有大量的豐富的數學分析教學資源，這為網絡環境下的研究性學習提供了極為有利的條件。在教學中，不少同學在網上與網友討論學習問題，有的利用網絡搜索，從網上下載了各類教學課件，這些課件均為各數學分析教學利用，各具特色，為學生的學習提供了全方位、多角度的支持，擴大了學生的視野，使他們不再局限于書本的知識，有利于發散思維的培養和創新思維的產生。
二、網絡環境下數學分析研究性學習的實施
由于數學分析研究性學習的目標是使學生獲得親身參與研究性探索的體驗，學會分享與合作，培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，培養學生收集、分析和利用信息的能力，培養科學研究的興趣、態度和社會使命感，它是一種基于項目的學習類型，強調尊重不同的觀點和交流協作，因此筆者在實踐教學中把它的教學程序劃分為五步，即問題產生、立題、展開研究、分析討論、得出結論。其中需要注意的是，每一個步驟都是由教師和學生共同參與完成的，必要時問題可以由教師先給出，再由師生共同討論后確定：每一個步驟都會產生形成性評價信息；每一個步驟的完成時間并沒有嚴格的限制，可以根據課時安排適當調整；在討論分析中，可能會產生新的問題，或需要更充分的信息支持，因此學習可能要轉到新的分析研究中。
1．選題是數學分析研究性學習教學的關鍵
選題是數學分析研究性學習教學成功與否的關鍵所在，題目不僅要是“可能”、“力所能及”，更重要的是對學生今后的學習和發展有幫助，亦即通過數學分析教學研究性學習，實現課程目標，并將所獲得的知識技能運用于數學分析教學學習，切不可將“研究性學習”簡單理解為在教室里用所學的“數學知識”解決幾道“應用題”。
數學分析研究性學習的課題，可以根據學校的實際情況和學生的專業領域來選取，筆者在教學中采用“大課題”和“專題”相結合的形式進行數學分析的研究性的教學，效果較為明顯。大課題每學期安排1～2個為宜，主要以小組的形式進行，課題在學習生活、日常生活與社會生活的交匯點產生，如煮粥中的積分。而專題是指在數學分析教學中，每一單元或每一階段都確定一個研究題目，如產品利潤中的極限問題、單位時間內血流量問題、轉售機飛機俯沖時機翼影響的速度問題、飛機降落曲線問題等。為增強學生的參與積極性，可以將課題的研究作為期末成績的一部分，讓研究性學習中所獲得的直接經驗與數學分析課程所獲得的間接經驗交互作用，相輔相成，極大地調動了學生學習數學分析的積極性，有利于研究性學習與數學學科的應用功能的發揮。
2．研究的過程是整個研究性學習課程實施的重點
在研究性學習實施過程中，一方面，要給學生保留足夠的時間和空間，另一方面，教師要及時了解學生開展研究活動時遇到的困難以及他們的需要，有針對性地進行指導，成為學生研究信息交匯的樞紐，成為交流的組織者和引導者，給學生適時的鼓勵和指導，幫助他們建立自信心并進一步提高學習積極性。因此在數學分析研究性學習教學管理上，要做到外松內緊，督促、指導每位同學填寫好每一次活動情況記錄、活動體會等，每項工作落實到位，使學生更深刻的體會、理解開展研究性學習的意義，積極主動地參與研究，在研究過程中提高自身的綜合素質。
3．采用有效的評價策略是數學分析研究性學習順利進行的保障
在研究性學習評價策略方面，除了注重學生的自我評價、注重合作的作用外，還應該將數學分析研究性學習的評價整合進數學分析的課堂教學之中。研究性學習的評價更加注重學習過程，而不僅僅是結果，整個學習過程中學生處于一種積極、活躍、興奮的狀態，從選題到制定研究計劃，再到收集資料，最后到結果的呈現，無不滲透著他們的辛勤勞動和積極的思考，由此豐富了學生學習的經驗，進而促進學生獲取知識和運用知識能力的提高，可見，評價應該圍繞學生是否將研究性學習中所獲得的獲取知識的技能方法運用于數學分析學習，在數學分析學習中如何提問、如何收集信息、如何做出假設和解決問題，也就是數學分析研究性學習的評價與數學學科的學習進行整合。
數學分析研究性學習作為一種教學改革的嘗試，既為學生提供了更廣的學習空間和更加靈活的學習形式，又能使學生的能力、情感、態度、學習方法等方面的素質得到發展。學生經過收集、處理和加工信息資料，綜合運用理論和實踐知識，使學生的數學基礎知識得到鞏固，學科素質和實踐能力得到提高，同時，增強了自我學習的意識。在課題研究的過程中，學生的個人興趣、愛好和特長的發揮，激活了學生的創造潛能和學習積極性，培養了學生科學研究的志趣、態度和團隊合作精神。
摘要：本文主要分析地方院校小學教育（數學方向）本科專業數學分析教學中存在的問題，基于專業的“師范性”與“應用性”及自身的教學體會，提出教學改革的幾點建議：教師要更新教學理念，根據專業科學制定課程教學大綱，注重引導學生對本課程的價值認識和學法指導，確定教師講授與學生自主探究相結合的教學方法。
關鍵詞：地方院校;小學教育專業;數學分析;教學改革
一、引言
數學分析[1]是小學教育（數學方向）本科專業（以下簡稱“小教數學專業”）的一門重要基礎課，具有“邏輯推理性強，抽象性高，應用性廣”的特點。學習本課程，有利于提高學生的邏輯推理、抽象思維和運算能力，是他們學習各門數學課程的重要前提。因此，如何搞好數學分析教學，是任課教師長期探究的課題[2-4]。但有關地方院校小教數學專業數學分析課程教學改革的研究，鮮見被報道[5，6]。因此，在培養應用型高級人才的背景下，探究地方院校小教數學專業數學分析課程的教學改革，是一項迫切而重要的任務。本文主要分析當前地方院校小教數學專業數學分析教學中存在的一些問題，基于專業的“師范性”與“應用性”及個人的教學體會，提出教學改革的幾點建議，以期與同行探討。
二、地方院校小教數學專業數學分析教學中存在的問題及原因分析
（一）存在的主要問題
教學實踐中，通過訪談、調查和考試質量分析等多種渠道，發現當前本專業數學分析教學中存在三個方面的問題：一是學生認為學習本課程的難度大，內容多學時少，每次課的學習內容量大且抽象難懂，學習任務重，心理壓力大，信心不足，有畏難心理。二是學生學習方法不當，仍然局限于中學時的學習方法，過于依賴教師，偏重于既有結論和公式基礎上的簡單計算或論證，對數學思想和數學方法重視不夠，缺乏數學證明中常用的化歸思想，學習效率低。三是學生對本課程的價值和重要性認識不足，缺乏學習的內部動力，缺乏學習興趣。
（二）主要原因分析
1.教師因素。（1）教師教學理念陳舊。教學中，仍然以教師為中心，忽視學生在教學活動中的主體地位，在培養應用型人才的背景下，學生是教學活動的主體，教師是教學活動的設計者，是學生參與教學活動的引導者和組織者。（2）教師教學忽視專業特點，沒有能夠真正做到“因材施教”。主要表現為兩個方面：一是教學中把小教數學專業等同于數學與應用數學專業，教學要求高，難度大，結果達不到既定教學目標;二是把本專業數學分析教學等同于大學文科高等數學教學，降低教學要求，不符合小教數學專業的培養要求。（3）教學方法和手段單一。在教學方法上，受傳統教學方式的影響，教師教學仍以講授法為主，課堂上學生參與度較低。教學中，重理論知識講授，輕數學思想和方法的傳授與訓練;重教師的主觀想法，輕學生的自主探究學習安排;重具體的習題講解，輕引導學生查閱資料和學法指導。在教學手段上，仍然局限于“粉筆+黑板”，不能借助多媒體輔助和豐富教學，從而促進教學質量的提高。
2.學生因素。（1）學生主觀上存在不足。相當數量的學生，在主觀上對數學分析課程的重要性認識不足，不重視數學分析的學習。以筆者所任教的班級為例，調查結果表明，本專業近50%的學生認為：“數學分析課程太難，過于抽象，和生活沒有直接聯系，對今后從事小學教育教學工作沒有直接的促進作用和實際應用價值?！辈幌胝J真學習本課程。他們普遍認為，值得學習的主要課程有小學數學教學論、小學數學教學技能訓練、三字一話、簡筆畫、音樂、美術和舞蹈等，因為這些課程與小學教學工作有直接的聯系。（2）學生的數學素養不高。隨著我國高等教育規模的不斷擴大，地方院校尤其是新建本科院校的生源質量下滑是不爭的事實。
首先，本專業學生的數學基礎薄弱。例如，多數學生沒有學習和掌握反三角函數、三角函數的積化和差公式與極坐標方程等與數學分析中的微積分學有直接聯系的內容，在實際教學中，許多教師想當然地認為學生已經掌握了這些知識，導致學生在課堂上難以理解教師所講授的內容，課外自主學習效率不高，影響教學質量。其次，多數學生沒有養成良好的數學學習習慣，沒有掌握正確的數學學習方法，主要表現為：沒有養成良好的數學解題習慣，沒有養成克服困難、專心思考的習慣，沒有養成自主學習和與教師、同學相互討論的習慣，沒有養成向教師提問和敢于質疑的習慣，沒有養成課前預習和課后總結復習的習慣，沒有養成查閱資料的學習習慣。
三、小教數學專業數學分析教學的改革建議
在培養應用型人才的背景下，基于小教數學專業的“師范性”和“應用性”及筆者的教學體會，數學分析教學改革應注意以下方面。
1.教師要更新教學理念。教師必須具備正確的教學觀和學生觀，充分認識到教學過程既是課程傳遞和執行的過程，又是課程創生和開發的過程;教學是師生交往、積極互動和共同發展的過程，既重結論又重過程;清楚地認識到學生是發展的人，是獨特的個體，是具有獨立意義的人，在教學中必須建立良好的師生關系;教學中，既要關注學科，更要關注學生，在行為上應表現為尊重、欣賞、幫助和引導學生。
2.根據專業實際，科學制定教學大綱。教學大綱是課程教學實施的重要依據，制定數學分析課程教學大綱，總體上應從“了解、理解、掌握和綜合運用”四個層面去規范課程要達到的目標;從“經歷、體驗和探索”三個層面，指導各章節內容的教學過程，以促進學生掌握“四基”為授課具體目標，即要求學生掌握數學分析課程的基礎知識、基本技能、基本數學分析思想和基本高等數學活動經驗。例如，對“定積分的應用”一節的教學要求，可表述為：使學生在進一步理解定積分幾何意義的基礎上，熟練應用定積分求相關平面圖形的面積、曲線的弧長等幾何問題，經歷微元法的探究過程，掌握并熟練應用微元法求液體的靜壓力、引力和平均功率等物理問題;深刻體會定積分的價值，增強學習數學分析的熱情和學科情感。
3.確定教師講授與學生自主探究相結合的教學方法。和所有學科教學一樣，小教數學專業數學分析課程教學方法的選擇，必須遵循“因材施教”這一亙古不變的原則。綜合考慮本課程“邏輯推理性強，抽象性高，應用性廣”的特點和地方院校小教數學專業學生“數學基礎薄弱、學習習慣不好”的實際，及遵循“教學中發揮教師主導作用和以學生為主體”的教學要求，教學中應確教師講授與學生自主探究相結合的教學方法。在實際教學中，應根據教學內容，把握好教師講授和學生自主探究的時間比例。例如，對函數的連續性、可微性、可積性等理論性強且抽象而復雜的內容，教師的講授可多些，啟發引導學生探究的內容所占比例要少些;對定積分的概念、基本性質及應用等內容，教師要減少講授時間，增加啟發引導學生自主探究的時間。值得注意的是，教學中，教師要注重數學思想方法的傳授。
4.注重引導學生真正認識本課程的重要價值，重視學法指導。當學生真正認識到數學分析課程的重要理論價值時，學習積極性將會大大提高，有利于課程目標的實現。常言道：“良好的開始是成功的一半。”因此，教師要用緒論課引導學生深刻認識本課程的重要理論價值。在緒論課上，需要完成四個方面的任務：一是通過數學問題，引導學生認識數學分析的理論價值和應用，激發學生的學習興趣，提高學習積極性和主動性。例如，可以拋出“曲邊梯形的面積怎么算？”“sin31°的近似值怎么求？”及“e0.1=？”等問題，引導學生思考和討論，然后由教師說明數學分析課程是解決此類實際問題的科學，學生自然會從內心深處真正感受到這一學科的重要價值，自覺端正學習態度。二是通過幽默風趣的語言與學生交流，內心真正尊重和欣賞學生，使他們感受到教師就是他們的“良師益友”，創建良好的師生關系，為今后的課堂教學奠定良好的師生關系基礎。三是對本課程內容向學生做一個總體介紹，使他們有一個整體認識，對學習起到提綱挈領的作用。四是介紹數學分析課堂的基本特點、本課程的作業及考核要求及學生學習課程的基本方法，強調自主學習和合作學習的重要性。例如，讓學生明白數學分析課程的學習，注重計算的同時更注重理論分析和邏輯推理及思想方法的掌握，要做到：課前認真預習，課上認真聽課，課后對所學知識反復揣摩和自主探究，同時要養成與教師、學生討論和查閱資料的良好學習習慣。
四、結語
本文主要分析地方院校小教數學本科專業數學分析課程教學中存在的問題及原因，提出進行數學分析課程教學改革的幾點建議。教學實踐表明，以上提出的教學改革措施是有效的。但在實際教學中，要全面提高教學質量，有許多具體問題需要討論和解決，如編寫小學教育專業數學分析教材就是一項具有挑戰性的工作。
摘要：《數學分析》課程教學應打破傳統教學模式，積極開展自主、合作和探究式教學.微分概念探究教學應從概念的形成、概念的理解與鞏固、學生認知水平三個角度開展.通過實踐分析和總結得到：數學分析課程探究式課堂教學要重視良好課堂氛圍的營造，探究活動核心環節的掌控以及學生認知水平的發展三個環節，循序漸進地開展科學合理有效的課堂探究教學活動.
關鍵詞：微分；探究教學；情境問題
一、引言
目前，很多從事高校數學課程教學的教育工作者，仍然采用教師教，學生學；教師講，學生聽的傳統教學模式，導致學生學習積極性不高，學習興趣逐漸喪失，因此，傳統數學教學模式不利于學生形成良好的數學學習習慣和創造性思維能力.2015年國務院辦公廳關于深化高等學校創新創業教育改革的實施意見中指出：“高校課程教學和考核方式要開展啟發式、討論式、參與式教學，……，注重考查學生分析、解決問題的能力.”針對這一要求，高校數學教師應結合數學課程自身特點積極開展探究式教學改革.近年來，有關數學探究教學的研究主要集中在中學數學教學領域[1-4]，然而高校數學探究教學的研究比較少，針對這一現狀，本文以高師《數學分析》課程中微分概念探究教學為例，提出《數學分析》教學應積極開展自主、合作、探究的有效教學模式，為學生提供更多主動參與、合作交流、探究發現的教學活動，從而促進學生主體學習意識和能力的培養.
二、微分概念的教學探究實踐與分析
Klausmeier指出概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進行分類的心智結構.概念是重要的，概念反應思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產生思想的，相反，思想產生概念.[5]事實上，人類社會現有的數學概念都是在人類社會歷史發展的過程中，隨著勞動實踐和社會經驗的積累，在經驗概括的基礎上形成的.[6]因此，教師在微分概念教學過程中，應從微分概念知識起源中尋找切入點，根據學生的認知水平，創設合理情景，引導學生從具體事例抽象出微分的實質，自主構建微分概念，并感悟概念形成中蘊含的數學思想，逐步培養自身的數學概括能力.
1.注重學生從具體到抽象的思維能力的培養，體會概念形成過程.微分概念比較抽象，若教師直接引入，學生很難理解與接受，故可以結合微分在實際的生產生活領域中的應用來引入微分概念.在實際生活中，往往需要根據測量值來近似計算某些物理量，故教師可以設計如下教學情境引入課題.
教學片段1：教師拿出三個正方形紙板如下圖1所示，展示三個正方形紙板的面積的變化情況，并提出如下問題：
問題一：觀察三個圖形中面積增量主要取決于哪一部分？
問題二：思考當邊長增量Δx0時，ΔS，200Δx，（Δx）三者存在著怎樣的關系？
設計意圖：通過動態圖形演示，創造教學情景，引導學生觀察面積的變化規律，形成感官上的一種具體認知和判斷.然后通過設置問題引導學生朝著預設的教學目標方向進行思考，并檢測不同層次的學生對問題的分析理解能力.
學生在討論后給出答案：當邊長增量Δx0，故有
顯然，學生能夠利用已學導數的概念來分析問題，但是對問題的理解缺乏方向性，沒有刻畫ΔS，200Δx，（Δx）三者關系，此時教師可以做進一步補充：
說明邊長增量越來越小時，面積增量的實際值主要決定于兩個小長方形的面積.再借助高階無窮小量可知
ΔS=200?Δx+ο（Δx）
從而使得微分概念的雛形自然而現.進而針對一般函數f（x），給出微分的一般定義形式
其中ο（Δx）是Δx的高階無窮小量.
教學分析：好的教學情境的引入，往往能營造良好的教學氛圍，提升學生參與教學活動的積極性和主動性.但是在這樣的教學過程中，學生的初步認知往往是具體的，并且是不完整的，甚至是錯誤的，教師應引導學生多思考如下問題：我的理解方式與已有的概念是否存在聯系？解決問題的關鍵在哪里？結論是否具有推廣性？若不能推廣，是否可通過修改條件實現結論的推廣？等等.學生在反思過程中，會對已有的認知和理解進行深入思考，從而使得自己對數學知識的體驗不斷得以釋放，思維能力不斷提升，并逐步達到抽象思維的認知水平.
2.注重學生對概念深化理解，通過變練演編等方式鞏固概念.王光明博士認為：理解是數學學習的重要環節，“懂而不會的”現象說明學生對數學知識的學習并未達到真正的理解[7].因此，當微分概念給出后，并不代表著學生能準確認識和理解概念，它需要教師進一步引導學生從不同的側面和角度去挖掘概念，解釋概念，深化學生對概念的理解.
教學分析：本題的解題過程充分展現用定義法驗證函數在某點可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教師在對微分概念講解時要循序漸進，對問題的探究思路和角度要多元化，對教材例題要進行剖析和演編，同時還要給學生一些與例題類似或演編的題目進行訓練，這樣可以進一步加深學生對微分概念的理解.
3.在概念教學中逐步提升學生的認知水平，幫助學生建立新的認知結構.教師對例題進行總結和歸納是加深學生對概念理解的一種有效方法，同時也是促使學生發現新問題或新規律的一個有效途徑.著名教育家波利亞在其著作《數學與猜想》中寫道：“數學的創造過程是與任何其他知識的創造一樣的.在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路.”[8]所以在教學活動中，教師應積極引導學生對已有結論進行反思、歸納和論證，促使學生的數學認知水平逐步提高，并在原有的認知水平上建立起新的認知結構.
教學片段3：教師請學生觀察分析上述例題中給出的微分表達式的特征有哪些，并猜想在具備同樣條件下的一般函數f（x）是否也有類似結論成立，若成立嘗試證明你的結論.
設計意圖：培養學生的觀察分析能力，合情推理和歸納證明的能力等，通過對這些能力的培養，不斷提升學生的認知水平，幫助學生建構新的認知結構.
學生通過相互討論給出答案：（1）微分都是一個常數與自變量增量的乘積的結構模型；（2）算例表明常數恰巧是函數在該點處的導數值；（3）由導數定義形式可推知
-f′（x）=ο（1）？圯Δy=f′（x）Δx+ο（Δx），
表明函數f（x）在點x可導一定可以推出f（x）在點x=x可微.
在了解學生的認知情況后，教師可以對學生給出的答案做進一步補充說明：一元函數可導一定可微，反之，可微也一定可導，證明如下
顯然根據導數的定義可知A=f′（x）.至此，教師可以帶領學生對上述討論內容進行總結，強調函數可導與可微是等價的，同時也找到了判斷函數在某點是否可微的另外一種重要方法，此方法比微分定義法更容易證明.
教學分析：在課堂教學中，教師通過精心設置問題情境，引導學生進行演練、搜集數據和觀察對比分析，并借助已有的經驗知識進行大膽猜想，提出假說，進而論證假設的真偽性.在這一過程中，既發揮了教師在教學中主導作用，又體現了學生是課堂教學的主體.師生通過合作學習，共同探究，不僅增近了師生之間的情感交流，同時也讓學生在學習過程中獲得新的認知結構，提升了自身的認知水平，體驗了數學創造的艱辛歷程，并積累了豐富的數學素養.
三、數學分析課程探究教學的反思與建議
1.創設合理有效的問題情境，為學生營造良好的數學思維氛圍.合理有效地創設問題情境，能夠激發學生的學習積極性和主動性，讓學生在解決問題的過程中學會思考，因此，數學分析課程教學應盡可能開展“情景―問題”探究式教學活動，教師通過設置一些能夠與學生認知產生沖突的情境問題，將學生置身于探究未知問題的氣氛中，激發學生的好奇心和求知欲，從而形成學生積極思考的良好課堂氛圍.
2.開展探究教學活動要以教材為核心，做到循序漸進，問題解決方案多元化.數學分析課程教學由于學習內容比較抽象，學時又有限，所以在開展探究式教學活動中，教師要以教材為核心，重點突出基本概念與定理，并且教學過程中所設置的問題要適中，難度有層次性，能夠形成問題鏈.問題提出循序漸進，能夠體現思維水平由低到高的發展過程，此外，探究問題的解決方案盡可能多元化，學生在思考問題時可以從多角度、多方向、多途徑尋找切入點，提出多種新穎的見解，進而促進學生發散思維能力的培養.
3.引導學生多回顧與反思，形成新的認知水平.回顧與反思有利于學生養成“回到概念去”思考和解決問題的習慣，有利于發現數學問題及其解答的來龍去脈，有利于發現數學問題，方法和理論之間的廣泛聯系，有利于發現許多相關結果中的交匯點.[9]因此，教師在教學過程中，要多鼓勵學生進行反思，多聯系知識點之間的關系，通過反思與總結去改編，引申或者推廣已有的問題和結論，進而產生新的問題，形成新的認知結構.
摘 要：數學分析課程是數學專業的核心基礎課，該課程具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和科學的系統性，從而使得大部分大一新生在學習該課程時遇到較大的困難，導致難以達到很好的學習效果繼而影響后繼課程的學習。為更好地提高教育教學質量，實踐以學生為主體的辦學理念，選擇一套適合該院學生的該課程教材是教學改革的重要環節之一。通過引入層次分析法，計算出數學分析教材選擇中的指標權重，從而得到更合理、更科學的數學分析教材選擇模型。
關鍵詞：教材選擇 層次分析法 指標體系
當前地方院校使用較廣泛的數學分析教材有：華東師范大學數學系編《數學分析》，劉玉璉、傅沛仁編《數學分析》，王綿森、馬知恩編《工科數學分析基礎》，鄧東皋、尹小玲編《數學分析簡明教程》等。教材的評價是一項復雜的系統工程，涉及的因素較多，需要組織師生對教材的評價，還要考慮評價的公正、公平、客觀、有效性原則以及評價的成本和效應等。利用層次分析法可以科學合理地選擇應用型本科院校數學類專業的數學分析教材。
1 方法步驟
1.1 層次分析法
層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡記AHP）是由T.L.Saaty等人在20世紀70年代提出的一種定性和定量相結合的、系統化、層次化的分析方法。該方法自提出之后，由于它在處理復雜的決策問題上的適應性和有效性已經在眾多領域得到了成功的應用。
1.2 建立層次結構模型
根據應用型地方本科院校培養人才目標及數學分析教材選擇時涉及到的因素進行充分分析，建立層次結構如圖1所示。
第一層：目標層A，表示系統要達到的目標“最佳教材A”。
第二層：主準則層B，衡量達到目標的各項準則，包括知識體系B1、學生心理B2、質量體系B3。
第三層：子準則層C，是衡量達到主準則層的各項子準則，包括數學分析知識介紹C1、結構安排情況C2、難易程度C3、符合認識發展規律C4、學習興趣C5、學習主動性C6、印刷水平C7、教材價格C8、讀者服務C9。
第四層：方案層D，是實現目標可能采取的各種方案。對眾多的數學分析教材進行篩選后選定了3套教材，即華東師大編寫數學分析D1；劉玉蓮、傅沛仁編數學分析D2；王綿森、馬知恩編數學分析D3。
1.3 構造成對比較陣及計算權向量并做一致性檢驗
從層次結構模型的第二層開始，對于從屬于（或影響及）上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1～9比較尺度構造成對比較陣，直到最下層。由此得到主準則層B對目標層A的判斷矩陣，利用Matlab軟件對求出最大特征值。對做一致性檢驗，指標為，其中為判斷矩陣的階數。檢驗系數為，表明矩陣具有滿意的一致性。其中為平均一致性指標，當時，。同時可求得的對應于的單位特征向量為。
2 結語
從層次分析模型可知，最佳教材選擇應為D1，即華東師范大學數學系編《數學分析（第四版）》。D2所占比例與D1所占比例較接近，這也說明在實際工作中這兩部教材被眾多普通高校所選擇使用的主要原因。應用層次分析法對數學分析教材進行選擇，能夠很好地反映教材的實際情況，具有一定的合理性，避免了憑感覺選擇教材的局限性，從而能夠更好地為教學工作提供支持。但是用此方法在構造判斷矩陣時任具有一定的主觀性，各項指標權重及測評指標的內涵的確定仍有待進一步的研究與探索。
摘 要：縱觀世界，地鐵由于建設投資大，運營成本高，多屬公益性，一般都處于虧損狀態，具有建成后不易更改的特性。但同時地鐵運營所帶來的時間效益、勞動效益、安全效益、投資效益、節約效益等直接效益及帶動周邊建筑業、服務業發展及改善居民生活質量等間接經濟效益是巨大的。本文在充分調查青島公共交通狀況及經濟發展現狀及規劃的情況下，針對地鐵建設的規劃方案通過模型的模擬和分析，分別從地鐵線最優長度、站點分布指標、地鐵站篩選等角度進行探究，用數學模型結合實際，得出對地鐵規劃方案的改進意見和建議。
關鍵詞：地鐵；長度；站點分布；數學模型
1 問題重述
青島市地鐵3號線及2號線地鐵已開工建設，其它線路也已規劃，但人們關注地鐵站與自己工作或生活的地方是否較近，站點設置建設的合理化、人性化對地鐵使命的長遠有效完成起到關鍵性的作用。地鐵建設考察因素多、投資大、周期長，決定了從規劃設計、建設、實施運營的難以隨意更改性，在規劃線路和設置站點時，要以資源整合為前提，以實現各種效益的最大化為目標，以居民出行成本的最大化節約為依據，以方便最大多數人們出行為第一標準。在充分了解市內各區的情況下，做出如下的地鐵站點分布優化方案的數學分析。
2 前題條件要素
（1）一定時間內當地的客流量保持不變。
（2）當地每天的公交交通資源保持不變。
（3）人們出行優先選擇堵車幾率低，可靠性高的地鐵。
（4）假設每個站臺上下車人數相等。
（5）假設建設成本只與路線長度有關，其他次要因素忽略不計。
3 符號說明
Qi：第i條線路的站點密度。T： 地鐵單日工作時間。T1：地鐵運輸高峰時段。T2：地鐵運輸平峰時段。Ti：第i條線路單程總用時。Ni：第i條路線的站點數 。t1： 在小站?？繒r間 。t2：在大站及換乘站的?？繒r間。V：列車的平均運行速度。Si：第i條線路的長度。Γ：隨機數組。N：列車最大載人量。
4 數學模型
4.1 地鐵規劃數學模型涉及因素
4.1.1 投資成本和獲得的效益關系
因地鐵的投資成本高，這里只選取最基本的線路長度來研究。由于距離較短時，起不到改善城市運力的作用；當距離較長時，地鐵的運營要長期需要政府財政補貼，造成過重的財政壓力，社會效益不佳，這樣只有恰到好處、適宜的長度才能降低成本。
4.1.2 客流量
按基本假設（1），人口基數是客流量的多寡的本因，客流量越大，運營收入越大，經濟效益越大。反之，社會效益小，虧損值越大。
4.2 模型建立
（1）模型一 ：地鐵長度的合理性探究。
青島市區軌道交通線網由8條線路組成，青島城區有M1-5線，黃島區有M6、M7線，紅島區設有M8線。
對目前地鐵規劃分析：地鐵1號線：由青島北站到達流亭機場，起點至終點時間為：T1=S1/v+（n-1）×t1+t2，地鐵4.5.6.7.8號線運行時間為Ti（i=4，5，6，7，8）=Si/v+n×t1，第i條地鐵上列車完整從起點到終點的次數：n=T/Ti。
按基本假設（3）、（4）；在線路各站下車的人數不定，創立相應數組，確定該站下車旅客數N×Γ，根據按基本假設（5），則第i條地鐵線每日的總的最大客流量為： N+N×Γ×w（N（i）-2）。
經計算每條地鐵的長度分別為：M1線為36.6km，M2線為55.3km，M3線為25.1km，M4線為22.3km，M5線為13.3km，M6線為30.6km，M7線為14.6km，M8線為33.7km。
（2）模型二：青島地鐵站點評價指標的建立。
模型求解：地鐵1號線中山站，位于市中心，是連接黃島區和城陽區的南北骨干線路。對此建模求解，分析其是否地鐵站點的最優選擇方案。將有關因素兩兩進行比較：
（3）模型三：站點篩選模型。
模型建立：
①模型的前期分析。地鐵線路規劃是地鐵站點選擇的指導依據，地鐵站點選址是線路規劃站點的修正。
②從地鐵規劃所選出的備選站點中確定最優站點，使連接站點的線路為最短，既降低建設成本，又保證乘車時間最短。
5 模型評價與改進
本模型分別從長度、評價標準、站點篩選分析了地鐵規劃問題，采取了多種科學運算方法，采集了較為客觀的數據進行了運算與驗證，與實際雖有所偏差，但考慮到現實復雜性與不可控因素，結果完全可以接受，屬于較為成功的模型。
